Innhold
Logaritmer
Vi skal beregne log 2, log 20 og log 0,2
- med Excel.
Vi skriver henholdsvis =log10(2), =log10(20) og =log10(0,2) i hver sin celle. - med GeoGebra.
Vi skriver henholdsvis lg 2, lg 20 og lg 0.2 i inntastingsfeltet.
Resultatet skal uavhengig av beregningsverktøy bli det samme: log 2 ≈ 0,3, log 20 ≈ 1,3 og log 0,2 ≈ -0,7.
Vi skal beregne log3 81 ved å bruke funksjonen ln.
Her benytter vi oss av at $\log_{\large a} x = \frac{\displaystyle \ln x}{\displaystyle \ln a}$, og får
$\log_{\large 3} 81 = {\large \frac{\ln 81}{\ln 3}} = 4$.
Vi ser at dette svaret er riktig fordi 34 = 81. 4 er det tallet vi må opphøye grunntallet 3 i for å få 81.
Vi skal løse likningen 122x + 3= 125.
Vi flytter 3 over til høyre side og skifter fortegn: 122x = 125 – 3 = 122.
Vi tar logaritmen på begge sider av likhetstegnet: ln 122x = ln 122.
Vi flytter ned eksponenten: 2x · ln 12 = ln 122.
Vi dividerer med 2 og ln 12 på begge sider: $x = {\large \frac{\ln 122}{2 \cdot \ln 12}} \approx 0{,}9667$.
Vær obs på at små avrundingsfeil gir store utslag hvis vi setter prøve på svaret.
NB! Dette er feil metode:
ln( 122x + 3 ) = ln 125
⇓
2x · ln 12 + ln 3 = ln 125
Logaritmen til en sum er ikke lik summen av logaritmene.
Vi skal anslå verdien til punktene B, C, D, F, G og H som er vist på en logaritmisk skala der verdiene 10 og 100 er markert. Svaret er
B: 2,5, C: 5,0, D: 7,5, F: 25, G: 50, H: 75.
Her er det fort å gå fem på og tenke som om det var en lineær skala mellom 1 og 10 og 10 og 100, og tro at det er lengre mellom A og B enn mellom D og E, og lengre mellom E og F enn mellom H og I.
I bildet under er samme skala vist, men nå med mellomenhetene 2, 3, … , 9 og 20, 30, … , 90 markert. Vi ser at avstanden mellom enhetene avtar jo større enhetene blir.
Bevis og bevisteknikk
Vi skal bevise at det finnes nøyaktig ett heltall, n ∈ [20, 25], som består av nøyaktig fire primtallsfaktorer.
Vi faktoriserer heltallene mellom 20 og 25:
20 = 2 · 2 · 5
21 = 3 · 7
22 = 2 · 11
23 = 23
24 = 2 · 2 · 2 · 3
25 = 5 · 5
Vi ser at 24 og ingen andre av tallene oppfyller kravet, og påstanden er derved bevist.
Vi skal bevise at påstanden «alle sammensatte tall større enn hundre består av minst tre primtallsfaktorer» er uriktig.
Det gjør vi ved et moteksempel: 106 er et sammensatt tall, men inneholder bare 2 primtallsfaktorer. 106 = 2 · 53.
Vi spør hvor mange, m, sokker vi må ha blant n varianter for at minst to skal være like. Dueslagprinsippet sier at dette vil vi ha når m > n. Siden n = 5, og minste m > 5 er 6, må vi ha minst seks sokker.
Vi skal bevise at summen av to oddetall er et partall. Et oddetall er et tall på formen 2t + 1 der t er et helt tall. Summen av to oddetall kan skrives som (2n + 1) + (2m + 1) = 2(n + m + 1). Siden n + m + 1 er et heltall, ser vi at produktet er på formen 2t, og derved et partall.
Dividerer vi 111 på 1+1+1, får vi 37.
$\frac{\displaystyle 111}{\displaystyle 1+1+1} = 37$
Dividerer vi 222 på 2+2+2, får vi også 37.
$\frac{\displaystyle 222}{\displaystyle 2+2+2} = 37$
Og det samme gjelder for alle siffer 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9.
Så skal vi bruke prinsippet med algebraiske bevis til å begrunne hvorfor det er slik.
Lar vi a representere hvilket som helst av sifrene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9, og skriver telleren på utvidet form, får vi a · 100 + a · 10 + a = a(100 + 10 + 1) = 111a.
Nevneren blir a + a + a = 3a. Så brøken blir $\frac{\displaystyle 111a}{\displaystyle 3a}$, som kan forkortes til 37.
Vi skal finne feilen i et «bevis» for at −1 = 1.
«Beviset» består av en kjede med implikasjoner. Men én av implikasjonene er feil.
At $\sqrt{(2 − 1)^2 }= \sqrt{(1 − 2)^2}$ medfører ikke at 2 − 1 = 1 − 2.
Generelt har vi at a = b ⇒ a2 = b2, men vi kan ikke snu implikasjonspila, fordi også a = −b ⇒ a2 = b2.
Implikasjonskjeden er brutt. Vi ser her hvordan en eneste implikasjonsfeil ødelegger en hel kjede av implikasjoner som ellers er riktige.
Vi påsto at det ikke fantes hele, positive tall, a og b, slik at a2 – b2 = 12.fordi vi, både når vi faktoriserte 12 som 4 · 3 og 12 · 1, endte opp med en $a$ som ikke var et heltall.
Vi har imidlertid ikke tatt for oss alle måtene 12 kan faktoriseres på. Vi kan også ha 12 = 6 · 2 og da får vi
(a + b)(a – b) = (6)(2) = 12.
Vi må altså ha
a + b = 6
a – b = 2
Summerer vi de to likningene, får vi 2a + 0b = 8, det vil si at a = 4. Og vi ser at vi da får b = 2.
Det finnes altså a og b som er heltall, vi har ikke motsagt den opprinnelige forutsetningen, og beviset faller sammen. Vi har at 42 – 22 = 16 – 4 = 12.
Vi skal bevise at
$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{\displaystyle n(n + 1)(2n+1)}{\displaystyle 6}$
for alle n ≥ 1.
I trinn 1 viser vi da at påstanden er riktig for n0 = 1, det vil si at summen av kvadrattallene fra og med 12 til og med 12 blir 1. Og formelen gir
$\frac{\displaystyle 1(1 + 1)(2\cdot1+1)}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 1 \cdot 2 \cdot 3} {\displaystyle 6} = 1$
så påstanden er riktig for n0 = 1.
Formelen vi skal bevise sier at hvis
$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + {\color{brown}n}^2 = \frac{\displaystyle {\color{brown}n}({\color{brown}n} + 1)(2{\color{brown}n}+1)}{\displaystyle 6}$
er
$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 + ({\color{brown}{n + 1}})^2 = \frac{\displaystyle ({\color{brown}{n + 1}})(({\color{brown}{n + 1}}) + 1)(2({\color{brown}{n +1}})+1)}{\displaystyle 6}$
(For å tydeliggjøre har vi markert siste ledd i rekka med brunt.)
Regner vi ut telleren i brøken, ser vi at den blir
$\frac{\displaystyle (n+1)(n+2)(2n+3)}{\displaystyle 6}$
I trinn 2 skal vi vise at dette er riktig. Vi har altså
$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{\displaystyle n(n + 1)(2n+1)}{\displaystyle 6}$
Vi adderer et nytt ledd på begge sider av likhetstegnet:
$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 + (n+1)^2= \frac{\displaystyle n(n + 1)(2n+1)}{\displaystyle 6} + (n+1)^2$
Vi skriver uttrykket på høyre side som en enkelt brøk:
$\frac{\displaystyle n(n + 1)(2n+1) + 6(n+1)^2}{\displaystyle 6}$
Vi setter n + 1 utenfor parentes:
$\frac{\displaystyle (n + 1)\Big(n(2n+1) + 6(n+1)\Big)}{\displaystyle 6}$
Inni den store parentesen regner vi ut parenteser og trekker sammen like ledd :
$\frac{\displaystyle (n + 1)(2n^2+7n+6)}{\displaystyle 6}$
Vi faktoriserer andregradsuttrykket:
$\frac{\displaystyle (n + 1) \cdot 2(n+2)(n+\frac{3}{2})}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle (n + 1) (n+2)(2n+2\cdot\frac{3}{2})}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle (n + 1) (n+2)(2n+3)}{\displaystyle 6}$
Som er det uttrykket formelen sa vi skulle få.