Innhold
Multiplisere to parenteser
Den distributive lov sier at for tre vilkårlige tall, a, b og x, har vi at (a + b)x = ax + bx. Dersom vi så lar x bestå av tallene c + d, blir dette a(c + d) + b(c + d).
Bruker vi den distributive lov på hvert av disse uttrykkene igjen, får vi ac + ad + bc + bd.
Vi multipliserer altså to uttrykk i parentes ved å multiplisere hvert ledd i den ene parentesen med hvert ledd i den andre:
$\fbox{$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$}$
Eksempel 1:
(1 + 2)(3 + 4) = 1 · 3 + 1 · 4 + 2 · 3 + 2 · 4 = 21.
Med tall er dette tungvint, for det er jo mye enklere å si (1 + 2)(3 + 4) = (3)(7) = 21. Men i uttrykk som inneholder noe annet enn tall, for eksempel (x + 2)(x + 3), vil vi måtte benytte regelen over.
Oppgave 1:
Regn ut og forenkle så langt det er mulig: (x + 2)(x + 3).
Første kvadratsetning
Vi har altså generelt at (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
Et spesialtilfelle er at de to parentesene er like, slik at vi har (a + b)(a + b). Den generelle formen gjelder allikevel, så når vi multipliserer ut, får vi (a + b)(a + b) = aa + ab + ba + bb. Her har vi brukt gul og blå bakgrunnsfarge for å illustrere hva som kommer fra hvilken parentes. Videre kan vi forenkle dette uttrykket ved å skrive
aa = a2
ab + ba = ab + ab = 2ab (Her brukte vi kommutative lov til å skrive ba som ab)
bb = b2
Så vi har
aa + ab + ba + bb = a2 + 2ab + b2
Vi kan også skrive (a + b)(a + b) som (a + b)2
Setter vi dette sammen, får vi første kvadratsetning:
$\fbox{$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$}$
Eksempel 2:
Vi skal beregne (x + 3)2. Vi bruker første kvadratsetning og får
(x + 3)2 = x2 + 2 · x · 3 + 32 = x2+ 6x + 9.
Oppgave 2:
Bruk første kvadratsetning til å regne ut: (3x + 5y)2. Forenkle så langt det er mulig.
Andre kvadratsetning
La oss så si at vi har et minustegn i stedet for et plusstegn inni parentesen, og skal regne ut (a − b)2.
Dette kan vi skrive som (a + (−b))2, og bruke formelen fra første kvadratsetning til å regne ut:
(a + (−b))2 = a2 + 2a(−b) + (−b)2 = a2 − 2ab + b2
Dette er andre kvadratsetning:
$\fbox{$(a − b)^2 = a^2 − 2ab + b^2$}$
Legg merke til at det bare er leddet 2ab som har negativt fortegn.
Oppgave 3:
Bruk andre kvadratsetning til å regne ut: (2x − 3y)2. Forenkle svaret så langt det er mulig.
Konjugatsetningen (tredje kvadratsetning)
Konjugatsetningen kalles gjerne tredje kvadratsetning, men det er egentlig ikke en kvadratsetning. For vi kvadrerer ikke et uttrykk i parentes, men multipliserer parentesene (a + b) og (a − b). Uttrykk som (a + b) og (a − b) sies å være konjugerte av hverandre, derav navnet konjugatsetningen.
Bruker vi regelen om å multiplisere to parenteser til å regne ut, får vi:
(a + b)(a − b) = aa + a(−b) + ba + b(−b). Loven for multiplikasjon av negative faktorer og den kommutative lov gir at a(−b) + ba = 0, og uttrykket blir aa − bb, altså a2 − b2.
Da har vi konjugatsetningen:
$\fbox{$(a + b)(a − b) = a^2 − b^2$}$
Oppgave 4:
Bruk konjugatsetningen til å regne ut: (2x + 3y)(2x − 3y). Forenkle svaret så langt som mulig.
Sjekk gjerne ut en fin geometrisk illustrasjon av kvadratsetningene hos NDLA.
Eksponenter høyere enn 2
I artikkelen om potensregning påpeker vi at $\left(a+b\right)^n \ne a^n + b^n$, og her ser vi altså at hvis eksponenten n er lik 2, har vi $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, første kvadratsetning.
Lar vi n være 3, slik at vi har $(a + b)^3$, kan vi gjøre følgende utregning:
$(a + b)^3 = (a + b)(a + b)^2 =$
$(a + b)(a^2 + 2ab + b^2) =$
$a \cdot a^2 + a \cdot 2ab + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 + b \cdot 2ab + b \cdot b^2 =$
$a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3 =$
$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
Vi har altså funnet ut at
$\fbox{$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$}$
Ta det som en utfordring å forklare hvilke regler vi har brukt i utregningen!
Vi kan multiplisere med (a + b) en gang til og få at
$\fbox{$(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$}$
Det finnes en formel, binomialformelen, som beskriver hva (a + b)n blir for alle mulige n, men det er ikke noe vi skal gå nærmere inn på.
CAS i GeoGebra kan imidlertid gjøre utregningene for oss for enhver x, også hvis vi har mer enn to elementer i parentesen. Hvis vi for eksempel vil regne ut (a + b + c)4, skriver vi RegnUt((a + b + c)^4) i CAS.
Regn ut (2x + 5)3 ved å bruke formelen (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, og bruk så CAS til å sjekke om du har regnet riktig.
Kilder
-
- Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag