Innhold
Likninger av høyere grad
Vi skal løse likningen x4 + x3 − 6x2 = 0 og sette prøve på svaret.
I oppgave 3 i artikkelen om å faktorisere polynomer skrev vi x4 + x3 − 6x2 som x2(x2 + x − 6). Vi kan derfor skrive likningen x4 + x3 − 6x2 = 0 som x2(x2 + x − 6) = 0.
Uttrykket på venstre side blir 0 når x = 0, eller når uttrykket inni parentesen er 0.
x = 0 er altså en løsning til likningen. (Siden det står x2 foran parentesen, utgjør dette egentlig to sammenfallende løsninger.)
I samme oppgave fant vi at uttrykket inni parentesen er 0 når x1 = 2 eller x2 = −3.
Løsningene til likningen blir altså x1 = 2, x2 = −3, x3 = 0.
Setter vi prøve på svaret, får vi i de tre tilfellene:
V.S. når x = 2: x4 + x3 − 6x2 = 24 + 23 − 6 · 22 = 16 + 8 − 24 = 0.
V.S. når x = −3: x4 + x3 − 6x2 = (−3)4 + (−3)3 − 6 · (−3)2 = 81 − 27 − 54 = 0
V.S. når x = 0: x4 + x3 − 6x2 = 04 + 03 − 6 · 02 = 0.
Vi ser at alle tre x gir 0 som svar, og derfor er løsning til likningen.
Vi skal løse likningen x4 − 10x2 + 9 = 0 og sette prøve på svaret.
Vi erstatter x2 med en variabel i første potens, la oss kalle den s. Likningen blir da s2 − 10s + 9 = 0.
Bruker vi abc-formelen, ser vi at løsningen til likningen s2 − 10s + 9 = 0 er s1 = 9 og s2 = 1.
Det betyr at $x_{1, 2} = \pm \sqrt 9 = \pm 3$ og $x_{3, 4} = \pm \sqrt 1 = \pm 1$.
Løsningene er altså x1 = 3, x2 = −3, x3 = 1, x4 = −1.
Setter vi prøve på svaret, får vi i de fire tilfellene:
V.S. når x = 3: x4 − 10x2 + 9 = 34 − 10 · 32 + 9 = 81 − 90 + 9 = 0.
V.S. når x = −3: x4 − 10x2 + 9 = (−3)4 − 10 · (−3)2 + 9 = 81 − 90 + 9 = 0.
V.S. når x = 1: x4 − 10x2 + 9 = 14 − 10 · 12 + 9 = 1 − 10 + 9 = 0.
V.S. når x = −: x4 − 10x2 + 9 = (−1)4 − 10 · (−1)2 + 9 = 81 − 90 + 9 = 0.
Vi ser at alle fire x gir 0 som svar, og derfor er løsning til likningen.
Basert på bildet under, som viser grafene til tre vilkårlige polynomer av odde grad, skal vi forsøk å finne et argument for at alle likninger av odde grad vil ha minst én løsning som er et reelt tall.
Alle de tre grafene skjærer x-aksen, det vil si at de tre polynomene har et nullpunkt, og de tre tilhørende likningene følgelig en løsning blant de reelle tallene.
En odde potens av x vil gå mot uendelig når x går mot uendelig, og gå mot minus uendelig når x går mot minus uendelig. Grafene til ethvert polynom av odde grad vil derfor skjære x-aksen et eller annet sted. Dette skjæringspunktet vil være et nullpunkt i polynomet og følgelig en løsning til den tilhørende likningen.
Ikke-lineære ulikheter
Vi skal løse ulikheten 2x2 > −10x − 12.
