Kvadratsetningene

Multiplisere to parenteser

Den distributive lov sier at for tre vilkårlige tall, a, b og x, har vi at (a + b)x = ax + bx. Dersom vi så lar x bestå av tallene c + d, blir dette a(c + d) + b(c + d).

Bruker vi den distributive lov på hvert av disse uttrykkene igjen, får vi ac + ad + bc + bd.

Vi multipliserer altså to uttrykk i parentes ved å multiplisere hvert ledd i den ene parentesen med hvert ledd i den andre:

$\fbox{$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$}$

Eksempel 1:

(1 + 2)(3 + 4) = 1 · 3 + 1 · 4 + 2 · 3 + 2 · 4 = 21.

Med tall er dette tungvint, for det er jo mye enklere å si (1 + 2)(3 + 4) = (3)(7) = 21. Men i uttrykk som inneholder noe annet enn tall, for eksempel (x + 2)(x + 3), vil vi måtte benytte regelen over.

Oppgave 1:

Regn ut og forenkle så langt som mulig: (x + 2)(x + 3).

Se film der løsningen vises
 

Første kvadratsetning

Vi har altså generelt at (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.

Et spesialtilfelle er at de to parentesene er like, slik at vi har (a + b)(a + b). Den generelle formen gjelder allikevel, så når vi multipliserer ut, får vi (a + b)(a + b) = aa + ab + ba + bb. Her har vi brukt gul og blå bakgrunnsfarge for å illustrere hva som kommer fra hvilken parentes. Videre kan vi forenkle dette uttrykket ved å skrive
aa = a²
ab + ba = ab + ab = 2ab (Her brukte vi kommutative lov til å skrive ba som ab)
bb = b²

Så vi har

aa + ab + ba + bb = a² + 2ab + b²

Vi kan også skrive (a + b)(a + b) som (a + b)²

Setter vi dette sammen, får vi første kvadratsetning:

$\fbox{$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$}$

Eksempel 2:

Vi skal beregne (x + 3)². Vi bruker første kvadratsetning og får
(x + 3)² = x² + 2 · x · 3 + 3² = x²+ 6x + 9.

Oppgave 2:

Bruk første kvadratsetning til å regne ut: (3x + 5y)². Forenkle så langt det er mulig.

Se løsningsforslag

Andre kvadratsetning

La oss så si at vi har et minustegn i stedet for et plusstegn inni parentesen, og skal regne ut (a − b)².
Dette kan vi skrive som (a + (−b))², og bruke formelen fra første kvadratsetning til å regne ut:

(a + (−b))² = a² + 2a(−b) + (−b)² = a² − 2ab + b²

Dette er andre kvadratsetning:

$\fbox{$(a + b)^2 = a^2 − 2ab + b^2$}$

Legg merke til at det bare er leddet 2ab som har negativt fortegn.

Oppgave 3:

Bruk andre kvadratsetning til å regne ut: (2x − 3y)². Forenkle så langt det er mulig.

Se film der løsningen vises
 

Tredje kvadratsetning (konjugatsetningen)

Tredje kvadratsetning er strengt tatt ikke en kvadratsetning, for vi kvadrerer ikke et uttrykk i parentes, men multipliserer parentesene (a + b) og (a − b). Uttrykk som (a + b) og (a − b) sies å være konjugerte av hverandre, derfor kalles tredje kvadratsetning i stedet ofte for konjugatsetningen.

Bruker vi regelen om å multiplisere to parenteser til å regne ut, får vi:
(a + b)(a − b) = aa + a(−b) + ba + b(−b). Loven for multiplikasjon av negative faktorer og den kommutative lov gir at a(−b) + ba = 0, og uttrykket blir aa − bb, altså a² − b².

Da har vi tredje kvadratsetning, konjugatsetningen:

$\fbox{$(a + b)(a − b) = a^2 − b^2$}$

Oppgave 4:

Bruk tredje kvadratsetning til å regne ut: (2x + 3y)(2x − 3y). Forenkle svaret så langt som mulig.

Se film der løsningen vises
 

Sjekk gjerne ut en fin geometrisk illustrasjon av kvadratsetningene hos NDLA.

Høyere eksponenter

I artikkelen om potensregning så vi at $\left(a+b\right)^x \ne a^x + b^x$, men nå har vi altså funnet ut at hvis eksponenten x er lik 2, har vi $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, første kvadratsetning.

Lar vi x være 3, slik at vi har $(a + b)^3$, kan vi gjøre følgende utregning:

$(a + b)^3 = (a + b)(a + b)^2 =$

$(a + b)(a^2 + 2ab + b^2) =$

$a \cdot a^2 + a \cdot 2ab + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 + b \cdot 2ab + b \cdot b^2 =$

$a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3 =$

$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Vi har altså funnet ut at

$\fbox{$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$}$

Ta det som en utfordring å forklare hvilke regler vi har brukt i utregningen!

Vi kan multiplisere med (a + b) en gang til og få at

$\fbox{$(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$}$

Det finnes en formel, binomialformelen, som beskriver hva (a + b)^x blir for alle mulige x, men det er ikke noe vi skal gå nærmere inn på.

CAS i GeoGebra kan imidlertid gjøre utregningene for oss for enhver x, også hvis vi har mer enn to elementer i parentesen. Hvis vi for eksempel vil regne ut (a + b + c)⁴, skriver vi RegnUt((a + b + c)^4) i CAS.

Oppgave 5:

Regn ut (2x + 5)³ ved å bruke formelen $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$, og bruk så CAS til å sjekke om du har regnet riktig.

Se løsningsforslag

Kilder

• •  Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag