Innhold
Permutasjoner
Vi skal beregne hvor mange måter ei rekke med 30 elever kan organiseres på. Til plassen først kan vi velge 30 elever, til neste plass 29 elever, og så videre, så dette blir 30! ≈ 2,6 · 1032 måter.
Vi skal beregne antall 4-permutasjoner av 10 ved å bruke formelen for antall k-permutasjoner av n, ${\large \frac{n!}{(n − k)!}}$.
Vi setter inn k = 4 og n = 10 og får:
${\large \frac{10!}{(10 − 4)!}} = {\large \frac{3 \, 628 \, 800}{720}} = 5040$.
For å gjøre beregningen i Excel skriver vi = permuter(10; 4). I GeoGebra skriver vi npr(10,4) i inntastingsfeltet eller CAS.
Ordnede og uordnede utvalg
Vi skal beregne hvor mange forskjellige delegasjoner på 3 som kan velges blant 25 ansatte. Dette blir «tjuefem over tre», altså
${\large \binom{25}{3}} = {\large \frac{25!}{3!(25 − 3)!}} = 2300$.
Det kan velges 2300 forskjellige delegasjoner.
For å kontrollere resultatet i Excel, skriver vi = kombinasjon(25; 3). I GeoGebra skriver vi ncr(25,3) i inntastingsfeltet eller CAS.
Utvalg og delmengder
Vi skal liste opp de mulige delmengdene vi kan lage i mengden A = {a, b, c}, og vurdere om antallet delmengder stemmer med formelen for antall delmengder.
Vi kan lage 3 delmengder med ett element i hver: {a}, {b} og {c}.
Vi kan lage 3 delmengder med to elementer i hver: {a, b}, {a, c} og {b, c}.
Vi kan lage 1 delmengde med tre elementer: {a, b, c}.
Vi kan lage 1 delmengde med ingen elementer: {}, det vil si ∅.
Vi har totalt 3 + 3+ 1 + 1 = 8 delmengder, noe som stemmer, siden A inneholder 3 elementer og formelen for antall delmengder sier at vi da har 23 = 8 mulige delmengder.
Vi har en mengde med 3 elementer, og skal bruke kombinasjonsformelen til å beregne hvor mange uordnede utvalg som kan lages med henholdsvis 0, 1, 2 og 3 elementer. Vi får:
0 elementer: ${\large \binom{3}{0}} = {\large \frac{3!}{0!(3 − 0)!}} = 1$.
1 element: ${\large \binom{3}{1}} = {\large \frac{3!}{1!(3 − 1)!}} = 3$.
2 elementer: ${\large \binom{3}{2}} = {\large \frac{3!}{2!(3 − 2)!}} = 3$.
3 elementer: ${\large \binom{3}{3}} = {\large \frac{3!}{3!(3 − 3)!}} = 1$.
Så skal vi sjekke om det totale antallet stemmer med formelen for antall mulige delmengder. Det gjør det, for formelen gir 23 = 8 mulige delmengder, og vi har 1 + 3 + 3 + 1 = 8.
Utvalg fra blandede mengder
Vi har ei gruppe med 11 gutter og 8 jenter, og skal beregne hvor mange kombinasjoner det finnes med
-
- 3 gutter og 3 jenter.
- 1 gutt og 3 jenter.
- Ingen gutter og 4 jenter.
- 3 gutter og 3 jenter.
Vi får
-
- ${\large \binom{11}{3}} \cdot {\large \binom{8}{3}} = 165 \cdot 56 = 9240$.
- ${\large \binom{11}{1}} \cdot {\large \binom{8}{3}} = 11 \cdot 56 = 616$.
- ${\large \binom{11}{0}} \cdot {\large \binom{8}{4}} = 1 \cdot 70 = 70$.
- ${\large \binom{11}{3}} \cdot {\large \binom{8}{3}} = 165 \cdot 56 = 9240$.
For tydelighetens skyld velger vi å ta med ${\large \binom{11}{1}}$ og ${\large \binom{11}{0}}$ i utregningene, selv om vi enkelt ser at dette blir henholdsvis 11 og 1.
Vi skal beregne hvor mange korthender med 5 kort det finnes det som
-
- inneholder nøyaktig 2 spar
- bare inneholder spar
- inneholder spar konge
- inneholder nøyaktig 2 spar
Vi får:
-
- Denne hånden inneholder 2 av 13 mulige spar og 3 av 39 andre kort, så antall muligheter blir
${\large \binom{13}{2}} \cdot {\large \binom{39}{3}} = 78 \cdot 9139 = 712 \, 842$.
- Denne hånden inneholder 5 av 13 mulige spar og 0 av 39 andre kort, så antall muligheter blir
${\large \binom{13}{5}} \cdot {\large \binom{39}{0}} = 1287 \cdot 1 = 1287$.
- Denne hånden inneholder 1 av 1 mulige spar konge og 4 av 51 andre kort, så antall muligheter blir
${\large \binom{1}{1}} \cdot {\large \binom{51}{4}} = 1 \cdot 249 \, 900 = 249 \, 900$.
- Denne hånden inneholder 2 av 13 mulige spar og 3 av 39 andre kort, så antall muligheter blir
Kombinasjoner og sannsynligheter
Vi skal beregne sannsynligheten for å få utdelt en pokerhånd med nøyaktig 3 ess.
Denne hånden vil inneholde 3 kort som velges blant 4 ess, og 2 kort som velges blant 48 kort som ikke er ess, noe som gir ${\large \binom{4}{3}} \cdot {\large \binom{48}{2}}$ kombinasjonsmuligheter.
En pokerhånd består av 5 kort delt ut fra en stokk med 52 kort, noe som gir ${\large \binom{52}{5}}$ mulige pokerhender.
Sannsynligheten for å få en pokerhånd med nøyaktig 3 ess blir derfor
${\large \frac{{\Large \binom{4}{3}} \cdot {\Large \binom{48}{2}}}{{\Large \binom{52}{5}}}} = {\large\frac{4 \, \cdot \, 1128}{ 2 \, 598 \, 960}} = {\large\frac{4512}{ 2 \, 598 \, 960}} \approx 1{,}7361\cdot10^{-3}$.
Sannsynligheten er om lag 0,174 %.
NB! Dette er ikke den nøyaktige sannsynligheten for å få «tress i ess», fordi vi i dette tilfellet må ta hensyn til at vi med tre ess også kan ha en hånd som er «hus». Dette er nærmere beskrevet i artikkelen om kombinatorikk i spill.
I en boks ligger 10 kuler som er merket fra A til J, og vi skal bruk kombinasjonsformelen til å beregne sannsynligheten for at et tilfeldig utvalg på tre kuler inneholder kule A.
Dette utvalget består av 1 kule A som velges blant 1 kuler, og 2 andre kuler som velges blant 9 kuler. Totalt velges 3 av 10 kuler. Sannsynligheten blir derfor ${\large \frac{{\Large \binom{1}{1}} \cdot {\Large \binom{9}{2}}}{{\Large \binom{10}{3}}}} = {\large\frac{1 \cdot 36}{120}} = {\large\frac{3}{10}} = 0{,}3$.
Vi kan også modellere dette ut fra at sannsynligheten for å trekke kule A er ${\large \frac{3}{10}} = 0{,}3$ når vi trekker 3 av 10 kuler der 1 av dem er kule A.
Ordnede utvalg med tilbakelegging
På en kodelås med tre kodehjul, hvert med sifre fra 0 til 9, skal vi finne ut hvor mange mulige koder som kan stilles inn.
Dette er et ordnet utvalg med tilbakelegging. Ordnet fordi rekkefølgen på sifrene i koden er vesentlig, og med tilbakelegging fordi alle sifrene er tilgjengelige på alle hjulene.
Antall kombinasjoner blir derfor 103 = 1000.
Uordnede utvalg med tilbakelegging
En iskremkiosk har is med 10 forskjellige smaker, og vi kjøper en kjeks med 3 iskremkuler. Så skal vi regne ut hvor mange smakskombinasjoner vi kan få hvis vi kan velge flere kuler av samme type, og hvis vi bare velger forskjellige typer.
Dette er et uordnet utvalg på k = 3 fra en mengde på totalt n = 10.
Når vi kan velge flere kuler av samme type, har vi trekning med tilbakelegging, så vi får:
${\large \binom{n + k – 1}{k}} = {\large \binom{10 + 3 – 1}{3}} = {\large \binom{12}{3}} = {\large \frac{12!}{3!(12 – 3)!}} = {\large \frac{479 \,001 \, 600}{6 \cdot 362 \, 880}} = 220$.
Når vi velger tre forskjellige typer, har vi trekning uten tilbakelegging, så vi får:
${\large \binom{n}{k}} = {\large \binom{10}{3}} = {\large \frac{10!}{3!(10 – 3)!}} = {\large \frac{3 \,628 \, 800}{6 \cdot 5040}} = 120$.
Antall kombinasjoner blir derfor 103 = 1000.