Røtter
Vi skal forenkle $\sqrt[\Large 3]{x^4} \cdot \sqrt[\Large 3]{x^{\phantom 1}}$ mest mulig.
Vi får:
$\sqrt[\Large 3]{x^4} \cdot \sqrt[\Large 3]{x^{\phantom 1}} = \sqrt[\Large 3]{x^5} = \sqrt[\Large 3]{x^3 \cdot x^2} = \sqrt[\Large 3]{x^3} \cdot \sqrt[\Large 3]{x^2} = x \sqrt[\Large 3]{x^2}$
Her har vi trukket ut $\sqrt[\Large 3]{x^3}$, fordi dette gir en heltallig potens av x.
Vi skal forenkle $\frac{\displaystyle \sqrt{a^\phantom 1} \cdot \sqrt[\Large 4]{a^3} \cdot a}{\displaystyle \sqrt[\Large 8]{a^5}}$ mest mulig ved å gå veien om potenser.
Vi skriver først rotuttrykkene om til potenser. Vi husker at a egentlig betyr a1:
$\frac{\displaystyle \sqrt{a^\phantom 1} \cdot \sqrt[\Large 4]{a^3} \cdot a}{\displaystyle \sqrt[\Large 8]{a^5} } = \frac{\displaystyle a^{\large (\frac{1}{2}) } \cdot a^{\large (\frac{3}{4})} \cdot a^1 }{\displaystyle a^{\large (\frac{5}{8})}}$
Så flytter vi potensen under brøkstreken opp samtidig som vi skifter fortegn på eksponenten:
$\frac{\displaystyle a^{\large (\frac{1}{2}) } \cdot a^{\large (\frac{3}{4})} \cdot a^1 }{\displaystyle a^{\large (\frac{5}{8})}} = a^{\large (\frac{1}{2}) } \cdot a^{\large (\frac{3}{4})} \cdot a^1 \cdot a^{\large (-\frac{5}{8})}$
Så benytter vi at å multiplisere to potenser med samme grunntall er det samme som å opphøye grunntallet i summen av eksponentene:
$a^{\large (\frac{1}{2}) } \cdot a^{\large (\frac{3}{4})} \cdot a^1 \cdot a^{\large (-\frac{5}{8})} = a^{\large (\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + 1 – \frac{5}{8})} = a^{\large (\frac{13}{8})}$
Så regner vi tilbake til rot-form:
$a^{\large (\frac{13}{8})} = \sqrt[\Large 8]{a^{13}}$
Dette er et helt greit svar. Vi kan imidlertid pynte litt på det ved å trekke $\sqrt[\Large 8]{a^{8}} = a$ ut av uttrykket:
$\sqrt[\Large 8]{a^{13}} = \sqrt[\Large 8]{a^{(8+5)}} = \sqrt[\Large 8]{a^{8}\cdot a^{5}} = \sqrt[\Large 8]{a^{8}} \cdot \sqrt[\Large 8]{a^{5}} = a\sqrt[\Large 8]{a^{5}}$
Her benyttet vi først regelen $a^{\large x} \cdot a^{\large y} = a^{\large x + y}$ baklengs. Deretter benyttet vi at $\sqrt[\LARGE n]{ab} = \sqrt[\LARGE n] a \cdot \sqrt[\LARGE n] b$, før vi regnet ut $\sqrt[\Large 8]{a^{8}} = a$