Førstegradslikninger
Vi skal løse likningen 2u − v = 4u + v − 2, med hensyn på v, og sette prøve på svaret. Målet er da å isolere v på venstre side av likhetstegnet.
Flytter v over på venstre side, skifter fortegn og trekker sammen:
2u − 2v = 4u − 2
Flytter 2u over på høyre side, skifter fortegn og trekker sammen:
−2v = 2u − 2
Dividerer med −2 på begge sider:
v = −u + 1
Det var imidlertid oppgitt at dette var den likningen vi løste med hensyn på u og fikk at u = −v + 1. Vi kan derfor ta utgangspunkt i dette svaret, og løse med hensyn på v.
Vi har:
u = −v + 1
Flytter v over på venstre side og skifter fortegn:
v + u = 1
Flytter u over på høyre side og skifter fortegn:
v = −u + 1
For å sette prøve på svaret erstatter vi v med løsningen −u + 1 på begge sider av likhetstegnet:
V.S.: 2u − v = 2u − (−u + 1) = 2u + u − 1 = 3u − 1.
H.S.: 4u + v − 2 = 4u + (−u + 1) − 2 = 3u − 1.
Begge sider er lik 3u − 1, så løsningen er riktig.
Andregradslikninger
Vis skal løse likningen x2 + 6x = −9.
Flytter −9 over til venstre side med fortegnsskifte:
$x^2+6x−9 = 0$
Benytter hintet og skriver $x^2+6x−9 = 0$ som $(x+3)^2= 0$:
$(x+3)^2= 0$
Setter rot-tegn på begge sider:
$\sqrt{ (x + 3)^2} = \pm \sqrt{0}$
Trekker ut røttene:
$x + 3 = 0$
Flytter 3 over til høyre side med fortegnsskifte:
$x = −3$
Vi skal løse likningen x2 + 2x = 3 ved å bruke metoden med kvadratkomplettering.
For å komplettere kvadratet på venstre side må vi legge til halvparten av førstegradskoeffisienten kvadrert. Koeffisienten er 2, så halvparten er 1, og halvparten kvadrert er 1.
Legger til 1 på begge sider:
$x^2 + 2x + 1 = 3 + 1$
Regner ut høyresiden:
$x^2 + 2x + 1 = 4$
Nå kan vi skrive om fra formen x2 + 2kx + k2 til (x + k)2. Her er k2 = 1, så k = 1, og vi får:
$(x + 1)^2 = 4$
Setter rot-tegn på begge sider:
$\sqrt{ (x + 1)^2} = \pm \sqrt{4}$
Trekker ut røttene:
$x + 1 = \pm 2$
Flytter 1 over til høyre side med fortegnsskifte:
$x = \pm 2 − 1$
Det vil si at løsningene er
$ x_1 = 2 − 1 = 1$
$x_2 = −2 − 1 = −3$
Likninger med ukjent under brøkstrek
Vi skal løse likningen $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 6x − 16} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x − 2}$ og sette prøve på svaret.
Vi kryssmultipliserer:
2(x − 2) = 1(6x − 16)
Vi multipliserer inn i parentesene:
2x − 4 = 6x − 16
Vi flytter 6x over til venstre side med fortegnsskifte og −4 over til høyre side med fortegnsskifte:
2x − 6x = −16 + 4
Vi trekker sammen på begge sider:
− 4x = −12
Vi dividerer med −4 på begge sider:
x = 3
Vi setter prøve på svaret:
V.S.: $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 6x − 16} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 6 \cdot 3 −16} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 2} = 1$
H.S.: $\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x − 2} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3 − 2} = 1$
Venstre og høyre side er like, så løsningen er riktig.
Vi skal løse likningen $\frac{\displaystyle x+2}{\displaystyle x − 3} = \frac{\displaystyle 2x + 4}{\displaystyle x}$ og sette prøve på svaret.
Vi kryssmultipliserer:
x(x + 2) = (2x + 4)(x − 3)
Vi multipliserer inn x på venstre side og multipliserer sammen parentesene på høyre side:
x2 + 2x = 2x2 − 2x − 12
Vi flytter alle ledd over til venstre side med fortegnsskifte:
x2 + 2x − 2x2 + 2x + 12 = 0
Vi organiserer og trekker sammen like ledd:
−x2 + 4x + 12 = 0
Vi løser ved hjelp av abc-formelen:
$x_{1, 2} = {\large \frac{−b \pm \sqrt{b^2 −4ac}}{2a}} = {\large \frac{−4 \pm \sqrt{4^2 − 4 \cdot(−1) \cdot 12}}{2 \cdot(−1)}} = {\large \frac{−4 \pm \sqrt{64}}{−2}} = {\large \frac{−4 \pm 8}{−2}} = 2 \pm 4$
Så
x1 = 2 + 4 = 6
x2 = 2 − 4 = −2
Setter vi prøve på svaret, får vi når x = 6:
VS.: $\frac{\displaystyle x+2}{\displaystyle x − 3} = \frac{\displaystyle 6+2}{\displaystyle 6 − 3} = \frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 3} $
H.S.: $\frac{\displaystyle 2x + 4}{\displaystyle x} = \frac{\displaystyle 2 \cdot 6 + 4}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 16}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 3}$
Når x = −2, får vi:
VS.: $\frac{\displaystyle x+2}{\displaystyle x − 3} = \frac{\displaystyle −2+2}{\displaystyle −2 − 3} = \frac{\displaystyle 0}{\displaystyle −5} = 0$
H.S.: $\frac{\displaystyle 2x + 4}{\displaystyle x} = \frac{\displaystyle 2 \cdot (−2) + 4}{\displaystyle −2} = \frac{\displaystyle 0}{\displaystyle −2} = 0$
I begge tilfeller er venstre og høyre side like, så løsningene er riktige.