Likninger og ulikheter av høyere grad

Løse spesialtilfeller av likninger

I andre artikler på dette nettstedet har vi lært å løse algebraiske likninger av første og andre grad ved hjelp av enkle metoder. Men for likninger av tredje og fjerde grad er metodene mer kompliserte, og for likninger av femte grad eller høyere finnes ingen generell algebraisk metode. Her skal vi imidlertid se at vi i spesielle tilfeller kan benytte oss av et par triks for å løse likninger av høyere grad enn 2.

Sette variabel utenfor parentes

En generell likning av 3. grad er på formen ax³ + bx² + cx + d = 0, der a ≠ 0, og vi går ikke inn på løsningsmetoden her. Men hvis konstantleddet, d, mangler, slik at alle leddene inneholder x, kan vi sette x utenfor parentes:

ax³ + bx² + cx + d = 0 ⇒ x(ax² + bx + c) = 0.

Da er x = 0 en løsning, og de to andre løsningene får vi når ax² + bx + c = 0. Her har vi altså redusert problemet med å løse en tredjegradslikning til å løse en andregradslikning, noe vi allerede har metoder for.

Tilsvarende kan vi løse en likning av 4. grad hvis vi kan sette x² utenfor parentes, en likning av 5. grad hvis vi kan sette x³ utenfor parentes, og så videre.

Eksempel 1:

3x⁵ + 6x⁴ – 9x³ = 0 ⇒ x³(3x² + 6x – 9) = 0.

Dividere med kjente løsninger

En annen metode til å løse en tredjegradslikning har vi hvis vi allerede kjenner én av løsningene. For hvis x₁ er en løsning til likningen ax³ + bx² + cx + d = 0, kan likningen skrives som (x – x₁)(fx² + gx + h) = 0. Da står vi på nytt igjen med en annengradslikning som vi kan løse. Hva koeffisientene f, g og h blir, finner vi ut ved polynomdivisjon, som vi har lært i artikkelen om polynomdivisjon.

Eksempel 2:

Vi skal finne alle løsningene til tredjegradslikningen 3x³ – 21x + 18 = 0, der vi vet at x = 2 er en løsning.

Da utfører vi polynomdivisjonen (3x³ – 21x + 18) : (x – 2) og får 3x² + 6x – 9.

Det betyr at 3x³ – 21x + 18 = 0 ⇒ (x – 2)(3x² + 6x – 9) = 0.

Løser vi andregradslikningen i dette uttrykket, får vi x₁ = -3 og x₂ = 1.

Så løsningene til tredjegradslikningen er x₁ = -3, x₂ = 1, x₃ = 2.

Vi kan løse en fjerdegradslikning hvis vi kjenner to løsninger, x₁ og x₂, ved å dividere fjerdegradspolynomet på (x – x₁) og (x – x₂). Tilsvarende for femtegradslikninger hvis vi kjenner tre løsninger, og så videre.

En likning av n-te grad har den generelle formen a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀ = 0.

Generelt har en likning av n-te grad n løsninger. En førstegradslikning har én løsning, en andregradslikning to, en tredjegradslikning tre, og så videre. I noen tilfeller kan to eller flere løsninger falle sammen, og i noen tilfeller vil noen av løsningene være par av kompleks konjugerte. En likning av odde grad vil alltid ha minst én løsning som er et reelt tall.

Oppgave 1:

Løs fjerdegradslikningen –x⁴ + x³ + 11x² – 9x -18 = 0 når du vet at to av likningens løsninger er x₁ = -3 og x₂ = 2.

Se film der løsningen vises
 

Bytte ut variabel

Hvis en likning av fjerde grad ikke inneholder tredje- og førstegradsledd, slik at den er på formen ax⁴ + cx² + d = 0, kan vi løse den ved hjelp av et annet triks. Hvis vi skriver x⁴ som (x²)², blir likningen a(x²)² + cx² + d = 0. Og hvis vi så bytter ut variabelen x² med for eksempel r, får vi ar² + cr + d = 0. Dette er en ordinær andregradslikning vi kan løse med hensyn på den ukjente, r.
Når vi har funnet r₁ og r₂, kan vi finne de tilhørende x-verdiene.

Siden x² = r, blir $x = \pm \sqrt r$, altså $x_1 = \sqrt {r_1}, \;\; x_2 = -\sqrt {r_1}, \;\; x_3 = \sqrt {r_2}, \;\; x_4 = -\sqrt {r_2}$.

Eksempel 3:

Vi skal løse likningen 3x⁴ + 6x² – 9 = 0. Da erstatter vi x² med r og får 3r² + 6r – 9 = 0. Denne andregradslikningen har løsningen r₁ = -3, r₂ = 1.

Og vi får $x = \pm \sqrt{-3}$ eller $x = \pm \sqrt{1}$.

Altså $x_1 = \sqrt3 i, \;\; x_ 2 = -\sqrt 3 i, \;\; x_3 = 1, \;\; x_4 = -1$.

Fjerdegradslikningens fire løsninger består altså av to komplekse, konjugerte løsninger og to reelle løsninger.

Oppgave 2:

Løs likningen x⁴ – 5x² + 4 = 0.

Se film der løsningen vises
 

Ulikheter

Løsningen til en lineær ulikhet, altså en ulikhet av første grad, vil være en del av tallinja som strekker seg mot pluss eller minus uendelig, slik det er beskrevet i artikkelen om likninger og ulikheter. For eksempel betyr x < 2 alle reelle tall mindre enn to, og x ≥ 1 alle reelle tall større eller lik 1. Ved ulikheter av høyere grad vil vi imidlertid kunne oppleve at løsningen kan være begrenset til ett eller flere intervaller.

Ser vi på grafen til andregradsfunksjonen y = x² – 4 for eksempel, ser vi at den skjærer x-aksen i x = 2 og x = -2. Vi forventer derfor at løsningen til ulikheten x² – 4 < 0 blir intervallet der grafen ligger under x-aksen, nemlig -2 < x < 2, og at løsningen til ulikheten x² – 4 > 0 blir intervallene der grafen ligger over x-aksen, nemlig -∞ < x < -2 og 2 < x < ∞.

For å løse en ulikhet av høyere orden, må vi først faktorisere polynomet i ulikheten, og deretter studere fortegnet til hver av faktorene.

Eksempel 4:

Vi skal løse ulikheten x² – 4 < 0.

x² – 4 kan faktoriseres som (x + 2)(x – 2) ved å bruke 3. kvadratsetning baklengs. Vi må derfor løse ulikhetene
(x + 2) < 0, som gir x < -2 og
(x – 2) < 0, som gir x < 2.

Så tegner vi opp (x + 2) og (x – 2) langs ei tallinje, og markerer verdier mindre enn 0 med stiplet linje. Dette er vist i figuren under.

Her ser vi at (x + 2) < 0 når x < -2 og at (x – 2) < 0 når x < 2.

Siden produktet av to tall er negativt når ett av tallene, men ikke begge, er negative, skjønner vi at (x + 2)(x – 2) < 0 når enten (x + 2) < 0 eller (x – 2) < 0, men ikke begge samtidig. I figuren over betyr det at den ene av linjene er stiplet, men ikke den andre, og at det skjer når -2 < x < 2.

Så løsningen på ulikheten x² – 4 < 0 er, som forventet, -2 < x < 2.

Figuren i eksempel 4 er tegnet ved hjelp av linjestykker i GeoGebra, stiplede linjer for negative verdier og heltrukne linjer for positive verdier. I tillegg er det lagt inn forklarende tekst.

Se den tilhørende GeoGebra-fila

Å løse ulikheter av høyere grad enn 2 innebærer de samme utfordringene som å løse likninger av høyere grad enn 2. For å løse en ulikhet som inneholder et n-te gradspolynom, a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀, må vi splitte polynomet opp i n faktorer, noe vi bare kan gjøre hvis vi kjenner løsningene til a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀ = 0. Som vi har sett i avsnittet over, klarer vi å finne disse løsningene bare i spesielle tilfeller.

Oppgave 3:

Løs ulikheten: -3x³ + 6x² – 9x ≤ 0.

Se film der løsningen vises
 

Kilder

• Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag