Innhold
Multiplisere parenteser
Den distributive lov sier at for tre vilkårlige tall, a, b og x, har vi at (a + b)x = ax + bx. Dersom vi så lar x bestå av tallene c + d, blir dette a(c + d) + b(c + d).
Bruker vi den distributive lov på hvert av disse uttrykkene igjen, får vi ac + ad + bc + bd.
Vi multipliserer altså hvert ledd i den ene parentesen med hvert ledd i den andre.
$\fbox{$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$}$
Eksempel 1:
(1 + 2)(3 + 4) = 1 · 3 + 1 · 4 + 2 · 3 + 2 · 4 = 21.
Med tall er dette tungvint, for det er jo mye enklere å si (1 + 2)(3 + 4) = (3)(7) = 21. Men i uttrykk som inneholder noe annet enn tall, for eksempel (x + 2)(x + 3), vil vi måtte benytte regelen over.
Oppgave 1:
Regn ut og forenkle så langt som mulig: (x + 2)(x + 3).
Første kvadratsetning
Første kvadratsetning viser hvordan vi på en enkel måte regner ut uttrykk på formen (a + b)2.
(a + b)2 betyr (a + b)(a + b), så vi kan bruke regelen vi fant over:
(a + b)(a + b) = aa + ab + ba + bb. Den kommutative lov sier at ab = ba, så ab + ba = 2ab, og uttrykket blir a2 + 2ab + b2.
Da har vi første kvadratsetning:
$\fbox{$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$}$
Eksempel 2:
Vi skal beregne (x + 3)2. Vi bruker første kvadratsetning og får
(x + 3)2 = x2 + 2 · x · 3 + 32 = x2+ 6x + 9.
Andre kvadratsetning
Andre kvadratsetning er på samme form som første kvadratsetning, men med minus, ikke pluss, inni parentesen.
(a – b)2 = (a – b)(a – b) = aa + a(-b) + (-ba) + (-b)(-b). Vi bruker lovene for multiplikasjon av negative faktorer og får aa + (-ab) + (-ba) + bb. Den kommutative lov sier at –ab = –ba, så – ab – ba = -2ab, og uttrykket blir a2 -2ab + b2.
Da har vi andre kvadratsetning:
$\fbox{$(a + b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$}$
Legg merke til at det bare er leddet 2ab som har negativt fortegn.
Oppgave 2:
Bruk andre kvadratsetning til å regne ut: (2x – 3y)2. Forenkle svaret så langt som mulig.
Tredje kvadratsetning (konjugatsetningen)
Tredje kvadratsetning er strengt tatt ikke en kvadratsetning, for vi kvadrerer ikke et uttrykk i parentes, men multipliserer parentesene fra første og andre kvadratsetning: (a + b)(a – b). Uttrykk som (a + b) og (a – b) sies å være konjugerte av hverandre, derfor kalles tredje kvadratsetning i stedet ofte for konjugatsetningen.
Regner vi ut, får vi:
(a + b)(a – b) = aa + a(-b) + ba + b(-b). Loven for multiplikasjon av negative faktorer og den kommutative lov gir at a(-b) + ba = 0, og uttrykket blir a2 – b2.
Da har vi tredje kvadratsetning, konjugatsetningen:
$\fbox{$(a + b)(a – b) = a^2 – b^2$}$
Oppgave 3:
Bruk tredje kvadratsetning til å regne ut: (2x + 3y)(2x – 3y). Forenkle svaret så langt som mulig.
Kilder
- Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag