I denne artikkelen ser vi på likningssett, også kalt likningssystemer, noe som er sett av flere likninger med flere ukjente. Likningene kan være av forskjellig type, her skal vi imidlertid bare ta for oss sett av førstegradslikninger. Førstegradslikninger kalles også lineære likninger, og består av polynomer der høyeste potens av de ukjente er 1.
To ukjente
I likninger med to ukjente kalles de ukjente gjerne x og y, men det finnes ingen krav til variabelnavn.
Eksempel 1:
Vi har likningen 2x + 4y = 8
Vi kan løse likningen med hensyn på x ved å flytte 4y over på høyre side med fortegnsskifte og dividere begge sider med 2:
$x = \frac{\displaystyle 8 − 4y}{\displaystyle 2} = 4 − 2y$
Hvis for eksempel y = 3, blir x = 4 − 2y = 4 − 2 · 3 = −2.
Hvis for eksempel y = 0,5, blir x = 4 − 2y = 4 − 2 · 0,5 = 3.
Vi kan også løse likningen med hensyn på y ved å flytte 2x over på høyre side med fortegnsskifte og dividere begge sider med 4:
$y = \frac{\displaystyle 8 − 2x}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle 4 − x}{\displaystyle 2}$
Hvis for eksempel x = 6, blir $y = \frac{\displaystyle 4 − 6}{\displaystyle 2} = −1$.
I eksempel 1 fant vi par av x og y som er løsninger til likningen 2x + 4y = 8, nemlig (−2, 3), (3, 0,5) og (6, −1). Vi kan lett verifisere at disse løsningene er riktige ved å sette dem inn i venstre side av likningen og verifisere at dette gir resultatet 8, som er høyre side i likningen.
Vi setter inn (−2, 3): 2x + 4y = 2 · (−2) + 4 · 3 = −4 + 12 = 8.
Vi setter inn (3, 0,5): 2x + 4y = 2 · 3 + 4 · 0,5 = 6 + 2 = 8 = 8.
Vi setter inn (6, −1): 2x + 4y = 2 · 6 + 4 · (−1) = 12 − 4 = 8.
Det finnes uendelig mange par av x og y som utgjør løsninger til likningen.
Plotter vi grafen til likningen fra eksempel 1, 2x + 4y = 8, i GeoGebra, får vi ei linje som vist under:
Linja fortsetter mot uendelig i begge retninger. Alle punkter på linja er løsninger til likningen 2x + 4y = 8. Vi har markert de tre punktene vi fant i eksempel 1.
Når vi løser førstegradslikninger med bare én ukjent, x, kommer vi som regel fram til en bestemt verdi for x. Men når vi har en likning med to ukjente, kommer vi bare fram til en sammenheng mellom de to. Hvis vi vil finne faste verdier for begge de ukjente, må vi ha to likninger.
Eksempel 2:
Vi har likningen fra eksempel 1, 2x + 4y = 8, og i tillegg likningen x + y = 2.
Her er det bare x = 0 og y = 2 som passer i begge likningene. Hvordan vi kan regne dette ut, er beskrevet i artikkelen om å løse likningssett.
Plotter vi grafene til begge likningene fra eksempel 2, får vi linjer som vist under:
Her er den blå linja grafen til 2x + 4y = 8, og alle punkter på denne linja utgjør løsninger til denne likningen. Den røde linja er grafen til x + y = 2, og alle punkter på denne linja utgjør løsninger til denne likningen. Punktet som er løsning til begge likningene, ligger der de to linjene skjærer hverandre. Vi ser at det er (0, 2), slik vi regnet ut i eksempel 2.
Mange ukjente
Et likningssett kan inneholde et vilkårlig antall likninger og ukjente. Har vi likninger med tre ukjente, kaller vi ofte de ukjente x, y og z, men det finnes ingen krav til variabelnavn.
For eksempel inneholder likningssettet
2x + 3y + z = 37
3x + 2y + 3z = 45
3x + y + z = 33
tre ukjente, x, y og z.
Løsningen til likningssettet er de verdiene til x, y og z som passer i alle tre likningene. Dette er x = 8, y = 6, z = 3. Hvordan vi kan regne dette ut, er beskrevet i artikkelen om å løse likningssett.
Løsbarhet
For å ha en unik løsning må et likningssett normalt ha like mange likninger som ukjente. Vi så i eksempel 1 at når vi hadde to ukjente og bare én likning, klarte vi ikke å bestemme unike verdier for de ukjente, bare forholdet mellom dem. Et likningssett med færre likninger enn ukjente kalles underbestemt. Et likningssett med flere likninger enn ukjente kalles overbestemt. Et overbestemt sett vil normalt ikke ha noen løsning. I eksempel 2 så vi på likningssettet
2x + 4y = 8
x + y = 2
Legger vi til enda en likning, for eksempel x + 5y = 3, er likningssettet overbestemt, og har ingen løsning. Løsningen til det opprinnelige settet, x = 0, y = 2, passer ikke inn i den nye likningen, for på venstre side får vi 0 + 5 · 2 = 10, mens høyre side er 3. Plotter vi grafene til den nye likningen med grønt sammen med de to vi har fra før, ser det slik ut:
Som tidligere er skjæringspunktet mellom den røde og blå linja løsningen til likningssettet 2x + 4y = 8 og x + y = 2. Skjæringspunktet mellom den blå og grønne linja er løsningen til likningssettet 2x + 4y = 8 og x + 5y = 3, og skjæringspunktet mellom den røde og grønne linja er løsningen til likningssettet x + y = 2 og x + 5y = 3. Det er altså tre forskjellige løsninger. Skulle de tre likningene hatt én felles løsning, måtte alle linjene skåret hverandre i ett felles punkt.
Når vi sier at et likningssett med like mange likninger som ukjente har en unik løsning, og at et overbestemt likningssett ikke har løsning, forutsetter vi imidlertid at likningene er uavhengige og uten inkonsistens.
Likninger er ikke uavhengige hvis de kan utledes av hverandre. Det vil si at vi kan komme fra den den ene til den andre ved hjelp av manipulasjonene som er tillatt for å løse likninger.
Eksempel 3:
Vi har likningene 2x + 4y = 8 og 2x + 2y = 4 + x.
Disse likningene er ikke uavhengige. Tar vi den første likningen, 2x + 4y = 8, og dividerer med 2 på begge sider av likhetstegnet, får vi x + 2y = 4. Adderer vi så x på begge sider av likhetstegnet, får vi 2x + 2y = 4 + x, som er den andre likningen. Grafene til de to likningene vi ligge oppå hverandre, og vi har uendelig mange tallpar som er løsninger. Alle tallpar som er løsning til den ene likningen, er også løsning til den andre.
Avgjør om likningene 2x + 4y = 8 og −8y = 4x − 16 er uavhengige. Test gjerne ved å plotte i GeoGebra og se om grafene ligger oppå hverandre.
Eksempel 4:
Vi har likningene fra eksempel 2, 2x + 4y = 8, og x + y = 2. Så legger vi til likningen 3x + 5y = 10. Nå har vi tre likninger med to ukjente og et overbestemt sett. Plotter vi likningene, ser det imidlertid slik ut:
Alle tre grafene skjærer hverandre i samme punkt, (0, 2). x = 0, y = 2 er altså løsning til alle tre likningene. Grunnen til at vi finner en løsning selv om settet er overbestemt, er at den tredje likningen ikke er uavhengig av de to første. Likningen 3x + 5y = 10 er framkommet ved å addere 2x + 4y = 8 og x + y = 2.
Dersom et likningssett er inkonsistent, har det ingen løsning. Det vil si at det ikke finnes verdier for de ukjente som passer i alle likningene.
Eksempel 5:
Likningssettet
2x + 4y = 8
2x + 4y = 10
er inkonsistent. Det finnes ingen tall, x og y, som er slik at 2x + 4y både er 8 og 10.
Grafene til inkonsistente likninger vil være parallelle linjer. Det finnes ikke noe skjæringspunkt som utgjør en felles løsning til dem. Plottet under viser grafene til likningene i eksempel 5.
Kilder
-
- Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag