Løsningsforslag, grunnleggende om funksjoner

Funksjonsbegrepet

Oppgave 1:

Vi har en rektangulær innhegning med sider x og 5 – x, og skal finne

  1. Funksjonen, f(x), som beskriver hvordan arealet i innhegningen varierer med x.
    Arealet av et rektangel finnes ved å multiplisere bredde og høyde, så vi får at f(x) = x(5 – x) = –x2 + 5x.
     
  2. Funksjonens definisjonsmengde.
    Sidekantene må ha en positiv lengde. Vi må derfor ha at x > 0 og at 5 – x > 0. Den siste betingelsen kan omformes til x < 5, så definisjonsmengden blir Df = [0, 5].

​Tilbake til oppgaven

Polynomfunksjoner

Oppgave 1:

Vi skal skissere grafen til f(x) = 2x + 1.

Dette er en førstegradsfunksjon på formen f(x) = ax + b.

b = 1, derfor må grafen gå gjennom (0, 1).

Setter vi x = 1, får vi f(1) = 3. Derfor må grafen gå gjennom (1, 3).

Vi merker av disse to punktene, legger en linjal gjennom dem og tegner en rett linje:

Illustrasjon av førstegradsfunksjon

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal skissere grafen til f(x) = x2 + 2x – 3.

Dette er en andregradsfunksjon på formen f(x) = ax2 + bx + c.

a = 1. Siden a > 0, vender grafen sin hule side oppover.

c = -3, derfor er skjæringspunktet med y-aksen (0,-3).

a = 1, b = 2, derfor har minimumspunktet x-verdien

$-{\large\frac{b}{2a}} = -{\large \frac{2}{2 \cdot 1}} = -1$

Den tilhørende y-verdien blir

f(-1)=(-1)2+2(-1) – 3 = -4.

Minimumspunktet er altså (-1,-4).

a = 1, b = 2, c = -3. Ved å bruke formelen for å løse andregradslikninger finner vi at grafen skjærer x-aksen i x1 = -3 og x2 = 1. Skjæringspunktene er altså (-3, 0) og (1, 0).

En skisse av grafen basert på dette er vist under.

Illustrasjon av andregradsfunksjon

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Basert på andregradsfunksjonen f(x) = x2 – 2x – 3 skal vi svare på fire spørsmål.

Dette er en andregradsfunksjon på formen f(x) = ax2 + bx + c.

  1. Vender grafen sin hule side opp eller ned?
    a = 1. Siden a > 0, vender grafen sin hule side opp.
     
  2. Hva er grafens skjæringspunkt med y-aksen?
    Grafen skjærer y-aksen i c. Siden c = -3, blir skjæringspunktet (0, -3).
     
  3. Hva er grafens skjæringspunkter med x-aksen?
    Løsningen til likningen f(x) = 0 er x1 = -1 og x2 = 3. Skjæringspunktene med x-aksen blir derfor (-1, 0) og (3, 0).
     
  4. Hva er grafens minimums/maksimumspunkt?
    Siden grafen vender sin hule side opp, har den et minimumspunkt. x-verdien til minimumspunktet er
    $-{\large\frac{b}{2a}} = -{\large \frac{-2}{2 \cdot 1}} = 1$
    y-verdien til minimumspunktet er f(1)=12 – 2 · 1 – 3 = -4.
    Så minimumspunktet er (1, -4).

Tilbake til oppgaven

Representasjonsformer

Oppgave 1:

Vi skal finne funksjonsforskriften til linja som har stigningstall -1 og går gjennom punktet (1, 2).

Funksjonsforskriften vil være på formen f(x) = ax + b.

Stigningstallet tilsvarer a, så a = -1

b er gitt ved b = y1ax1 = 2 – (-1)1 = 3

Så funksjonsforskriften blir f(x) = –x + 3.

​Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal finne funksjonsforskriften til linja som går gjennom punktene (-2, -1) og (1, 5).

Funksjonsforskriften vil være på formen f(x) = ax + b.

a er gitt ved $a = \frac{\displaystyle y_2 – y_1}{\displaystyle x_2 – x_1} = {\large \frac{5 – (-1)}{1 – (-2)}} = 2$

(Vi kunne gjerne byttet rundt på punktene og fått $a = {\large \frac{-1 – 5}{-2 – 1}} = 2$)

b er gitt ved b = y1ax1 = -1 – 2(-2) = 3

(For å finne b, kunne vi like gjerne brukt det andre punktet: b = y2ax2 = -5 – 2·1 = 3.)

Så funksjonsforskriften blir f(x) = 2x + 3.

​Tilbake til oppgaven