Når vi har en uniform modell, det vil si at alle elementer i en mengde har samme sannsynlighet for å bli trukket ut, kan vi beregne sannsynligheten for en kombinasjon av elementer ved å bruke «gunstige på mulige», der gunstige er antall gunstige kombinasjoner, og mulige er antall mulige kombinasjoner totalt.
Eksempel 1:
I Lotto trekkes ei vinnerrekke på 7 tall av 34 mulige. Så skal vi beregne sannsynligheten for å tippe vinnnerrekka.
Det finnes ${\large \frac{34!}{7!(34 − 7)!}} = 5 \, 379 \, 616$ kombinasjoner totalt med 7 av 34 tall. Av disse er bare 1 gunstig, nemlig vinnerrekka. Så sannsynligheten for å tippe riktig blir ${\large \frac{1}{5 \, 379 \, 616}} \approx 1{,}859 \cdot 10^{−7}$.
Sannsynligheten er om lag 0,0000186 %.
Eksempel 2:
Vi skal beregne sannsynligheten for å få utdelt en bridgehånd med nøyaktig åtte ruter.
Det finnnes ${\large \binom{13}{8}} \cdot {\large \binom{39}{5}}$ bridgehender med nøyaktig åtte ruter, slik vi beregner i eksempel 3 i artikkelen om utvalg fra blandede mengder.
En bridgehånd består av 13 av 52 kort, så det finnes totalt ${\large \binom{52}{13}}$ mulige bridgehender.
Sannsynligheten for å få en bridgehånd med nøyaktig åtte ruter blir derfor
${\large \frac{{\Large \binom{13}{8}} \cdot {\Large \binom{39}{5}}}{{\Large \binom{52}{13}}}} = {\large\frac{1287 \, \cdot \, 575\,757}{ 635 \, 013 \, 559 \, 600}} = {\large\frac{740 \, 999 \, 259}{ 635 \, 013 \, 559 \, 600}} \approx 1{,}1669 \cdot 10^{-3}$.
Sannsynligheten er om lag 0,117 %.
En pokerhånd består av 5 kort delt ut fra en stokk med 52 kort. Beregn sannsynligheten for å få utdelt en pokerhånd med nøyaktig 3 ess.
Eksempel 3:
Vi skal beregne sannsynligheten for å få utdelt en pokerhånd som inneholder spar ess.
Denne hånden vil inneholde 1 kort som velges blant 1 spar ess, og 4 kort som velges blant 51 kort som ikke er spar ess, noe som gir ${\large \binom{1}{1}} \cdot {\large\binom{51}{4}}$ kombinasjonsmuligheter.
Totalt finnes det ${\large \binom{52}{5}}$ mulige pokerhender.
Sannsynligheten for å få en pokerhånd som inneholder spar ess blir derfor ${\large \frac{{\Large \binom{1}{1}} \cdot {\Large \binom{51}{4}}}{{\Large \binom{52}{5}}}} = {\large\frac{1 \, \cdot \, 249 \, 900}{ 2 \, 598 \, 960}} \approx 9{,}6154 \cdot 10^{-2}$.
Sannsynligheten er om lag 9,615 %.
Men hvis vi i stedet for å regne ut desimalverdien av brøken faktoriserer teller og nevner, får vi
$\frac{\displaystyle 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 17}{\displaystyle 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 17}$
Her er mange faktorer som kan forkortes, og forkorter vi brøken så langt det går, står vi igjen med ${\large \frac{5}{52}}$.
Dette virker kanskje litt pussig, men modellerer vi situasjonen på en annen måte, skjønner vi hvor dette tallet kommer fra. Trekker vi et kort fra en kortstokk, er sannsynligheten for at det er spar ess ${\large \frac{1}{52}}$. Trekker vi fem kort, er sannsynligheten for at spar ess er blant dem ${\large \frac{5}{52}}$.
Her regner vi «gunstige på mulige» direkte.
Det vil ofte være flere måter å modellere en situasjon på, slik som i eksempel 3.
I en boks ligger 10 kuler som er merket fra A til J. Vi trekker et utvalg på tre kuler tilfeldig. Bruk kombinasjonsformelen til å beregne sannsynligheten for at utvalget inneholder kule A. Undersøk om du kan modellere situasjonen på en annen måte og få samme svar.
Kilder
-
- Hinna, K.R.C., Rinvold, R.A., Gustavsen, TS. (2011). QED 5-10, bind 1. Høyskoleforlaget
- Hagen, Per C. (2000). Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk. Cappelen akademisk
- Birkeland, P.A., Breiteig, B., Venheim, R. (2012). Matematikk for lærere 2. Universitetsforlaget