Løsningsforslag, mer om algebra

Logaritmer

Oppgave 1:

Vi skal beregne log 2, log 20 og log 0,2

  1. med Excel.
    Vi skriver henholdsvis =log10(2), =log10(20) og =log10(0,2) i hver sin celle.
  2. med GeoGebra.
    Vi skriver henholdsvis lg 2, lg 20 og lg 0.2 i inntastingsfeltet.

Resultatet skal uavhengig av beregningsverktøy bli det samme: log 2 ≈ 0,3, log 20 ≈ 1,3 og log 0,2 ≈ -0,7.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal beregne log3 81 ved å bruke funksjonen ln.

Her benytter vi oss av at $\log_{\large a} x = \frac{\displaystyle \ln x}{\displaystyle \ln a}$, og får

$\log_{\large 3} 81 = {\large \frac{\ln 81}{\ln 3}} = 4$.

Vi ser at dette svaret er riktig fordi 34 = 81. 4 er det tallet vi må opphøye grunntallet 3 i for å få 81.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi skal løse likningen 122x + 3= 125.

Vi flytter 3 over til høyre side og skifter fortegn: 122x = 125 – 3 = 122.

Vi tar logaritmen på begge sider av likhetstegnet: ln 122x = ln 122.

Vi flytter ned eksponenten: 2x · ln 12 = ln 122.

Vi dividerer med 2 og ln 12 på begge sider: $x = {\large \frac{\ln 122}{2 \cdot \ln 12}} \approx 0{,}97$.

Vær obs på at små avrundingsfeil gir store utslag hvis vi setter prøve på svaret.

NB! Dette er feil metode:

ln( 122x + 3 ) = ln 125

2x · ln 12 + ln 3 = ln 125

Logaritmen til en sum er ikke lik summen av logaritmene.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 4:

Vi skal anslå verdien til punktene B, C, D, F, G og H som er vist på en logaritmisk skala der verdiene 10 og 100 er markert. Svaret er

B: 2,5, C: 5,0, D: 7,5, F: 25, G: 50, H: 75.

Her er det fort å gå fem på og tenke som om det var en lineær skala mellom 1 og 10 og 10 og 100, og tro at det er lengre mellom A og B enn mellom D og E, og lengre mellom E og F enn mellom H og I.

I bildet under er samme skala vist, men nå med mellomenhetene 2, 3, … , 9 og 20, 30, … , 90 markert. Vi ser at avstanden mellom enhetene avtar jo større enhetene blir.

Punkter langs logaritmisk akse med mellomverdier markert

Tilbake til oppgaven

Bevis og bevisteknikk

Oppgave 1:

Vi skal bevise at det finnes nøyaktig ett heltall, n ∈ [20, 25], som består av nøyaktig fire primtallsfaktorer.

Vi faktoriserer heltallene mellom 20 og 25:

20 = 2 · 2 · 5

21 = 3 · 7

22 = 2 · 11

23 = 23

24 = 2 · 2 · 2 · 3

25 = 5 · 5

Vi ser at 24 og ingen andre av tallene oppfyller kravet, og påstanden er derved bevist.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal bevise at påstanden “alle sammensatte tall større enn hundre består av minst tre primtallsfaktorer” er uriktig.

Det gjør vi ved et moteksempel: 106 er et sammensatt tall, men inneholder bare 2 primtallsfaktorer. 106 = 2 · 53.

​Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi spør hvor mange, m, sokker vi må ha blant n typer for at minst to skal være like. Dueslagprinsippet sier at dette vil vi ha når m > n. Siden n = 5, og minste m > 5 er 6, må vi ha minst seks sokker.

​Tilbake til oppgaven

Oppgave 4:

Vi skal bevise at summen av to oddetall er et partall. Et oddetall er et tall på formen 2t + 1 der t er et helt tall. Summen av to oddetall kan skrives som (2n + 1) + (2m + 1) = 2(n + m + 1). Siden n + m + 1 er et heltall, ser vi at produktet er på formen 2t, og derved et partall.

​Tilbake til oppgaven

Oppgave 5:

Dividerer vi 111 på 1+1+1, får vi 37.

