Løsningsforslag, integrasjon

Ubestemte integraler

Oppgave 1:

Vi skal beregne tre ubestemte integraler:

  1. $\int x^3 \; dx$
     
  2. $\int \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x^3} \; dx$
     
  3. $\int \sqrt[4]{t} \; dt$

I alle oppgavene brukes regelen for å integrere potenser: $\int x^r \; dx = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r+1}x^{\displaystyle r+1} + C, \, r \ne -1$.

I 2. brukes i tillegg regelen om at en potens kan flyttes mellom teller og nevner når vi endrer fortegn på eksponenten: $\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a^r} = a^{-r}$.

I 3. brukes i tillegg regelen om at en rot kan skrives som en potens og vice versa: $\sqrt[{\large n}]{a} = a^{\large \frac{1}{n}}$. I 3. heter variabelen t i stedet for x, men det har ingen betydning.

  1. $\int x^3 \; dx = {\large \frac{1}{4}}x^4 + C$
     
  2. $\int \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x^3} \; dx = \int x^{-3} \; dx = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle -2}x^{-2} + C = -\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2x^2} + C$
     
  3. $\int \sqrt[{\large 4}]{t} \; dt = \int t^{\large \frac{1}{4}} \; dt = {\large \frac{1}{{\Large \frac{5}{4}}}}t^{\large \frac{5}{4}} + C = {\large \frac{4}{5}}\sqrt[{\large 4}]{t^5} + C = {\large \frac{4}{5}}t\sqrt[{\large 4}]{t} + C$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal beregne det ubestemt integralet

$\int (4x^3 + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3x^2}) \; dx$

Her brukes reglene om at summer og differanser kan integreres ledd for ledd og at konstanter kan settes utenfor. Andre regler er allerede beskrevet i oppgave 1.

$\int (4x^3 + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3x^2}) \; dx = 4\int x^3 \; dx + {\large\frac{1}{3}} \int x^{-2} \; dx =$

$4 \cdot {\large \frac{1}{4}}x^4 + {\large \frac{1}{3}} \cdot {\large \frac{1}{-1}}x^{-1} + C = x^4 – \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3x} + C$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi skal beregne tre ubestemte integraler:

  1. $\int (2e^x + 3^x) \; dx$
     
  2. $\int 2(\sin x + \cos x) \; dx$
     
  3. $\int x^a \; dx, a \in \mathbb{R}$

I 1. brukes regelen for å integrere ex og generelle eksponentialfunksjoner.

I 2. brukes regelen for å integrere trigonometriske funksjoner.

3. er en luring, for der er det to svar. Dersom a ≠ -1 brukes potensregelen, men hvis a = -1, brukes regelen for ${\large \frac{1}{x}}$.

Andre regler er allerede beskrevet i oppgave 1.

  1. $\int (2e^x + 3^x) \; dx = 2e^x + {\large \frac{1}{\ln 3}}3^x + C$
     
  2. $\int 2(\sin x + \cos x) \; dx = 2\int (\sin x + \cos x) \; dx =$

    $-2 \cos x + 2 \sin x + C = 2(\sin x – \cos x) + C$

     
  3. $\int x^a \; dx, a \in \mathbb R =
    \begin{cases}
    {\large \frac{1}{a + 1}}x^{a + 1} +C & a \ne -1\\
    \\
    \ln |x| + C & a = -1
    \end{cases}$

Tilbake til oppgaven

Bestemte integraler

Oppgave 1:

Vi skal beregne tre bestemte integraler:

  1. $\int\limits_1^3 6x^2 \; dx$
     
  2. $\int\limits_{-1}^1 2 \; dx$
     
  3. $\int\limits_a^b(\sin x + 5^x) \; dx$

Et bestemt integral beregnes ved å beregne det tilhørende ubestemte integralet og sette inn integrasjonsgrensene. For å beregne det ubestemte integralet bruker vi regler som allerede er presentert i avsnittet om ubestemte integraler.

I oppgave 3. er integrasjonsgrensene bokstaver i stedet for tall, men det har ingen betydning for prinsippet. Legg også merke til at vi ikke trenger å ta med absoluttverditegn rundt 5 fordi 5 er et positivt tall.

  1. $\int\limits_1^3 6x^2 \; dx = \big[2x^3\big]_1^3 = 2 \cdot 3^3 – 2 \cdot 1^3 = 54 – 2 = 52$
     
  2. $\int\limits_{-1}^1 2 \; dx = \big[2x\big]_{-1}^1 = 2 \cdot 1 – 2 \cdot (-1) = 2 + 2 = 4$
     
  3. $\int\limits_a^b(\sin x + 5^x) \; dx = \big[-\cos x + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \ln 5}5^x\big]_a^b =$

    $-\cos b + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \ln 5}5^b – (-\cos a + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \ln 5}5^a) = \cos a – \cos b + \frac{\displaystyle 5^b – 5^a}{\displaystyle \ln 5}$

Tilbake til oppgaven

Integral som areal

Oppgave 1:

Vi skal beregne arealet avgrenset av grafen til f(x) = -3x2 + 4x + 8, x-aksen og linjene x = -1 og x = 2.

Arealet er gitt ved

$A = \int\limits_{-1}^2 -3x^2 +4x + 8\; dx = \big[-x^3 + 2x^2 + 8x\big]_{-1}^2 =$

$-2^3 + 2 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 – \big(- (-1)^3 + 2 \cdot (-1)^2 + 8 \cdot (-1) \big) = 16 – (-5) = 21$

Dette er illustrert under.

Areal under graf som ligger over x-aksen

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal finne arealet mellom grafen til f(x) = x3 + 2x2 – x – 2 og x-aksen, avgrenset av skjæringspunktene x = -2, x = -1 og x = 1, med graf som vist under.

Arealet mellom f(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2 og x-aksen

Grafen ligger over x-aksen mellom x = -2 og x = -1, og under x-aksen mellom x = -1 og x = 1. Vi deler derfor opp i to integraler.

For området over x-aksen får vi:
$A_1 = \int\limits_{-2}^{-1}(x^3 + 2x^2 – x – 2) \; dx = \big[{\large \frac{1}{4}}x^4 + {\large \frac{2}{3}}x^3 – {\large \frac{1}{2}}x^2 -2x\big]_{-2}^{-1} =$

${\large \frac{1}{4}}(-1)^4 + {\large \frac{2}{3}}(-1)^3 – {\large \frac{1}{2}}(-1)^2 – 2(-1) – \Big({\large \frac{1}{4}}(-2)^4 + {\large \frac{2}{3}}(-2)^3 – {\frac{1}{2}}(-2)^2 – 2(-2) \Big) =$

${\large \frac{1}{4}} – {\large \frac{2}{3}} – {\large \frac{1}{2}} + 2 – (4 – {\large \frac{16}{3}} – 2 + 4) = {\large \frac{5}{12}}$

For området under x-aksen får vi:
$A_2 = -\int\limits_{-1}^{1}(x^3 + 2x^2 – x – 2) \; dx = \big[{\large \frac{1}{4}}x^4 + {\large \frac{2}{3}}x^3 – {\large \frac{1}{2}}x^2 -2x\big]_{-1}^{1} =$

$-\bigg({\large \frac{1}{4}}1^4 + {\large \frac{2}{3}}1^3 – {\large \frac{1}{2}}1^2 – 2 \cdot 1 – \Big({\large \frac{1}{4}}(-1)^4 + {\large \frac{2}{3}}(-1)^3 – {\large \frac{1}{2}}(-1)^2 – 2(-1)\Big)\bigg) =$

$-\Big({\large \frac{1}{4}} + {\large \frac{2}{3}} – {\large \frac{1}{2}} – 2 – ({\large \frac{1}{4}} – {\large \frac{2}{3}} – {\large \frac{1}{2}} + 2)\Big) = {\large \frac{32}{12}}$

Og det totale arealet blir
$A = A_1 + A_2 = {\large \frac{5}{12}} + {\large \frac{32}{12}} = {\large \frac{37}{12}} \approx 3{,}08$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi skal bruke integrasjon til å beregne arealet markert i bildet under, avgrenset av grafene til f(x) = –x2 + 5 (grønn) og g(x) = x + 3 (blå).

Areal mellom grafene f(x) = -x^2 + 5 og g(x) = x + 3

Det første vi må gjøre, er å finne integrasjonsgrensene, som er skjæringspunktene mellom de to grafene. I skjæringspunktene er verdiene til begge funksjonene like, så vi må ha

x2 + 5 = x + 3

Ordner vi leddene, får vi

x2x + 2 = 0

Vi viser ikke utregningen her, slår bare fast at denne andregradslikningen har løsninger x = -2 og x = 1.

Velger vi å subtrahere funksjonene før vi integrerer, får vi

f(x) – g(x) = –x2 + 5 – (x + 3) = –x2x + 2

Og

$A = \int\limits_{-2}^1 (-x^2 -x + 2) \; dx = \big[- \frac{1}{3}x^3 – \frac{1}{2} x^2 + 2x\big]_{-2}^1 =$

$- \frac{1}{3} \cdot 1^3 – \frac{1}{2} \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 – \Big(- \frac{1}{3} \cdot (-2)^3 – \frac{1}{2} \cdot (-2)^2 + 2 \cdot (-2)\Big) =$

$-\frac{1}{3} – \frac{1}{2} + 2 – \Big(\frac{8}{3} – \frac{4}{2} – 4 \Big) = \frac{9}{2} = 4{,}5$

Tilbake til oppgaven

Integral som helhet

Oppgave 1:

En husstands strømforbruk gjennom et døgn, målt i kW, er gitt ved funksjonen f(t) = -0,003t3 + 0,1t2 – 0,7t + 1, der t er tiden etter midnatt, og vi skal finne totalforbruket i løpet av et døgn, det vil si mellom klokka 00 og 24.

Her skal vi “samle opp” strømforbruket mens t endrer seg fra 0 til 24. Det gjør vi ved å beregne følgende integral:

$\int\limits_0^{24}(-0{,}003t^3 + 0{,}1t^2 – 0{,}7t + 1) \; dt = \big[ -{\large \frac{0{,}003}{4}}t^4 + {\large \frac{0{,}1}{3}}t^3 – {\large \frac{0{,}7}{2}}t^2 + t \big]_0^{24} =$

$-{\large \frac{0{,}003}{4}}\cdot (24)^4 + {\large \frac{0{,}1}{3}} \cdot (24)^3 – {\large \frac{0{,}7}{2}} \cdot (24)^2 + 24 – 0 \approx 34{,}37$

Døgnforbruket blir ca. 34,37 kWh.

Vi ser at vi har fått en endring i enhet. Vi integrerte kW, og fikk kWh. Vi har gått fra effekt, som måles i kilowatt (kW), til energi, som måles i kilowattimer (kWh). 1 kilowattime er det samme som 3600 kilojoule, eller om lag 860 kilokalorier.

h-en stammer fra dt i integrasjonsuttrykket, der det er oppgitt at enheten er timer (h). dt eller dx er altså ikke bare med på å fortelle hvilken variabel vi integrerer med hensyn på, den bidrar til dimensjonen. På samme måte er det når enheten for x er centimeter. Da bidrar dx også med en centimeterdimensjon, og vi får kvadratcentimeter når vi integrerer. Det er jo logisk også, for vi vet jo at integrasjonen kan tolkes som et areal.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal rotere flaten i figuren under om x-aksen til en kjegle, og så, ved integrasjon av uendelig mange sirkelskiver som skjæres av kjegla, vise at volumet er 9π.

Flate som skal roteres til en kjegle

Hver sirkelskive vil ha radius x, og derfor areal π x2. Når vi integrerer dette uttrykket bruker vi integrasjonsgrensene som framgår av figuren, x = 0 og x = 3.

$V = \int\limits_0^3 \pi x^2 \; dx = \pi \big[{\large \frac{1}{3}}x^3\big]_0^3 = \pi ({\large \frac{1}{3}} \cdot 3^3 – {\large \frac{1}{3}} \cdot 0^3) = 9 \pi$.

Som var det vi skulle komme fram til.

Vi ser at vi får det samme hvis vi bruker formelen for volumet av ei kjegle, $V = {\large \frac{1}{3}} \pi r^2 h$, for her er r = 3 og h = 3, så vi får $V = {\large \frac{1}{3}} \pi \cdot 3^2 \cdot 3 = 9 \pi$.

Og på samme måte som i oppgave 1 får vi en endring i dimensjon. Vi integrerer et areal, og får et volum.

Tilbake til oppgaven