Vanlige måter å løse likningssett på er ved innsetting og addisjon. Det er også mulig å løse enkle likningssett grafisk.
Innsettingsmetoden
Med innsettingsmetoden løser vi én av likningene med hensyn på en av de ukjente, og setter denne løsningen inn i en annen likning.
Eksempel 1:
Vi skal løse likningssettet fra eksempel 2 i artikkelen om likningssett:
(I) 2x + 4y = 8
(II) x + y = 2
Her har vi nummerert likningene, og markert dem med forskjellig farge, slik at det blir lettere å holde dem fra hverandre.
Vi løser (II) med hensyn på x:
x + y = 2 ⇒ x = −y + 2
Vi setter y − 2 inn for x i (I):
2(−y + 2) + 4y = 8
Så løser vi denne likningen med hensyn på y:
−2y + 4 + 4y = 8 ⇒ 2y = 4 ⇒ y = 2
Vi fant tidligere at x = y − 2, så x = 2 − 2 = 0
Løsningen til likningssettet er x = 0, y = 2.
Vi kan sette prøve på svaret ved å sette inn verdiene for x og y i begge likningene.
(I) V.S.: 2x + 4y = 2 · 0 + 4 · 2 = 8. Som er lik H.S.
(II) V.S. x + y = 0 + 2 = 2. Som er lik H.S.
I eksempel 1 løste vi (II) med hensyn på x, men det ville vært like riktig å løse med hensyn på y, eller å løse (I) med hensyn på x eller y.
Da vi hadde funnet verdien til y i eksempel 1, fant vi verdien til x ved å sette y inn i (II), men det hadde vært like riktig å sette inn i (I).
I eksempel 2 løser vi den samme likningen ved å starte med å løse (I) med hensyn på y:
Eksempel 2:
Vi skal løse likningssettet
(I) 2x + 4y = 8
(II) x + y = 2
Vi løser (I) med hensyn på y:
2x + 4y = 8 ⇒ 4y = −2x + 8 ⇒ y = −x/2 + 2
Vi setter −x/2 + 2 dette inn for y i (II):
x + (−x/2 + 2) = 2
Så løser vi denne likningen med hensyn på x:
x + (−x/2 + 2) = 2 ⇒ x −x/2 + 2 = 2 ⇒ −3x/2 = 0 ⇒ x = 0
Vi fant tidligere at y = −x/2 + 2, så y = −0/2 + 2 = 2
Løsningen til likningssettet er x = 0, y = 2.
Vi ser at vi fikk samme resultat i eksempel 2 som i eksempel 1, men at utregningene var mer omstendelige. Det kan være en god strategi å prøve å gjøre valg slik at utregningene blir enklest mulig.
Bruk innsettingsmetoden til å løse likningssettet
(I) 3x + 2y = 4
(II) x − y = 3
Sett prøve på svaret.
Har vi flere ukjente, er løsningsprinsippet det samme, men prosessen vil involvere flere trinn.
Eksempel 3:
Vi skal løse likningssettet
(I) 2x + 3y + z = 37
(II) 3x + 2y + 3z = 45
(III) 3x + y + z = 33
Vi løser (III) for z:
z = 33 − 3x − y
Vi setter 33 − 3x − y inn for z i (I):
2x + 3y + 33 − 3x − y = 37
Vi organiserer leddene og trekker sammen:
2x + 3y + y − 3x = 37 − 33 ⇒ −x + 2y = 4
Så setter vi 33 − 3x − y inn for z i (II):
3x + 2y + 3(33 − 3x − y) = 45
Vi multipliserer ut parentesen, organiserer leddene og trekker sammen:
3x + 2y + 3(33 − 3x − y) = 45 ⇒ 3x + 2y + 99 − 9x − 3y = 45 ⇒ −6x − y = −54 ⇒ 6x + y = 54
Nå har vi fått et nytt likningssett som bare inneholder x og y:
(IV) −x + 2y = 4
(V) 6x + y = 54
Vi løser (IV) med hensyn på x:
−x + 2y = 4 ⇒ −x = −2y + 4 ⇒ x = 2y − 4
Vi setter 2y − 4 inn for x i (IV):
6(2y − 4) + y = 54
Vi multipliserer ut parentesen, organiserer leddene og trekker sammen:
6(2y − 4) + y = 54 ⇒ 12y − 24 + y = 54 ⇒ 13y = 78 ⇒ y = 6
Vi fant tidligere at x = 2y − 4, så x = 2 · 6 − 4 = 8
Vi fant tidligere at z = 33 − 3x − y, så z = 33 − 3 · 8 − 6 = 3
Løsningen til likningssettet er x = 8, y = 6, z = 3.