$\frac{\displaystyle 111}{\displaystyle 1+1+1} = 37$

Dividerer vi 222 på 2+2+2, får vi også 37.

$\frac{\displaystyle 222}{\displaystyle 2+2+2} = 37$

Og det samme gjelder for alle siffer 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9.

Så skal vi bruke prinsippet med algebraiske bevis til å begrunne hvorfor det er slik.

Lar vi a representere hvilket som helst av sifrene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9, og skriver telleren på utvidet form, får vi a · 100 + a · 10 + a = a(100 + 10 + 1) = 111a.
Nevneren blir a + a + a = 3a. Så brøken blir $\frac{\displaystyle 111a}{\displaystyle 3a}$, som kan forkortes til 37.

​Tilbake til oppgaven

Oppgave 6:

Vi påsto at det ikke fantes hele, positive tall, a og b, slik at a2b2 = 12.fordi vi, både når vi faktoriserte 12 som 4 · 3 og 12 · 1, endte opp med en $a$ som ikke var et heltall.

Vi har imidlertid ikke tatt for oss alle måtene 12 kan faktoriseres på. Vi kan også ha 12 = 6 · 2 og da får vi

(a + b)(ab) = (6)(2) = 12.

Vi må altså ha
a + b = 6
ab = 2

Summerer vi de to likningene, får vi 2a + 0b = 8, det vil si at a = 4. Og vi ser at vi da får b = 2.

Det finnes altså a og b som er heltall, vi har ikke motsagt den opprinnelige forutsetningen, og beviset faller sammen. Vi har at 42 – 22 = 16 – 4 = 12.

​Tilbake til oppgaven

Oppgave 7:

Vi skal bevise at

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{\displaystyle n(n + 1)(2n+1)}{\displaystyle 6}$

for alle n ≥ 1.

I trinn 1 viser vi da at påstanden er riktig for n0 = 1, det vil si at summen av kvadrattallene fra og med 12 til og med 12 blir 1. Og formelen gir

$\frac{\displaystyle 1(1 + 1)(2\cdot1+1)}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 1 \cdot 2 \cdot 3} {\displaystyle 6} = 1$

så påstanden er riktig for n0 = 1.

Formelen vi skal bevise sier at hvis

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + {\color{brown}n}^2 = \frac{\displaystyle {\color{brown}n}({\color{brown}n} + 1)(2{\color{brown}n}+1)}{\displaystyle 6}$

er

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 + ({\color{brown}{n + 1}})^2 = \frac{\displaystyle ({\color{brown}{n + 1}})(({\color{brown}{n + 1}}) + 1)(2({\color{brown}{n +1}})+1)}{\displaystyle 6}$

(For å tydeliggjøre har vi markert siste ledd i rekka med brunt.)

Regner vi ut telleren i brøken, ser vi at den blir

$\frac{\displaystyle (n+1)(n+2)(2n+3)}{\displaystyle 6}$

I trinn 2 skal vi vise at dette er riktig. Vi har altså

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{\displaystyle n(n + 1)(2n+1)}{\displaystyle 6}$

Vi adderer et nytt ledd på begge sider av likhetstegnet:

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 + (n+1)^2= \frac{\displaystyle n(n + 1)(2n+1)}{\displaystyle 6} + (n+1)^2$

Vi skriver uttrykket på høyre side som en enkelt brøk:

$\frac{\displaystyle n(n + 1)(2n+1) + 6(n+1)^2}{\displaystyle 6}$

Vi setter n + 1 utenfor parentes:

$\frac{\displaystyle (n + 1)\Big(n(2n+1) + 6(n+1)\Big)}{\displaystyle 6}$

Inni den store parentesen regner vi ut parenteser og trekker sammen like ledd :

$\frac{\displaystyle (n + 1)(2n^2+7n+6)}{\displaystyle 6}$

Vi faktoriserer andregradsuttrykket:

$\frac{\displaystyle (n + 1) \cdot 2(n+2)(n+\frac{3}{2})}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle (n + 1) (n+2)(2n+2\cdot\frac{3}{2})}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle (n + 1) (n+2)(2n+3)}{\displaystyle 6}$

Som er det uttrykket formelen sa vi skulle få.

​Tilbake til oppgaven