Kvadratsetningene

Multiplisere parenteser

Den distributive lov sier at for tre vilkårlige tall, a, b og x, har vi at (a + b)x = ax + bx. Dersom vi så lar x bestå av tallene c + d, blir dette a(c + d) + b(c + d).

Bruker vi den distributive lov på hvert av disse uttrykkene igjen, får vi ac + ad + bc + bd.

Vi multipliserer altså hvert ledd i den ene parentesen med hvert ledd i den andre.

$\fbox{$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$}$

Eksempel 1:

(1 + 2)(3 + 4) = 1 · 3 + 1 · 4 + 2 · 3 + 2 · 4 = 21.

Med tall er dette tungvint, for det er jo mye enklere å si (1 + 2)(3 + 4) = (3)(7) = 21. Men i uttrykk som inneholder noe annet enn tall, for eksempel (x + 2)(x + 3), vil vi måtte benytte regelen over.

Oppgave 1:

Regn ut og forenkle så langt som mulig: (x + 2)(x + 3).

Se film der løsningen vises
 

Første kvadratsetning

Første kvadratsetning viser hvordan vi på en enkel måte regner ut uttrykk på formen (a + b)².
(a + b)² betyr (a + b)(a + b), så vi kan bruke regelen vi fant over:

(a + b)(a + b) = aa + ab + ba + bb. Den kommutative lov sier at ab = ba, så ab + ba = 2ab, og uttrykket blir a² + 2ab + b².

Da har vi første kvadratsetning:

$\fbox{$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$}$

Eksempel 2:

Vi skal beregne (x + 3)². Vi bruker første kvadratsetning og får
(x + 3)² = x² + 2 · x · 3 + 3² = x²+ 6x + 9.

Andre kvadratsetning

Andre kvadratsetning er på samme form som første kvadratsetning, men med minus, ikke pluss, inni parentesen.

(a – b)² = (a – b)(a – b) = aa + a(-b) + (-ba) + (-b)(-b). Vi bruker lovene for multiplikasjon av negative faktorer og får aa + (-ab) + (-ba) + bb. Den kommutative lov sier at –ab = –ba, så – ab – ba = -2ab, og uttrykket blir a² -2ab + b².

Da har vi andre kvadratsetning:

$\fbox{$(a + b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$}$

Legg merke til at det bare er leddet 2ab som har negativt fortegn.

Oppgave 2:

Bruk andre kvadratsetning til å regne ut: (2x – 3y)². Forenkle svaret så langt som mulig.

Se film der løsningen vises
 

Tredje kvadratsetning (konjugatsetningen)

Tredje kvadratsetning er strengt tatt ikke en kvadratsetning, for vi kvadrerer ikke et uttrykk i parentes, men multipliserer parentesene fra første og andre kvadratsetning: (a + b)(a – b). Uttrykk som (a + b) og (a – b) sies å være konjugerte av hverandre, derfor kalles tredje kvadratsetning i stedet ofte for konjugatsetningen.

Regner vi ut, får vi:
(a + b)(a – b) = aa + a(-b) + ba + b(-b). Loven for multiplikasjon av negative faktorer og den kommutative lov gir at a(-b) + ba = 0, og uttrykket blir a² – b².

Da har vi tredje kvadratsetning, konjugatsetningen:

$\fbox{$(a + b)(a – b) = a^2 – b^2$}$

Oppgave 3:

Bruk tredje kvadratsetning til å regne ut: (2x + 3y)(2x – 3y). Forenkle svaret så langt som mulig.

Se film der løsningen vises
 

Kilder

•  Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag