Integrasjon ved delbrøkoppspaltning
Vi skal bruke delbrøkoppspalting til å beregne tre integraler.
- $\int \frac{\displaystyle 5x – 3}{\displaystyle (x + 1)(x -3)} \; dx$
Her vet vi at nevner i den ene brøken skal være x – 1 og nevner i den andre brøken x – 3. Så vi får følgende likning:
$\frac{\displaystyle 5x – 3}{(\displaystyle x + 1)(x – 3)} = \frac{\displaystyle A}{\displaystyle x + 1} + \frac{\displaystyle B}{\displaystyle x – 3}$
Vi multipliserer med fellesnevneren og får
5x – 3 = A(x – 3) + B(x + 1)
Vi setter først x = -1 for å bli kvitt B:
5(-1) – 3 = A(-1 – 3) + B(-1 + 1) ⇒ -8 = -4A ⇒ A = 2
Så setter vi x = 3 for å bli kvitt A:
5 · 3 – 3 = A(3 – 3) + B(3 + 1) ⇒ 12 = 4B ⇒ B = 3
Det vil si at integralet blir:
$\int \frac{\displaystyle 5x – 3}{(\displaystyle x + 1)(x -3)} \; dx = \int \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x + 1} \; dx + \int \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle x – 3} \; dx = 2 \ln |x + 1| + 3 \ln | x – 3| + C$
- $\int \frac{\displaystyle 5x – 7}{\displaystyle x^2 – 3x +2} \; dx$
Her må vi først finne nullpunktene i nevneren:
x2 – 3x + 2 = 0 ⇒ x1 = 2 eller x2 = 1
Det vil si at x2 – 3x + 2 kan faktoriseres som (x – 1)(x – 2)
Så vi kan sette opp følgende likning:
$\frac{\displaystyle 5x – 7}{\displaystyle x^2 – 3x + 2} = \frac{\displaystyle A}{\displaystyle x – 2} + \frac{\displaystyle B}{\displaystyle x – 1}$
Vi multipliserer med fellesnevneren og får
5x – 7 = A(x – 1) + B(x – 2)
Vi setter først x = 2 for å bli kvitt B:
5 · 2 – 7 = A(2 – 1) + B(2 – 2) ⇒ 3 = A ⇒ A = 3
Så setter vi x = 1 for å bli kvitt A:
5 · 1 – 7 = A(1 – 1) + B(1 -2) ⇒ -2 = –B ⇒ B = 2
Det vil si at integralet blir:
$\int \frac{\displaystyle 5x – 7}{\displaystyle x^2 – 3x +2} \; dx = \int \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle x -2} \; dx + \int \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x – 1} \; dx = 3 \ln |x – 2| + 3 \ln | x – 1| + C$
- $\int \frac{\displaystyle x^2 + 8}{\displaystyle x^2 – 5x + 6} \; dx$
Her er ikke nevner av større grad enn teller, så vi må først utføre en polynomdivisjon:
$(x^2 + 8) : (x^2 – 5x + 6) = 1 + \frac{\displaystyle 5x + 2}{\displaystyle x^2 – 5x + 6}$
Vi arbeider videre med brøken, og finner først nullpunktene i nevneren:
x2 – 5x + 6 = 0 ⇒ x1 = 3 eller x2 = 2
Det vil si at x2 – 5x + 6 kan faktoriseres som (x – 3)(x – 2)
Så vi kan sette opp følgende likning:
$\frac{\displaystyle 5x + 2}{\displaystyle x^2 – 5x + 6} = \frac{\displaystyle A}{\displaystyle x – 3} + \frac{\displaystyle B}{\displaystyle x – 2}$
Vi multipliserer med fellesnevneren og får
5x + 2 = A(x – 2) + B(x – 3)
Vi setter først x = 3 for å bli kvitt B:
5 · 3 + 2 = A(3 – 2) + B(3 – 3) ⇒ 17 = A ⇒ A = 17
Så setter vi x = 2 for å bli kvitt A:
5 · 2 + 2 = A(2 – 2) + B(2 – 3) ⇒ 12 = –B ⇒ B = -12
Det vil si at integralet blir:
$\int \frac{\displaystyle x^2 + 8}{\displaystyle x^2 – 5x + 6} \; dx = \int 1 \; dx + \int \frac{\displaystyle 17}{\displaystyle x – 3} \; dx – \int \frac{\displaystyle 12}{\displaystyle x – 2} \; dx = x + 17 \ln |x – 3| – 12 \ln |x-2| + C$
Integrasjon ved substitusjon
Vi skal bruke substitusjon til å beregne integralet $\int (x^2 + 1)^3 \, 2x \; dx$. Her ser vi at hvis vi deriverer uttrykket inni parentesen, får vi uttrykket utenfor parentesen. Så vi setter:
g = x2 + 1
og får
$\frac{\displaystyle dg}{\displaystyle dx} = 2x \Leftrightarrow \; dx = \frac{\displaystyle du}{\displaystyle 2x}$
Substitusjon gir
$\int (x^2 + 1)^3 \, 2x \; dx = \int g^3 \, 2x \frac{\displaystyle dg}{\displaystyle dx} = \int g^3 \; dg = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}g^4 + C = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}(x^2 + 1)^4 + C$
Vi skal ta utgangspunkt i det vi gjorde i oppgave 1, og finne $\int\limits_0^1 (x^2 + 1)^3 \, 2x \; dx$ ved
- å sette integrasjonsgrensene inn i det endelige ubestemte integralet.
Vi tar utgangspunkt i det ubestemte integralet i oppgave 1, og får:
$\int\limits_0^1 (x^2 + 1)^3 \, 2x \; dx = \big[\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}(x^2 + 1)^4 \big]_0^1 = \frac{\displaystyle (1^2 + 1)^4}{\displaystyle 4} – \frac{\displaystyle (0^2 + 1)^4}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle 16}{\displaystyle 4} – \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle 15}{\displaystyle 4}$
- å sette integrasjonsgrensene inn i integrasjonsuttrykket for g.
Vi har at:
g = x2 + 1
så
x = 0 gir g= 02 + 1 = 1
og
x = 1 gir g = 12 + 1 = 2
og vi får
$\int\limits_0^1 (x^2 + 1)^3 \, 2x \; dx = \int\limits_1^2 g^3 \; dg = \big[\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}g^4 \big]_1^2 = \frac{\displaystyle 2^4}{\displaystyle 4} – \frac{\displaystyle 1^4}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle 16}{\displaystyle 4} – \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle 15}{\displaystyle 4}$
Delvis integrasjon
Vi skal bruke delvis integrasjon til å beregne integralet $\int (x + 1)e^{-x} \; dx$
Vi bør om mulig velge en u′ som blir enklere ved integrasjon, og en v som blir enklere ved derivasjon. I denne oppgaven ser vi at x + 1 blir enklere ved derivasjon, og e–x vil bare skifte fortegn ved integrasjon. Så vi velger:
u′ = e–x, som gir u = –e–x
og
v = x + 1, som gir v′ = 1
Dette setter vi inn i formelen for delvis integrasjon, $\int u’v \; dx = uv – \int uv’ \; dx$, og får:
$\int (x + 1)e^{-x} \; dx = -e^{-x} (x + 1) – \int -e^{-x} \cdot 1 \; dx = -e^{-x} (x + 1) – e^{-x} + C = -e^{-x}(x + 2) + C$
Vi skal bruke delvis integrasjon til å beregne integralet $\int e^x(3x + 2) \; dx$
3x + 2 blir enklere ved derivasjon og ex er nøytralt ved integrasjon, så vi velger
v = 3x + 2 og u′ = ex
og får
v′ = 3 og u = ex
Vi setter inn i formelen for delvis integrasjon, $\int u’v \; dx = uv – \int uv’ \; dx$, og får:
$\int e^x(3x + 2) \; dx = e^x(3x + 2) – \int e^x \cdot 3 \; dx = e^x(3x + 2) – 3e^x + C = e^x(3x -1) + C$
Vi skal bruke delvis integrasjon til å beregne integralet $\int e^x \sin x \; dx$
Her blir det hipp som happ hva vi lar være v og u′, men velger vi
v = sin x og u′ = ex
får vi
v′ = cos x og u = ex
Og delvis integrasjon gir
$\int e^x \sin x \; dx = e^x \sin x – \int e^x \cos x \; dx$
Vi bruker delvis integrasjon igjen på det nye integralet $\int e^x \cos x \; dx$
Igjen blir det hipp som happ hva vi lar være v og u′, men velger vi
v = cos x og u′ = ex
får vi
v′ = -sin x og u = ex
Og delvis integrasjon gir
$\int e^x \cos x \; dx = e^x \cos x – \int e^x (-\sin x) \; dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \; dx$
Setter vi dette inn i uttrykket for det opprinnelige integralet, får vi
$\int e^x \sin x \; dx = e^x \sin x – e^x \cos x – \int e^x \sin x \; dx$
Nå har vi det opprinnelige integralet på nytt på høyre side med motsatt fortegn, og kan flytte det over til venstre side:
$2\int e^x \sin x \; dx = e^x \sin x – e^x \cos x$
Vi dividerer med 2 på begge sider av likningen og legger til integrasjonskonstanten, C:
$\int e^x \sin x \; dx = \frac{\displaystyle e^x (\sin x – \cos x)}{\displaystyle 2} + C$