Integral som rektangelsum

I artikkelen om integral som areal så vi at det bestemte integralet til en funksjon tilsvarte arealet under funksjonens graf. For eksempel tilsvarer det røde arealet i figuren under $\int\limits_1^2 x^2 \; dx = \frac{7}{3} \approx 2{,}33$.

Arealet under x^2

Tilnærme bestemt integral med rektangler

Legger vi fem like brede rektangler i samme område, ser vi at arealet til disse vil tilnærme arealet under grafen, men være litt mindre.

Arealet under x^2 tilnærmet med fem rektangler

Høyden av hvert rektangel er lik funksjonsverdien der rektangelet begynner, f(x) = x2, og bredden er ${\large \frac{2 − 1}{5}} = 0{,}2$.

Så arealet av første rektangel blir f(1) · 0,2 = 12 · 0,2, arealet av andre rektangel blir f(1,2) · 0,2 = (1,2)2 · 0,2, og så videre opp til f(1,8) · 0,2 = (1,8)2 · 0,2. Det totale arealet blir summen av de fem enkeltarealene.

Men det er jo unødvendig å multiplisere med 0,2 i hvert ledd. I stedet setter vi 0,2 utenfor parentes, og får dette uttrykket for det totale arealet:

(12 + (1,2)2 + (1,4)2 + (1,6)2 + (1,8)2 ) · 0,2 ≈ 2,04.

Dette er ca. 12 % mindre enn den nøyaktige verdien, som var 2,33.

Gjør vi rektanglene smalere, får vi plass til flere, og de vil passe bedre. Figuren under viser ti rektangler.

Arealet under x^2 tilnærmet med ti rektangler

Samme utregningsmetode som tidligere gir at arealet av rektanglene nå er om lag 2,18, ca. 6 % mindre enn den nøyaktige verdien på 2,33.

Jo flere rektangler vi deler opp i, jo nærmere kommer vi den nøyaktige verdien til integralet. Kaller vi bredden av hvert rektangel for Δx, vil hvert rektangel ha areal f(x) · Δx og det totale arealet blir $\displaystyle\sum_1^2 f(x) \cdot \Delta x$.

Mer generelt, med integrasjonsgrenser a og b$\displaystyle\sum_a^b f(x) \cdot \Delta x$. Dette kaller vi en Riemann-sum, oppkalt etter den tyske matematikeren Georg Friedrich Bernhard Riemann.

Lar vi så bredden av hvert rektangel gå mot 0, har vi et nøyaktig uttrykk for det bestemte integralet mellom a og b:

$\fbox {$ \int\limits_a^b f(x) \; dx = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0 } \displaystyle \sum_a^b f(x) \cdot \Delta x$}$

Når antall rektangler øker mot uendelig, samtidig som bredden går mot null, vil Riemann-summen konvergere mot det bestemte integralet.

Numerisk beregning av bestemte integraler

Enkelte ubestemte integraler kan være vanskelige eller umulige å beregne. Men siden det tilhørende bestemte integralet kan tilnærmes med en sum av rektangler, vil vi alltid kunne finne en tilnærmet løsning for et bestemt integral. Ofte velger vi imidlertid andre geometriske figurer enn rektangler. Bruk av trapeser gir ofte mye bedre nøyaktighet, og det finnes andre metoder, som Simpsons regel, der arealenes øvre grense ikke er en rett linje. Uendelig mange arealer kan vi ikke håndtere i praksis, men en datamaskin kan uten problemer kjapt summere millioner av arealer, slik at vi kan få gode svar raskt. 

Kilder

    • Gulliksen, T., Hashemi A.M. & Hole A. (2013). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget