Kvadratsetningene

Multiplisere to parenteser

Den distributive lov sier at for tre vilkårlige tall, a, b og x, har vi at (a + b)x = ax + bx. Dersom vi så lar x bestå av tallene c + d, blir dette a(c + d) + b(c + d).

Bruker vi den distributive lov på hvert av disse uttrykkene igjen, får vi ac + ad + bc + bd.

Vi multipliserer altså to uttrykk i parentes ved å multiplisere hvert ledd i den ene parentesen med hvert ledd i den andre:

$\fbox{$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$}$

Eksempel 1:

(1 + 2)(3 + 4) = 1 · 3 + 1 · 4 + 2 · 3 + 2 · 4 = 21.

Med tall er dette tungvint, for det er jo mye enklere å si (1 + 2)(3 + 4) = (3)(7) = 21. Men i uttrykk som inneholder noe annet enn tall, for eksempel (x + 2)(x + 3), vil vi måtte benytte regelen over.

Oppgave 1:

Regn ut og forenkle så langt det er mulig: (x + 2)(x + 3).

Se film der løsningen vises
 

Første kvadratsetning

Vi har altså generelt at (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.

Et spesialtilfelle er at de to parentesene er like, slik at vi har (a + b)(a + b). Den generelle formen gjelder allikevel, så når vi multipliserer ut, får vi (a + b)(a + b) = aa + ab + ba + bb. Her har vi brukt gul og blå bakgrunnsfarge for å illustrere hva som kommer fra hvilken parentes. Videre kan vi forenkle dette uttrykket ved å skrive
aa = a²
ab + ba = ab + ab = 2ab (Her brukte vi kommutative lov til å skrive ba som ab)
bb = b²

Så vi har

aa + ab + ba + bb = a² + 2ab + b²

Vi kan også skrive (a + b)(a + b) som (a + b)²

Setter vi dette sammen, får vi første kvadratsetning:

$\fbox{$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$}$

Eksempel 2:

Vi skal beregne (x + 3)². Vi bruker første kvadratsetning og får
(x + 3)² = x² + 2 · x · 3 + 3² = x²+ 6x + 9.

Oppgave 2:

Bruk første kvadratsetning til å regne ut: (3x + 5y)². Forenkle så langt det er mulig.

Se løsningsforslag

Andre kvadratsetning

La oss så si at vi har et minustegn i stedet for et plusstegn inni parentesen, og skal regne ut (a − b)².
Dette kan vi skrive som (a + (−b))², og bruke formelen fra første kvadratsetning til å regne ut:

(a + (−b))² = a² + 2a(−b) + (−b)² = a² − 2ab + b²

Dette er andre kvadratsetning:

$\fbox{$(a − b)^2 = a^2 − 2ab + b^2$}$

Legg merke til at det bare er leddet 2ab som har negativt fortegn.

Oppgave 3:

Bruk andre kvadratsetning til å regne ut: (2x − 3y)². Forenkle svaret så langt det er mulig.

Se film der løsningen vises
 

Konjugatsetningen (tredje kvadratsetning)

Konjugatsetningen kalles gjerne tredje kvadratsetning, men det er egentlig ikke en kvadratsetning. For vi kvadrerer ikke et uttrykk i parentes, men multipliserer parentesene (a + b) og (a − b). Uttrykk som (a + b) og (a − b) sies å være konjugerte av hverandre, derav navnet konjugatsetningen.

Bruker vi regelen om å multiplisere to parenteser til å regne ut, får vi:
(a + b)(a − b) = aa + a(−b) + ba + b(−b). Loven for multiplikasjon av negative faktorer og den kommutative lov gir at a(−b) + ba = 0, og uttrykket blir aa − bb, altså a² − b².

Da har vi konjugatsetningen:

$\fbox{$(a + b)(a − b) = a^2 − b^2$}$

Oppgave 4:

Bruk konjugatsetningen til å regne ut: (2x + 3y)(2x − 3y). Forenkle svaret så langt som mulig.

Se film der løsningen vises
 

Sjekk gjerne ut en fin geometrisk illustrasjon av kvadratsetningene hos NDLA.

Eksponenter høyere enn 2

I artikkelen om potensregning påpeker vi at $\left(a+b\right)^n \ne a^n + b^n$, og her ser vi altså at hvis eksponenten n er lik 2, har vi $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, første kvadratsetning.

Lar vi n være 3, slik at vi har $(a + b)^3$, kan vi gjøre følgende utregning:

$(a + b)^3 = (a + b)(a + b)^2 =$

$(a + b)(a^2 + 2ab + b^2) =$

$a \cdot a^2 + a \cdot 2ab + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 + b \cdot 2ab + b \cdot b^2 =$

$a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3 =$

$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Vi har altså funnet ut at

$\fbox{$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$}$

Ta det som en utfordring å forklare hvilke regler vi har brukt i utregningen!

Vi kan multiplisere med (a + b) en gang til og få at

$\fbox{$(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$}$

Det finnes en formel, binomialformelen, som beskriver hva (a + b)ⁿ blir for alle mulige n, men det er ikke noe vi skal gå nærmere inn på.

CAS i GeoGebra kan imidlertid gjøre utregningene for oss for enhver x, også hvis vi har mer enn to elementer i parentesen. Hvis vi for eksempel vil regne ut (a + b + c)⁴, skriver vi RegnUt((a + b + c)^4) i CAS.

Oppgave 5:

Regn ut (2x + 5)³ ved å bruke formelen (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, og bruk så CAS til å sjekke om du har regnet riktig.

Se løsningsforslag

Kilder

• •  Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag