Publisert av Sjefen

Løsningsforslag, kombinatorikk

Permutasjoner

Oppgave 1:

Vi skal beregne hvor mange måter ei rekke med 30 elever kan organiseres på. Til plassen først kan vi velge 30 elever, til neste plass 29, elever, og så videre, så dette blir 30! ≈ 2,6 · 1032 måter.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal beregne antall 4-permutasjoner av 10 ved å bruke formelen for antall k-permutasjoner av n, ${\large \frac{n!}{(n − k)!}}$.

Vi setter inn k = 4 og n = 10 og får:

${\large \frac{10!}{(10 − 4)!}} = {\large \frac{3 \, 628 \, 800}{720}} = 5040$.

For å gjøre beregningen i Excel skriver vi = permuter(10; 4). I GeoGebra skriver vi nPr(10,4) i inntastingsfeltet eller CAS.

Tilbake til oppgaven

Ordnede og uordnede utvalg

Oppgave 1:

Vi skal beregne hvor mange forskjellige delegasjoner på 3 som kan velges blant 25 ansatte. Dette blir «tjuefem over tre», altså

${\large \binom{25}{3}} = {\large \frac{25!}{3!(25 − 3)!}} = 2300$.

Det kan velges 2300 forskjellige delegasjoner.

For å kontrollere resultatet i Excel, skriver vi = kombinasjon(25; 3). I GeoGebra skriver vi nCr(25,3) i inntastingsfeltet eller CAS.

Tilbake til oppgaven

Utvalg og delmengder

Oppgave 1:

Vi skal finne ut hvor mange delmengder vi kan lage i mengden A = {a, b, c}, og vurdere om antallet delmengder er riktig.

Vi kan lage følgende tre delmengder med ett element: {a}, {b} og {c}.

Vi kan lage følgende tre delmengder med to elementer: {a, b}, {a, c} og {b, c}.

Vi kan lage følgende delmengde med tre elementer: {a, b, c}.

Vi kan lage følgende delmengde med ingen elementer: {}, det vil si ∅.

Vi har totalt 3 + 3+ 1 + 1 = 8 delmengder, noe som stemmer, siden A inneholder 3 elementer og 23 = 8.

Tilbake til oppgaven

Utvalg fra blandede mengder

Oppgave 1:

Vi har ei gruppe med 11 gutter og 8 jenter, og skal beregne hvor mange kombinasjoner det finnes med

    1. 3 gutter og 3 jenter
       
    2. 1 gutt og 3 jenter
       
    3.  Ingen gutter og 4 jenter

Vi får

    1. ${\large \binom{11}{3}} \cdot {\large \binom{8}{3}} = 165 \cdot 56 = 9240$.
       
    2. ${\large \binom{11}{1}} \cdot {\large \binom{8}{3}} = 11 \cdot 56 = 616$.
       
    3. ${\large \binom{11}{0}} \cdot {\large \binom{8}{4}} = 1 \cdot 70 = 70$.

I tilfelle 2 ser vi at vi egentlig ikke trenger stille opp ${\large \binom{11}{1}}$, det holder å multiplisere med 11.

I tilfelle 3 ser vi at vi egentlig ikke trenger stille opp ${\large \binom{11}{0}}$, fordi dette blir 1.

Imidlertid kan det være lurt å stille opp hele regnestykket slik det er gjort i 2. og 3. fordi det tydeliggjør metoden, og vi slipper å lage spesialtilfeller når vi bare skal velge 1 eller 0.

Tilbake til oppgaven

Kombinasjoner og sannsynligheter

Oppgave 1:

Vi skal beregne antall kombinasjonsmuligheter i korthender med 5 kort:. Korthendene skal henholdsvis

    1. inneholde nøyaktig 2 spar.
       
    2. bare inneholde spar.
       
    3. inneholde spar konge

Vi får:

    1. Denne hånden inneholder 2 av 13 mulige spar og 3 av 39 andre kort, så antall muligheter blir
      ${\large \binom{13}{2}} \cdot {\large \binom{39}{3}} = 78 \cdot 9139 = 712 \, 842$.
       
    2. Denne hånden inneholder 5 av 13 mulige spar og 0 av 39 andre kort, så antall muligheter blir
      ${\large \binom{13}{5}} \cdot {\large \binom{39}{0}} = 1287 \cdot 1 = 1287$.
       
    3. Denne hånden inneholder 1 av 1 mulige spar konge og 4 av 51 andre kort, så antall muligheter blir
      ${\large \binom{1}{1}} \cdot {\large \binom{51}{4}} = 1 \cdot 249 \, 900 = 249 \, 900$.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 7:

Vi skal beregne sannsynlighetene for å få utdelt korthendene med 5 kort nevnt i oppgave 6.

De tre korthendene

    1. inneholder nøyaktig 2 spar.
       
    2. inneholder bare spar.
       
    3. inneholder spar konge

Totalt finnes det ${\large \binom{52}{5}} = 2 \, 598 \, 960$ mulige korthender med 5 kort.

    1. Vi fant i oppgave 6 at det fantes 712 842 hender med nøyaktig 2 spar.
      Gunstige på mulige gir $712 \, 842 : 2 \, 598 \, 960 \approx 0{,}2743$. Det er ca. 27,43 % sjanse for å få en hånd med nøyaktig 2 spar.
       
    2. Vi fant i oppgave 6 at det fantes 1287 hender med bare spar.
      Gunstige på mulige gir $1287 : 2 \, 598 \, 960 \approx 4{,}952\cdot 10^{−4}$. Det er ca. 0,05 % sjanse for å få en hånd med bare spar.
       
    3. Vi fant i oppgave 6 at det fantes 249 900 hender med spar konge.
      Gunstige på mulige gir $249 \, 900 : 2 \, 598 \, 960 \approx 0,0962$. Det er ca. 9,62 % sjanse for å få en hånd som inneholder spar konge.

En interessant observasjon er at denne brøken kan forkortes til${\large \frac{5}{52}}$.
Hva dette skyldes, skjønner vi hvis vi tenker oss at spar konge er vinnerloddet i en bunke med 52 lodd. Trekker vi fem kort tilfeldig, har vi da fem av femtito sjanser for å ha trukket vinnerloddet.

Tilbake til oppgaven

Ordnede utvalg med tilbakelegging

Oppgave 1:

På en kodelås med tre kodehjul, hvert med sifre fra 0 til 9, skal vi finne ut hvor mange mulige koder som kan stilles inn.

Dette er et ordnet utvalg med tilbakelegging. Ordnet fordi rekkefølgen på sifrene i koden er vesentlig, og med tilbakelegging fordi alle sifrene er tilgjengelige på alle hjulene.

Antall kombinasjoner blir derfor 103 = 1000.

Tilbake til oppgaven