Likninger av høyere grad

I artikkelen om førstegradslikninger, artikkelen om andregradslikninger og artikkelen om abc-formelen tar vi for oss metoder for å løse likninger av første og andre grad.

Likninger av første grad løser vi ved å samle ledd som inneholder den ukjente på venstre side av likhetstegnet, og ledd som ikke inneholder den ukjente, på høyre side. Deretter trekker vi sammen, og dividerer eller multipliserer med samme verdi på begge sider, slik at den ukjente står alene igjen på venstre side. Andregradslikninger løser vi enklest ved å samle alle ledd på venstre side og bruke abc-formelen. Å løse likninger av høyere grad krever mer innfløkte metoder, og er ikke noe vi skal gå nærmere inn på, med et par unntak:

I artikkelen om å faktorisere polynomer ser vi hvordan vi i noen spesialtilfeller kan finne nullpunktene til polynomer av 3. grad eller høyere. Disse metodene kan vi bruke på samme måte til å løse likninger av 3. grad eller høyere.

Sette x utenfor parentes

Dersom vi har en 3. gradslikning som mangler konstantleddet, kan vi sette x utenfor parentes.

Eksempel 1:

Vi skal løse tredjegradslikningen 2x3 − 10x2 + 12x = 0.

Vi setter x utenfor parentes, og får x(2x2 − 10x + 12) = 0.

Uttrykket på venstre side blir 0 når x = 0, eller når uttrykket inni parentesen er 0.

x = 0 er altså en løsning til likningen.

For å finne ut når uttrykket inni parentesen er 0, løser vi likningen 2x2 − 10x + 12 = 0 ved hjelp av abc-formelen. Vi får da at x1 = 3 og x2 = 2.

Løsningene til likningen 2x3 − 10x2 + 12x = 0 er altså x1 = 3, x2 = 2, x3 = 0.

Setter vi prøve på svaret, får vi i de tre tilfellene:

V.S. når x = 3: 2x3 − 10x2 + 12x = 2 · 33 − 10 · 32 + 12 · 3 = 54 − 90 + 36 = 0.

V.S. når x = 2: 2x3 − 10x2 + 12x = 2 · 23 − 10 · 22 + 12 · 2 = 16 − 40 + 24 = 0.

V.S. når x = 0: 2x3 − 10x2 + 12x = 2 · 03 − 10 · 02 + 12 · 0 = 0.

Vi ser at alle tre x gir 0 som svar, og derfor er løsning til likningen.

Har vi en fjerdegradslikning som ikke inneholder ledd med lavere grad enn x2, kan vi sette x2 utenfor parentes. x = 0 vil da være en løsning til likningen. Inni parentesen vil vi ha et andregradspolynom som vi kan finne nullpunktene til ved å bruke abc-formelen. Disse nullpunktene vil være de andre to løsningene til likningen.

Oppgave 1:

Løs likningen x4 + x3 − 6x2 = 0 og sett prøve på svaret.

Hint: I oppgave 3 i artikkelen om å faktorisere polynomer skrev vi x4 + x3 − 6x2 som x2(x2 + x − 6), og fant at nullpunktene til uttrykket inn parentesen var  x1 = 2 og x2 = −3.

Se løsningsforslag

Generelt, hvis vi har en likning av grad n som ikke inneholder ledd med lavere grad enn xn−2, kan vi sette xn−2 utenfor parentes og stå igjen med et andregradspolynom inni parentesen.

Erstatte kvadratet av x

Hvis vi har en fjerdegradslikning som ikke har tredjegradsledd, kan vi erstatte x2 med en variabel i første potens. Vi får da en andregradslikning vi kan løse.

Eksempel 2:

Vi skal løse fjerdegradslikningen x4 − 13x2 + 36 = 0.

x4 kan skrives som (x2)2, så vi kan skrive likningen som (x2)2 − 13x2 + 36 = 0.

Vi erstatter så x2 med en variabel i første potens, la oss kalle den s. Likningen blir da s2 − 13s + 36 = 0.

Dette er en andregradslikning vi kan løse ved hjelp av abc-formelen. Vi får da at s1 = 9 og s2 = 4.

Løsningen til likningen s2 − 5s + 4 = 0 er altså s1 = 9 og s2 = 4.

Siden vi har at s = x2, vet vi nå at x2 = 9 og x2 = 4 er løsningene til likningen x4 − 13x2 + 36 = 0.

For å finne x, trekker vi ut rota på begge sider i uttrykkene med x2:

$x^2 = 9 \Rightarrow \sqrt{x^2} = \pm \sqrt{9} \Rightarrow x = \pm 3$

$x^2 = 4 \Rightarrow \sqrt{x^4} = \pm \sqrt{4} \Rightarrow x = \pm 2$

Løsningene til likningen x4 − 13x2 + 36 = 0 er altså x1 = 3, x2 = −3, x3 = 2, x4 = −2.

Setter vi prøve på svaret, får vi i de fire tilfellene:

V.S. når x = 3: x4 − 13x2 + 36 = 34 − 13 · 32 + 36 = 81 − 117 + 36 = 0.

V.S. når x = −3: x4 − 13x2 + 36 = (−3)4 − 13 · (−3)2 + 36 = 81 − 117 + 36 = 0.

V.S. når x = 2: x4 − 13x2 + 36 = 24 − 13 · 22 + 36 = 16 − 52 + 36 = 0.

V.S. når x = −3: x4 − 13x2 + 36 = (−2)4 − 13 · (−2)2 + 36 = 16 − 52 + 36 = 0.

Vi ser at alle fire x gir 0 som svar, og derfor er løsning til likningen.

Oppgave 2:

Løs likningen x4 − 10x2 + 9 = 0 og sett prøve på svaret.

Se løsningsforslag

Oppgave 3:

Løs likningen x4 – 5x2 + 4 = 0.

SkjermfilmSe film der løsningen vises

Dividere med kjente løsninger

En metode til å løse tredjegradslikninger har vi hvis vi allerede kjenner én av løsningene. For hvis x1 er en løsning til likningen ax3 + bx2 + cx + d = 0, kan likningen skrives som (xx1)(fx2 + gx + h) = 0. Da står vi igjen med en andregradslikning som vi kan løse. Hva koeffisientene f, g og h blir, finner vi ut ved polynomdivisjon, slik der er beskrevet i artikkelen om polynomdivisjon.

Eksempel 3:

Vi skal finne alle løsningene til tredjegradslikningen 3x3 − 21x + 18 = 0, der vi vet at x = 2 er en løsning.

Vi utfører polynomdivisjonen (3x3 − 21x + 18) : (x − 2) og får 3x2 + 6x − 9.

Det betyr at 3x3 − 21x + 18 = 0 ⇒ (x − 2)(3x2 + 6x − 9) = 0.

Løser vi andregradslikningen i dette uttrykket, får vi x1 = −3 og x2 = 1.

Så løsningene til tredjegradslikningen er x1 = −3, x2 = 1, x3 = 2.

Vi kan løse en fjerdegradslikning hvis vi kjenner to løsninger, x1 og x2, ved å dividere fjerdegradspolynomet på (xx1) og (xx2). Tilsvarende for en femtegradslikning hvis vi kjenner tre løsninger, og så videre.

En likning av n-te grad har den generelle formen anxn + an−1xn−1 + … + a1x + a0 = 0.

Oppgave 4:

Løs fjerdegradslikningen −x4 + x3 + 11x2 − 9x −18 = 0 når du vet at to av likningens løsninger er x1 = −3 og x2 = 2.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Generelt har en likning av n-te grad n løsninger. En førstegradslikning har én løsning, en andregradslikning to, en tredjegradslikning tre, og så videre. I noen tilfeller kan to eller flere løsninger falle sammen, og i noen tilfeller vil noen av løsningene være komplekse tall. En likning av odde grad vil imidlertid alltid ha minst én løsning som er et reelt tall.

Oppgave 5:

Bildet under viser grafene til tre vilkårlige polynomer av odde grad. Den grønne tilhører et polynom av 3. grad, den røde et polynom av 5. grad, og den blå et polynom av 7. grad. Studer grafene og forsøk å finne et argument for at alle likninger av odde grad vil ha minst én løsning som er et reelt tall.

Hint: Skjæring med x-aksen.

Grafene til polynomer av odde grad

Se løsningsforslag

Kilder

    • Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag