Løsningsforslag, mer om algebra

Logaritmer

Oppgave 1:

Vi skal beregne $\log 2$, $\log 20$ og $\log 0{,}2$

  1. med Excel.
    Vi skriver henholdsvis  =log10(2), =log10(20) og =log10(0,2) i hver sin celle.
  2. med GeoGebra.
    Vi skriver henholdsvis lg 2, lg 20 og lg 0.2 i inntastingsfeltet.

Resultatet skal uavhengig av beregningsverktøy bli det samme: $\log 2 \approx 0{,}3$, $\log 20 \approx 1{,}3$ og $\log 0{,}2 \approx -0{,}7$.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal beregne $\log_{\large 3} 81$ ved å bruke funksjonen $\ln$.

Her benytter vi oss av at $\log_{\large a} x = \frac{\displaystyle \ln x}{\displaystyle \ln a}$, og får

$\log_{\large 3} 81 = \frac{\displaystyle \ln 81}{\displaystyle \ln 3} = 4$.

Vi ser at dette svaret er riktig fordi $3^4 = 81$. 4 er det tallet vi må opphøye grunntallet 3 i for å få 81.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi skal løse likningen $12^{\large 2x} + 3= 125$.

Vi flytter 3 over til høyre side: $12^{\large 2x} = 125 – 3 = 122$.

Vi tar logaritmen på begge sider av likhetstegnet: $\ln 12^{\large 2x} = \ln 122$.

Vi flytter ned eksponenten: $2x \cdot \ln 12 = \ln 122$.

Vi dividerer med 2 og $\ln 12$ på begge sider: $x = \frac{\displaystyle \ln 122}{\displaystyle 2 \cdot \ln 12} \approx 0{,}97$.

Vær obs på at små avrundingsfeil gir store utslag hvis vi setter prøve på svaret.

NB! Dette er feil metode:

$\color{red}{ \ln( 12^{\large 2x} + 3 )= \ln 125 \\
\Downarrow \\
2x \cdot \ln 12 + \ln 3 = \ln 125}$

Logaritmen til en sum er ikke lik summen av logaritmene.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 4:

Vi skal anslå verdien til punktene B, C, D, F, G og H som er vist på en logaritmisk skala der verdiene 10 og 100 er markert. Svaret er

B: 2,5, C: 5,0, D: 7,5, F: 25, G: 50, H: 75.

Her er det fort å gå fem på og tenke som om det var en lineær skala mellom 1 og 10 og 10 og 100, og tro at det er lengre mellom A og B enn mellom D og E, og lengre mellom E og F enn mellom H og I.

I bildet under er samme skala vist, men nå med mellomenhetene $2, 3, \dots, 9$ og $20, 30, \dots, 90$ markert. Vi ser at avstanden mellom enhetene avtar jo større enhetene blir.

Punkter langs logaritmisk akse med mellomverdier markert

Tilbake til oppgaven

Bevis og bevisteknikk

Oppgave 1:

Vi skal bevise at det finnes nøyaktig ett heltall, $n \in[20, 25]$, som består av nøyaktig fire primfaktorer.

Vi faktoriserer heltallene mellom 20 og 25:

20 = 2 ·  2 · 5

21 = 3 · 7

22 = 2 · 11

23 = 23

24 = 2 · 2 · 2 · 3

25 = 5 · 5

Vi ser at 24 og ingen andre av tallene oppfyller kravet, og påstanden er derved bevist.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal bevise at påstanden “alle sammensatte tall større enn hundre består av minst tre primfaktorer” er uriktig.

Det gjør vi ved et moteksempel: 106 er et sammensatt tall, men inneholder bare 2 primfaktorer. 106 = 2 · 53.

​Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi spør hvor mange, $m$, sokker vi må ha blant $n$ typer for at minst to skal være like. Dueslagprinsippet sier at dette vil vi ha når $m > n$. Siden $n = 5$, og minste $m > 5$ er $6$, må vi ha minst seks sokker.

​Tilbake til oppgaven

Oppgave 4:

Vi skal bevise at summen av to oddetall er et partall. Et oddetall er et tall på formen $2t + 1$ der $t$ er et helt tall. Summen av to oddetall kan skrives som $(2n + 1) + (2m + 1) = 2(n + m + 1)$. Siden $n + m + 1$ er et heltall, ser vi at produktet er på formen $2t$, og derved et partall.

​Tilbake til oppgaven

Oppgave 5:

Vi påsto at likningen $a^2 – b^2 = 12$ ikke hadde positive heltallsløsninger fordi vi, både når vi faktoriserte $12$ som $3 \cdot 4$ og $1 \cdot 12$, endte opp med en $a$ som ikke var et heltall.

Vi har imidlertid ikke tatt for oss alle måtene 12 kan faktoriseres på. Vi kan også ha $12 = 2 \cdot 6$ og da får vi $(a + b) = 6$ og $(a – b) = 2$. Summerer vi de to likningene, får vi $2a = 8 \Rightarrow a = 4$. Setter vi dette inn i $a + b = 6$, får vi  $4 + b = 6 \Rightarrow b = 2$. Beviset faller derved sammen. Vi har $4^2 – 2^2 = 12$.

​Tilbake til oppgaven

Oppgave 6:

Vi skal bevise at

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{\displaystyle n(n + 1)(2n+1)}{\displaystyle 6}$

for alle n ≥ 1.

I trinn 1 viser vi da at påstanden er riktig for n0 = 1, det vil si at summen av kvadrattallene fra og med 12 til og med 12 blir 1. Og formelen gir

$\frac{\displaystyle 1(1 + 1)(2\cdot1+1)}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 1 \cdot 2 \cdot 3} {\displaystyle 6} = 1$

så påstanden er riktig for n0 = 1.

Formelen vi skal bevise sier at hvis

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + {\color{brown}n}^2 = \frac{\displaystyle {\color{brown}n}({\color{brown}n} + 1)(2{\color{brown}n}+1)}{\displaystyle 6}$

er

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 + ({\color{brown}{n + 1}})^2 = \frac{\displaystyle ({\color{brown}{n + 1}})(({\color{brown}{n + 1}}) + 1)(2({\color{brown}{n +1}})+1)}{\displaystyle 6}$

(For å tydeliggjøre har vi markert siste ledd i rekka med brunt.)

Regner vi ut telleren i brøken, ser vi at den blir

$\frac{\displaystyle (n+1)(n+2)(2n+3)}{\displaystyle 6}$

I trinn 2 skal vi vise at dette er riktig. Vi har altså

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{\displaystyle n(n + 1)(2n+1)}{\displaystyle 6}$

Vi adderer et nytt ledd på begge sider av likhetstegnet:

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 + (n+1)^2= \frac{\displaystyle n(n + 1)(2n+1)}{\displaystyle 6} + (n+1)^2$

Vi skriver uttrykket på høyre side som en enkelt brøk:

$\frac{\displaystyle n(n + 1)(2n+1) + 6(n+1)^2}{\displaystyle 6}$

Vi setter n + 1 utenfor parentes:

$\frac{\displaystyle (n + 1)\Big(n(2n+1) + 6(n+1)\Big)}{\displaystyle 6}$

Inni den store parentesen regner vi ut parenteser og trekker sammen like ledd :

$\frac{\displaystyle (n + 1)(2n^2+7n+6)}{\displaystyle 6}$

Vi faktoriserer andregradsuttrykket:

$\frac{\displaystyle (n + 1) \cdot 2(n+2)(n+\frac{2}{3})}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle (n + 1) (n+2)(2n+2\cdot\frac{2}{3})}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle (n + 1) (n+2)(2n+3)}{\displaystyle 6}$

Som er det uttrykket formelen sa vi skulle få.

​Tilbake til oppgaven