Funksjonsbegrepet
Vi har en rektangulær innhegning med sider x og 5 – x, og skal finne
- Funksjonen, f(x), som beskriver hvordan arealet i innhegningen varierer med x.
Arealet av et rektangel finnes ved å multiplisere bredde og høyde, så vi får at f(x) = x(5 – x) = –x2 + 5x.
- Funksjonens definisjonsmengde.
Sidekantene må ha en positiv lengde. Vi må derfor ha at x > 0 og at 5 – x > 0. Den siste betingelsen kan omformes til x < 5, så definisjonsmengden blir Df = (0, 5).
Polynomfunksjoner
Vi skal skissere grafen til f(x) = 2x + 1.
Dette er en førstegradsfunksjon på formen f(x) = ax + b.
b = 1, derfor må grafen gå gjennom (0, 1).
Setter vi x = 1, får vi f(1) = 3. Derfor må grafen gå gjennom (1, 3).
Vi merker av disse to punktene, legger en linjal gjennom dem og tegner en rett linje:
Vi skal skissere grafen til f(x) = x2 + 2x – 3.
Dette er en andregradsfunksjon på formen f(x) = ax2 + bx + c.
a = 1. Siden a > 0, vender grafen sin hule side oppover.
c = -3, derfor er skjæringspunktet med y-aksen (0,-3).
a = 1, b = 2, derfor har minimumspunktet x-verdien
$-{\large\frac{b}{2a}} = -{\large \frac{2}{2 \cdot 1}} = -1$
Den tilhørende y-verdien blir
f(-1)=(-1)2+2(-1) – 3 = -4.
Minimumspunktet er altså (-1,-4).
a = 1, b = 2, c = -3. Ved å bruke formelen for å løse andregradslikninger finner vi at grafen skjærer x-aksen i x1 = -3 og x2 = 1. Skjæringspunktene er altså (-3, 0) og (1, 0).
En skisse av grafen basert på dette er vist under.
Basert på andregradsfunksjonen f(x) = x2 – 2x – 3 skal vi svare på fire spørsmål.
Dette er en andregradsfunksjon på formen f(x) = ax2 + bx + c.
- Vender grafen sin hule side opp eller ned?
a = 1. Siden a > 0, vender grafen sin hule side opp.
- Hva er grafens skjæringspunkt med y-aksen?
Grafen skjærer y-aksen i c. Siden c = -3, blir skjæringspunktet (0, -3).
- Hva er grafens skjæringspunkter med x-aksen?
Løsningen til likningen f(x) = 0 er x1 = -1 og x2 = 3. Skjæringspunktene med x-aksen blir derfor (-1, 0) og (3, 0).
- Hva er grafens minimums/maksimumspunkt?
Siden grafen vender sin hule side opp, har den et minimumspunkt. x-verdien til minimumspunktet er
$-{\large\frac{b}{2a}} = -{\large \frac{-2}{2 \cdot 1}} = 1$
y-verdien til minimumspunktet er f(1)=12 – 2 · 1 – 3 = -4.
Så minimumspunktet er (1, -4).
Representasjonsformer
Vi skal finne funksjonsforskriften til linja som har stigningstall -1 og går gjennom punktet (1, 2).
Funksjonsforskriften vil være på formen f(x) = ax + b.
Stigningstallet tilsvarer a, så a = -1
b er gitt ved b = y1– ax1 = 2 – (-1)1 = 3
Så funksjonsforskriften blir f(x) = –x + 3.
Vi skal finne funksjonsforskriften til linja som går gjennom punktene (-2, -1) og (1, 5).
Funksjonsforskriften vil være på formen f(x) = ax + b.
a er gitt ved $a = \frac{\displaystyle y_2 – y_1}{\displaystyle x_2 – x_1} = {\large \frac{5 – (-1)}{1 – (-2)}} = 2$
(Vi kunne gjerne byttet rundt på punktene og fått $a = {\large \frac{-1 – 5}{-2 – 1}} = 2$)
b er gitt ved b = y1 – ax1 = -1 – 2(-2) = 3
(For å finne b, kunne vi like gjerne brukt det andre punktet: b = y2 – ax2 = -5 – 2·1 = 3.)
Så funksjonsforskriften blir f(x) = 2x + 3.