Vi kan sette prøve på svaret ved å sette inn verdiene for x, y og z i alle likningene.
(I) V.S.: 2x + 3y + z = 2 · 8 + 3 · 6 + 3 = 37. Som er lik H.S.
(II) V.S: 3x + 2y + 3z = 3 · 8 + 2 · 6 + 3 · 3 = 45. Som er lik H.S.
(III) V.S.: 3x + y + z = 3 · 8 + 6 + 3 = 33. Som er lik H.S.
Bruk innsettingsmetoden til å løse likningssettet
(I) x + 3y − 2z = 5
(II) 3x + 5y + 6z = 7
(III) 2x + 4y + 3z = 8
Sett prøve på svaret.
Addisjonsmetoden
Når vi løser et likningssett, er det en tillatt operasjon å addere likninger. Vi adderer da på venstre og høyre side av likhetstegnet hver for seg.
Eksempel 4:
Vi har likningssettet fra eksempel 1:
2x + 4y = 8
x + y = 2
Vi adderer på begge sider av likhetstegnet, og får
3x + 5y = 10
Grafen til den nye likningen, vist med grønt under, går gjennom løsningspunktet til de to andre likningene. Vi kan derfor bruke den nye likningen i løsningsprosessen.
I eksempel 4 så vi at vi ved å addere to likninger fikk en ny likning vi kan bruke i løsningen av et likningssett. Måten vi gjorde det på der, har imidlertid liten praktisk nytte. Poenget med metoden er at vi må tilpasse de opprinnelige likningene slik at vi i den nye likningen får en ukjent mindre.
Eksempel 5:
Vi starter igjen med likningssettet fra eksempel 1:
(I) 2x + 4y = 8
(II) x + y = 2
Men før vi adderer, multipliserer vi med −2 på begge sider av likhetstegnet i (II). Vi får da dette likningssettet:
(I) 2x + 4y = 8
(II) −2x − 2y = −4
Adderer vi likningene, eliminerer vi x, og får
2y = 4
Vi har nå en ny likning med bare én ukjent. Vi løser den med hensyn på y, og får y = 2.
Så setter vi 2 inn for y i (II) og får x + y = 2 ⇒ x + 2 = 2 ⇒ x = 0
Vi har altså funnet samme løsning til likningssettet som da vi brukte innsettingsmetoden, x = 0, y = 2.
Poenget med addisjonsmetoden er altså at vi multipliserer med en verdi på begge sider, slik at en ukjent blir eliminert når vi adderer likningene. I eksempel 5 eliminerte vi x, men vi kunne like gjerne eliminert y, slik som i eksempel 6.
Eksempel 6:
Vi starter igjen med likningssettet:
(I) 2x + 4y = 8
(II) x + y = 2
Vi multipliserer med −4 på begge sider av likhetstegnet i (II). Vi får da dette likningssettet:
2x + 4y = 8
−4x − 4y = −8
Adderer vi likningene, eliminerer vi y, og får
2x = 0, som gir x = 0
Så setter vi 0 inn for x i (II) og får x + y = 2 ⇒ 0 + y = 2 ⇒ y = 2
Igjen har vi kommet fram til løsningen x = 0, y = 2.
Vi kan altså velge hvilken ukjent vi skal eliminere ved addisjon, men det vil jo være en god strategi å eliminere slik at den videre utregningen blir enklest mulig.
Bruk addisjonsmetoden til å løse likningssettet fra oppgave 1:
(I) 3x + 2y = 4
(II) x − y = 3
Verifiser at du får samme svar som i oppgave 1.
I eksempel 5 og 6 var det nok å multiplisere med et helt tall i den ene likningen for å kunne eliminere en ukjent ved addisjon. Ofte vil det imidlertid ikke være slik.
Eksempel 7:
Vi har likningssettet:
(I) 2x + 4y = 8
(II) 5x + 3y = −1
Her finnes det ikke noe helt tall å multiplisere med i verken (I) eller (II) slik at vi kan eliminere x eller y ved addisjon. Men multipliserer vi med 3 i (I) og −4 i (II), får vi
6x + 12y = 24
−20x − 12y = 4
Adderer vi likningene, eliminerer vi y, og får
−14x = 28, som gir x = −2.
Vil vi eliminere x, kan vi multiplisere med 5 i (I) og −2 i (II), slik at vi får
10x + 20y = 40
−10x − 6y = 2
Adderer vi likningene, får vi
14y = 42 ⇒ y = 3.
Multipliserer vi med en brøk, er det nok å multiplisere i én av likningene. Multipliserer vi med −2/5 i (II), får vi
2x + 4y = 8
−2x − 6y/5 = 2/5
Når vi adderer, eliminerer vi x, og får
14y/5 = 42/5 ⇒ y = 3.
Bruk addisjonsmetoden til å løse likningssettet
(I) 2x + 3y = 11
(II) 5x − 7y = −16
Sett prøve på svaret.
Har vi mer enn to likninger i et likningssett, kan vi bruke addisjonsmetoden på likningene parvis og i flere trinn.
Eksempel 8:
Vi skal løse likningssettet fra eksempel 3 ved hjelp av addisjonsmetoden.
(I) 2x + 3y + z = 37
(II) 3x + 2y + 3z = 45
(III) 3x + y + z = 33
Vi velger her å starte med å eliminere x fra paret (I) og (II), og paret (II) og (III), men vi kan også bruke paret (I) og (III) eller paret (II) og (III). Vi kan også starte med å eliminere y eller z i stedet for x. Men igjen bør strategien være å få en så enkel utregning som mulig.
Vi viser ikke alle detaljer i utregningene, de som ønsker, kan gjøre utregningene som en øvelse.
Vi multipliserer (I) med 3, (II) med −2, adderer og får
(IV) 5y − 3z = 21
Vi multipliserer (III) med −1, adderer med (II) og får
(V) y + 2z = 12
Nå har vi fått et nytt likningssett som bare inneholder y og z, og kan bruke addisjonsmetoden på disse for å eliminere ytterligere en ukjent.
Vi multipliserer (V) med −5, adderer med (IV) og får
(VI) −13z = −39 ⇒ z = 3
Så setter vi −5 inn for z i (IV) eller (V). Vi velger (V) fordi det gir enklest utregning, og får y + 2z = 12 ⇒ y + 2 · 3 = 12 ⇒ y = 6
Så setter vi 6 og −5 inn for y og z i (I), (II) eller (III). Vi velger (I) fordi det gir enklest utregning, og får 2x + 3y + z = 37 ⇒ 2x + 3 · 6 + 3 = 37 ⇒ x = 8
Vi har altså kommet fram til x = 8, y = 6, z = 3, som er det samme som vi fikk i eksempel 3.
Bruk addisjonsmetoden til å løse likningssettet fra oppgave 2:
(I) x + 3y − 2z = 5
(II) 3x + 5y + 6z = 7
(III) 2x + 4y + 3z = 8
Verifiser at du får samme svar som i oppgave 2.
Grafisk løsning
I artikkelen om likningssett ser vi hvordan løsningen til et sett med to likninger med to ukjente ligger i skjæringspunktet mellom grafene til likningene. Dette kan vi bruke til å løse et slik likningssett grafisk.
I GeoGebra kan vi gjøre dette ved å skrive inn likningene i inntastingsfeltet og lese av grafen. Dersom løsningen ikke er hele tall, kan det imidlertid være vanskelig å finne skjæringspunktet nøyaktig. Vi benytter oss derfor av kommandoen Skjæring.
Eksempel 9:
Vi skal løse likningssettet under grafisk i GeoGebra.
9x + 5y = 17
6x + 9y = 40
Vi skriver 9x + 5y = 17 og 6x + 9y = 40 i inntastingsfeltet. GeoGebra tegner grafene i grafikkfeltet og legger likningene inn med navn eq1 og eq2 i algebrafeltet. Dette står for «equation 1» og «equation 2». Studerer vi grafene, kan det se ut som skjæringspunktet er (−1, 5), men skriver vi Skjæring(eq1, eq2) i inntastingsfeltet, svarer GeoGebra med (−0.92, 5.06), så dette er løsningen til likningssettet. Det er avrundede verdier, vi kan velge å se flere desimaler med menyvalget «Innstillinger» – «Avrunding».
Likningssett med mer enn to likninger og to ukjente er imidlertid vanskelig å løse grafisk.
Kilder
-
- Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag