Løsningsforslag, mer om algebra

Summasjonstegn

Oppgave 1:

Vi skal beregne summen som angis med uttrykket $\displaystyle \sum_{n = 1}^{3} 2^n$.

Her går summasjonsindeksen fra og med 1 til og med 3, og settes inn for n i 2ⁿ. Så vi får 2¹ + 2² + 2³ = 2 + 4 + 8 = 14.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal skrive summen ${\large \frac{1}{3}} + {\large \frac{1}{4}} + {\large \frac{1}{5}} + \cdots + {\large \frac{1}{100}}$ ved hjelp av summasjonstegn.

Her er det algebraiske uttrykket ${\large \frac{1}{n}}$, startverdien for n er 3 og sluttverdien er 100. Så dette blir

$\displaystyle \sum_{n = 3}^{100} \frac{1}{n}$

Tilbake til oppgaven

Logaritmer

Oppgave 1:

Vi skal beregne den briggske logaritmen til 0,2 og den briggske antilogaritmen til 2 på kalkulator og med Excel eller GeoGebra.

For å beregne log 0,2 på min Casio fx-82ES PLUS, trykker jeg på tastene log 0 . 2 ) =. Kalkulatoren svarer −0.6989700043. For å gjøre utregningen i Excel, skriver vi =log(0,2). I GeoGebra, skriver vi log(0.2) i inntastingsfeltet.

For å beregne den briggske antilogaritmen til 2 på min kalkulator, trykker jeg på tastene 10^■ 2 =. Kalkulatoren svarer 100. For å gjøre tilsvarende i Excel, skriver vi =10^2. I GeoGebra, skriver vi 10^2 i inntastingsfeltet.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal beregne den naturlige logaritmen til 0,2 og den naturlige antilogaritmen til 2 på kalkulator og med GeoGebra.

For å beregne ln 0,2 på min Casio fx-82ES PLUS, trykker jeg på tastene ln 0 . 2 ) =. Kalkulatoren svarer −1.609437912. For å gjøre utregningen i Excel, skriver vi =ln(0,2). I GeoGebra skriver vi ln(0.2) i inntastingsfeltet.

For å beregne den naturlige antilogaritmen til 2 på min kalkulator, trykker jeg på tastene e^■ 2 =. Kalkulatoren svarer 7.389056099. For å gjøre tilsvarende i Excel, skriver vi =eksp(2). I GeoGebra, skriver vi exp(2) i inntastingsfeltet.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi skal kople hvert av de fire uttrykkene under til riktig punkt på tallinja: 

1. 1. 1. log 5
      2. ln 5
      3. log 1
      4. ln 0,5

1. 1. log 5. Her tar vi den briggske logaritmen, med grunntall 10, til 5. Siden 1 < 5 < 10, må log 5 ligge mellom 0 og 1, så det er punkt C.
       
   2. ln 5. Her tar vi den naturlige logaritmen, med grunntall e ≈ 2,71828, til 5. Siden 5 > e, må ln 5 være større enn 1, så det er punkt D.
       
   3. log 1. Her tar vi logaritmen til 1, som er 0, uavhengig av grunntall. Så det er punkt B.
       
   4. ln 0,5. Her tar vi logaritmen til 0,5, som er et negativt tall, uavhengig av grunntall. Så det er punkt A.

Skriver vi henholdsvis =log(5), =ln(5), =log(1) og =ln(0,5) i Excel eller (5), ln(5), log(1) og ln(0.5) i inntastingsfeltet i GeoGebra, ser vi at svarene stemmer med verdiene til henholdsvis punkt C, D, B og A.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 4:

Vi skal beregne log₃ 81 ved å bruke funksjonen ln i Excel eller GeoGebra, og kontrollere svaret ved å bruke log med grunntall 3.

Her benytter vi oss av at $\log_{\large a} x = \frac{\displaystyle \ln x}{\displaystyle \ln a}$, så vi skal beregne ${\large \frac{\ln 81}{\ln 3}}$. Vi skriver =ln(81) / ln(3) i Excel eller ln(81) / ln(3) i inntastingsfeltet i GeoGebra, og får 4 til svar.

Vi ser at dette svaret er riktig fordi 3⁴ = 81. 4 er det tallet vi må opphøye grunntallet 3 i for å få 81.

For å kontrollere svaret, skriver vi =log(81; 3) i Excel eller log(3, 81) i inntastingsfeltet.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 5:

Vi skal anslå verdien til punktene B, C, D, F, G og H som er vist på en logaritmisk skala der verdiene 10 og 100 er markert. Svaret er

B: 2,5, C: 5,0, D: 7,5, F: 25, G: 50, H: 75.

Her er det fort å gå fem på og tenke som om det var en lineær skala mellom 1 og 10 og 10 og 100, og tro at det er lengre mellom A og B enn mellom D og E, og lengre mellom E og F enn mellom H og I.

I bildet under er samme skala vist, men nå med mellomenhetene 2, 3, … , 9 og 20, 30, … , 90 markert. Vi ser at avstanden mellom enhetene avtar jo større enhetene blir.

Tilbake til oppgaven