Regneregler i algebra
Vi skal multiplisere ut parentesen og trekke uttrykket 6x(2y + 3z − 1 + y) sammen så langt det er mulig.
Vi multipliserer 6x med hvert ledd inni parentesen:
12xy + 18xz − 6x + 6xy
Vi organiserer leddene slik at like ledd kommer etter hverandre:
12xy + 6xy + 18xz − 6x
Vi trekker sammen like ledd og organiserer alfabetisk:
− 6x + 18xy + 18xz
Vi skal multiplisere ut parentesene og trekke uttrykket −3x(2y + 3z − 1 − y) sammen så langt det er mulig.
Vi multipliserer −3x med hvert ledd inni parentesen:
−6xy − 9xz + 3x + 3xy
Vi organiserer leddene slik at like ledd kommer etter hverandre:
−6xy + 3xy − 9xz + 3x
Vi trekker sammen like ledd og organiserer alfabetisk:
3x − 3xy − 9xz
Potensregning
Vi skal regne ut (−5)4 på kalkulator, i Excel og i GeoGebra.
Akkurat hva vi skriver på kalkulator, vil være avhengig av modell, men prinsippet er stort sett det samme. På min Casio fx-82ES PLUS trykker jeg på tastene
( – 5 ) x■ 4 =
Kalkulatoren svarer 625.
I GeoGebra skriver vi (-5)^4 i inntastingsfeltet. GeoGebra svarer med a = 625 i algebrafeltet.
Det er viktig å være oppmerksom på at vi må skrive parentes rundt −5. Opphøying utføres før fortegnsskifte, så −54 blir tolket som −(54) som er −625. Det er en vanlig feil å glemme slike parenteser.
Vi skal regne ut ved å bruke regelen for å multiplisere potenser med samme grunntall, det vil si at vi opphøyer i summen av eksponentene:
$3^5 \cdot 3^2 = 3^{5 + 2} = 3^7 = 2187$
$3 \cdot 3^2 = 3^1 \cdot 3^{2} = 3^{1+2} = 3^3 = 27$
Her har vi brukt at når det står et grunntall uten eksponent, har vi egentlig en eksponent som er 1.
Vi skal regne ut ved å bruke regelen for å dividere potenser med samme grunntall, det vil si at vi opphøyer i differansen av eksponentene:
$\frac{\displaystyle 4^{5}}{\displaystyle 4^{3}} = 4^{5−3} = 4^2 = 16$
$\frac{\displaystyle 4^2}{\displaystyle 4^{−2}} = 4^{2 − (−2)} = 4^4 = 256$
Vi skal regne ut ved å bruke regelen for å opphøye en potens i en eksponent, det vil si at opphøyer i produktet av eksponentene:
$(3^{2})^{3} = 3^{2\cdot 3} = 3^6 = 729$
$(3^{−2})^{−3} = 3^{−2(−3)} = 3^6 = 729$
Vi skal regne ut ved å bruke regelen for å multiplisere to potenser med samme eksponent, det vil si at vi multipliserer grunntallene først, og deretter opphøyer i eksponenten:
$3^{2} \cdot 4^{2} = (3\cdot 4)^2 = 12^2 = 144$
Vi skal regne ut ved å bruke regelen for å dividere to potenser med samme eksponent, det vil si at vi dividerer grunntallene først, og deretter opphøyer i eksponenten:
$\frac{\displaystyle 6^2}{ \displaystyle 3^2} = \Big(\frac{\displaystyle 6}{ \displaystyle 3}\Big)^2 = 2^2 = 4$
Vi skal regne ved å bruke regelen om å flytte en potens under/over en brøkstrek med fortegnsskifte på eksponenten:
$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2^{−4}} = 2^4 = 16$
$3^{−4} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3^4} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 81}$
Kvadratsetningene
Vi skal bruke første kvadratsetning til å regne ut: (3x + 5y)2 og forenkle så langt som mulig.
Første kvadratsetning sier at (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. I parentesen i oppgaven har vi 3x i stedet for a, og 5y i stedet for b, så vi får:
(3x + 5y)2 = (3x)2 + 2 · 3x · 5y + (5y)2 = 9x2 + 30xy + 25y2
Vi ser at når vi opphøyer 3x i andre, så er det både 3-tallet og x som skal opphøyes, og tilsvarende når vi opphøyer 5y i andre, så er det både 5-tallet og y som skal opphøyes. Dette er egentlig i henhold til regelen ax · bx = (a · b)x, som vi lærte på siden Potensregning. I vårt tilfelle bruker vi regelen baklengs, og sier at (3 · x)2 = 32 · x2 = 9x2 og (5 · y)2 = 52 · y2 = 25y2.
Vi skal bruke formelen $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ til å regne ut (2x + 5)3, og sjekke resultatet i CAS.
I parentesen i oppgaven har vi 2x i stedet for a, og 5 i stedet for b, så vi får:
(2x + 5)3 = (2x)3 + 3 · (2x)2 · 5 + 3 · 2x · 52 + 53 = 8x3 + 3 · 4x2 · 5 + 3 · 2x · 25 + 125 = 8x3 + 60x2 + 150x + 125
I CAS skriver vi RegnUt((2x + 5)^3), og GeoGebra gir svaret 8x3 + 60x2 + 150x + 125, så vi har regnet riktig.
Røtter
Vi skal forenkle $\sqrt[\Large 4]{8} \cdot \sqrt[\Large 4]{2}$ mest mulig.
Vi bruker regelen om rota av et produkt baklengs:
$\sqrt[\Large 4]{8} \cdot \sqrt[\Large 4]{2} = \sqrt[\Large 4]{8 \cdot 2} = \sqrt[\Large 4]{16} = 2$
Vi skal forenkle $\frac{\displaystyle \sqrt{a^\phantom 1} \cdot \sqrt[\Large 4]{a^3} \cdot a}{\displaystyle \sqrt[\Large 8]{a^5}}$ mest mulig ved å gå veien om potenser.
Vi skriver først rotuttrykkene om til potenser. Vi husker at a egentlig betyr a1:
$\frac{\displaystyle \sqrt{a^\phantom 1} \cdot \sqrt[\Large 4]{a^3} \cdot a}{\displaystyle \sqrt[\Large 8]{a^5} } = \frac{\displaystyle a^{\large (\frac{1}{2}) } \cdot a^{\large (\frac{3}{4})} \cdot a^1 }{\displaystyle a^{\large (\frac{5}{8})}}$
Så flytter vi potensen under brøkstreken opp samtidig som vi skifter fortegn på eksponenten:
$\frac{\displaystyle a^{\large (\frac{1}{2}) } \cdot a^{\large (\frac{3}{4})} \cdot a^1 }{\displaystyle a^{\large (\frac{5}{8})}} = a^{\large (\frac{1}{2}) } \cdot a^{\large (\frac{3}{4})} \cdot a^1 \cdot a^{\large (−\frac{5}{8})}$
Så benytter vi at å multiplisere to potenser med samme grunntall er det samme som å opphøye grunntallet i summen av eksponentene:
$a^{\large (\frac{1}{2}) } \cdot a^{\large (\frac{3}{4})} \cdot a^1 \cdot a^{\large (−\frac{5}{8})} = a^{\large (\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + 1 – \frac{5}{8})} = a^{\large (\frac{13}{8})}$
Så regner vi tilbake til rot-form:
$a^{\large (\frac{13}{8})} = \sqrt[\Large 8]{a^{13}}$
Gjør vi utregningen med GeoGebra, får vi imidlertid svaret $a \;\sqrt{a} \;\sqrt[\Large 8]{a}$. Vi skal se hvordan vi kommer fram til dette.
Vi deler opp eksponenten i $a^{\large (\frac{13}{8})}$ i en sum av brøker:
$a^{\large (\frac{13}{8})} = a^{\large (\frac{8}{8} + \frac{4}{8} + \frac{1}{8})}$
Vi bruker regelen $a^{\large x} \cdot a^{\large y} = a^{\large x + y}$ baklengs:
$a^{\large (\frac{8}{8} + \frac{4}{8} + \frac{1}{8})} = a^{\large (\frac{8}{8})} \cdot a^{(\large \frac{4}{8})} \cdot a^{(\large \frac{1}{8})} = a^{1} \cdot a^{\large (\frac{1}{2})} \cdot a^{(\large \frac{1}{8})}$
Vi regner om fra potensform til brøkform:
$a^{1} \cdot a^{\large (\frac{1}{2})} \cdot a^{(\large \frac{1}{8})} = a \;\sqrt{a} \;\sqrt[\Large 8]{a}$