Løsningsforslag, derivasjon

Derivasjonsbegrepet

Oppgave 1:

Vi skal bruke definisjonen av den deriverte til å finne f ′(x) når f(x) = 2x + 3.

Vi får

$f'(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x ) – f(x)}{ \Delta x} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(2(x + \Delta x) + 3) – (2x + 3)}{ \Delta x} = \\
\, \\
\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x + 2\Delta x + 3 – 2x -3}{ \Delta x} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2 \Delta x}{ \Delta x} = 2$

Vi har altså at (2x + 3)′ = 2

Tilbake til oppgaven

Derivasjon av potensfunksjoner

Oppgave 1:

Vi skal bruke potensregelen til å derivere følgende funksjoner:

  1. $f(x) = x^5$
     
  2. $f(x) = {\Large \frac{1}{x^4}}$
     
  3. $f(x) = {\Large \frac{1}{\sqrt x}}$

Vi får:

  1. $f'(x) = 5x^4$

  2. $f'(x) = (x^{-4})’ = -4x^{-5} = -{\Large \frac{4}{x^5}}$

  3. $f'(x) = \Bigg({\large \frac{1}{ x^{\large \frac{1}{2}}}}\Bigg)’ = \Big( x^{-\large \frac{1}{2}}\Big)’ = {-\large \frac{1}{2}}x^{\large -\frac{3}{2}} = {-\large \frac{1}{2\sqrt{ x^3}}}$

Derivasjon av ulike typer funksjoner

Oppgave 1:

Vi skal derivere funksjonen f(x) = 12x

Vi bruker regelen om derivasjon av eksponentialfunksjoner:

f ′(x) = 12x ln 12.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal derivere funksjonen f(x) = log2 x.

Vi bruker regelen om derivasjon av logaritmefunksjoner:

$f'(x) = {\large \frac{1}{x \ln 2}}$

Tilbake til oppgaven

Derivasjon av funksjonskombinasjoner

Oppgave 1:

Vi skal derivere funksjonen $f(x) = 7x^4 + 3x^2 – \frac{\displaystyle 8}{\displaystyle x}$

Her deriverer vi ledd for ledd, bruker potensregelen og setter konstanter utenfor.

$\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle x}$ skriver vi først som 8x-1, som har derivert 8(-1)x-2.

$f'(x) = 7 \cdot 4 x^3 + 3 \cdot 2x – 8(-1)x^{-2} = 28x^3 + 6x + \frac{\displaystyle 8}{\displaystyle x^2}$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal derivere funksjonen f(x) = (3x2 + 7x)(4x5 + 2x3) både ved å bruke produktregelen direkte og ved å multiplisere sammen parentesene før vi deriverer.

Produktregelen direkte:

f ′(x) = (3x2 + 7x)′ · (4x5 + 2x3) + (3x2 + 7x) · (4x5 + 2x3)′ =
(6x + 7)·(4x5 + 2x3) + (3x2 + 7x)·(20x4 + 6x2) =
24x6 + 28x5 + 12x4 + 14x3 + 60x6 + 140x5 +18x4 + 42 x3 =
84x6 + 168x5 + 30x4 + 56x3

Multiplisere parenteser først:

f(x) = (3x2 + 7x)·(4x5 + 2x3) = 12x7 + 28x6 + 6x5 + 14x4

f ′(x) = 84x6 + 168x5 + 30x4 + 56x3

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi skal derivere funksjonen $f(x) = \frac{\displaystyle x^2 + 1}{\displaystyle x + 1}$

Kvotientregelen gir

$f'(x) = \frac{\displaystyle (x^2 + 1)’ \cdot (x+1) – (x^2 + 1)\cdot(x+1)’}{\displaystyle (x + 1)^2} = \\
\frac{\displaystyle 2x\cdot (x+1) – (x^2 + 1)\cdot 1}{\displaystyle (x + 1)^2} = \\
\frac{\displaystyle x^2+2x-1}{\displaystyle (x + 1)^2}$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 4:

Vi skal derivere funksjonen $f(x) = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2x}$ både ved å bruke potensregelen og ved å bruke kvotientregelen.

Potensregelen:

$f(‘x) =( \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}x^{-1})’ = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}(-1)x^{-2} = -\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2x^2}$

Kvotientregelen:

$f'(x) = \frac{\displaystyle 3′ \cdot(2x) – 3 \cdot (2x)’}{\displaystyle (2x)^2} = \frac{\displaystyle 0 \cdot(2x) – 3 \cdot 2}{\displaystyle 4x^2} = -\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 4x^2}= -\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2x^2}$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 5:

Vi skal derivere funksjonen f(x) = ln(4x + 8).

Vi ser at hvis vi erstatter 4x + 8 med g, får vi ln g, som vi vet hvordan vi deriverer. Og vi får:

$f'(x) = (\ln g)’ \cdot (4x + 8)’ = {\large \frac{1}{g}} \cdot 4 = {\large \frac{4}{4x + 8}} = {\large \frac{1}{x + 2}}$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 6:

Vi skal derivere funksjonen $f(x) = e^{(x^{\large 2})}$

Vi ser at hvis vi erstatter x2 med g, får vi eg, som vi vet hvordan vi deriverer.
Og vi får:

$f'(x) =(e^g)’ \cdot (x^2)’ = e^g\cdot 2x = 2x e^{(x^{\large 2})}$

Tilbake til oppgaven

Kombinere derivasjonsregler

Oppgave 1:

Vi skal derivere funksjonen f(x) = sin 2x cos 2x

Dette gjenkjenner vi som et produkt, så vi må starte med produktregelen:

f ′(x) = (sin 2x)′ · cos 2x + sin 2x · (cos 2x)′

For å derivere sin 2x og cos 2x må vi bruke kjerneregelen. Dette eksemplet er så enkelt av vi kan gjøre det i hodet, men la oss ta med formalitetene:

(sin 2x)′ = (sin g)′ · (2x)′ = cos g · 2 = 2 cos 2x

og

(cos 2x)′ = (cos g)′ · (2x)′ = -sin g · 2 = -2 sin 2x

f ′(x) = 2 cos 2x · cos 2x + sin 2x · (-2sin 2x) = 2 cos2 2x -2sin2 2x

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal derivere funksjonen $f(x) = \frac{\displaystyle e^x \ln x}{\displaystyle x^2}$

Dette gjenkjenner vi som en kvotient, så vi må starte med kvotientregelen:

$f'(x) = \frac{\displaystyle ( e^x \ln x)’ \cdot x^2 – e^x \ln x \cdot (x^2)’}{\displaystyle (x^2)^2}$

For å derivere ex ln x må vi bruke produktregelen:

$(e^x \ln x)’ = (e^x)’ \cdot \ln x + e^x \cdot (\ln x)’ = e^x \ln x + {\large \frac{e^x}{x}}$

Så vi får

$f'(x) = \frac{\displaystyle \Big(e^x \ln x + \frac{e^x}{x}\Big)\cdot x^2 – e^x \ln x \cdot 2x}{\displaystyle x^4} = \frac{\displaystyle x^2e^x \ln x + xe^x – 2xe^x \ln x}{\displaystyle x^4} =\\
\, \\
\frac{\displaystyle xe^x \ln x + e^x – 2e^x \ln x}{\displaystyle x^3} = \frac{\displaystyle e^x\big(x \ln x – 2 \ln x + 1\big)}{\displaystyle x^3}$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi skal skrive uttrykket $\frac{\displaystyle u}{\displaystyle v}$, som u · v-1 og benytte produktregelen og kjerneregelen til å utlede kvotientregelen, $\Big( \frac{\displaystyle u}{\displaystyle v} \Big)’ = \frac{\displaystyle u’v – uv’}{\displaystyle v^2}$

Ifølge produktregelen får vi:

(uv-1)′ = uv-1 + u(v-1)′

Funksjonene u og v kan være hva som helst, så når det gjelder de deriverte av disse, kan vi ikke angi noe mer presist enn u′ og v’, det er ikke noe vi kan regne videre på. Men ser vi på (v-1)′, ser vi at vi her har en indre og ytre funksjon, og vi kan ekspandere uttrykket ved å bruke kjerneregelen: 

(v-1)′ = v′ · (-1 · v-2)

Så vi har:

$(uv^{-1})’ = u’v^{-1} + u(v^{-1})’ = u’v^{-1} + u(- v^{-2}v’) = \frac{\displaystyle u’}{\displaystyle v} – \frac{\displaystyle uv’}{\displaystyle v^2}$

Til slutt utvider vi den første brøken med v og setter på felles brøkstrek:

$\frac{\displaystyle u’}{\displaystyle v} – \frac{\displaystyle uv’}{\displaystyle v^2} = \frac{\displaystyle u’ \cdot v}{\displaystyle v \cdot v} – \frac{\displaystyle uv’}{\displaystyle v^2} = \frac{\displaystyle u’v – uv’}{\displaystyle v^2}$

Tilbake til oppgaven