Vi flytter −10x − 12 over på venstre side med fortegnsskifte:
2x2 + 10x + 12 > 0
Vi finner nullpunktene til polynomet på venstre side:
$x_{1, 2} = {\large \frac{−b \pm \sqrt{b^2 − 4ac}}{2a}} = {\large \frac{−10\pm \sqrt{10^2 −4 \cdot 2 \cdot 12}}{2 \cdot 2}} = {\large \frac{−10\pm \sqrt{4}}{4}} = {\large \frac{−10\pm 2}{4}} = {\large \frac{−5\pm 1}{2}}$
Som gir x1 = −2 og x2 = −3.
Vi benytter så at ax2 + bx + c kan skrives som a(x − x1)(x − x2). Så 2x2 + 10x + 12 = 2(x − (−2)(x − (−3)) = 2(x + 2)(x + 3).
(x + 2) < 0 når x < −2, og (x + 3) < 0 når x < −3.
Fortegnsskjemaet kan se slik ut:
Her har vi også tatt med faktoren 2, men den er alltid positiv, så den kunne godt vært sløyfet.
Vi ser at linja til 2(x + 2)(x + 3) er heltrukken når x < −3 og x > −2. Løsningen til ulikheten 2x2 + 10x + 12 > 0 er altså x < −3 og x > −2.
Likninger med ukjent i eksponent
Vi skal løse likningen 5x = 15625 og sette prøve på svaret.
Vi tar logaritmen på begge sider av likhetstegnet:
ln 5x = ln 15625.
Vi bruker regelen ln ur= r ln u til å skrive om venstre side:
x · ln 5 = ln 15625
Vi dividerer begge sider med ln 5:
$x = \frac{\displaystyle −\ln 2}{\displaystyle \ln 4 − \ln 5}$
Vi regner ut logaritmeuttrykket på kalkulator eller med funksjonen ln i Excel eller GeoGebra:
x = 6
Setter vi prøve på svaret, får vi
V.S.: 5x = 56 = 15625.
Dette er det samme som høyre side, så svaret er riktig.
Vi skal løse likningen 2 · 4x = 5x og sette prøve på svaret.
Vi tar logaritmen på begge sider av likhetstegnet:
ln(2 · 4x)= ln 5x
Vi bruker regelen ln u · v = ln u + ln v til å skrive om venstre side:
ln 2 + ln 4x = ln 5x
Vi bruker regelen ln ur= r ln u til å hente ned eksponentene:
ln 2 + x · ln 4 = x · ln 5
Vi flytter leddet x · ln 5 over til venstre side med fortegnsskifte og leddet ln 2 over til høyre side med fortegnsskifte:
x · ln 4 − x · ln 5 = −ln 2
Vi setter x utenfor parentes:
x(ln 4 − x · ln 5) = −ln 2
Vi dividerer begge sider med ln 4 − ln 5:
$x = \frac{\displaystyle −\ln 2}{\displaystyle \ln 4 − \ln 5}$
Vi regner ut logaritmeuttrykket på kalkulator eller med funksjonen ln i Excel eller GeoGebra:
x ≈ 3,10628372
Setter vi prøve på svaret, får vi
V.S.: 2 · 4x ≈ 2 · 43,10628372 ≈ 148,319805
H.S.: 5x ≈ 53,10628372 ≈ 148,319805
Venstre og høyre side er like, så løsningen er riktig.
Likningssett
Vi skal avgjør om likningene 2x + 4y = 8 og −8y = 4x − 16 er uavhengige.
Hvis vi multipliserer hver side i den første likningen med −2, får vi −4x − 8y = −16. Flytter vi så −4x over til høyre side med fortegnsskifte, får vi − 8y = 4x −16, som er lik den andre likningen. Siden vi kan komme fra den ene til den andre på denne måten, er likningene ikke uavhengige.
Plotter vi likningene i GeoGebra, ligger grafene oppå hverandre.
Løse likningssett
Vi skal bruke innsettingsmetoden til å løse likningssettet under, og sette prøve på svaret.
(I) 3x + 2y = 4
(II) x − y = 3
Likning (II) er enkel å løse med hensyn på x:
x − y = 3 ⇒ y = x − 3
x − 3 kan vi så sette inn for y i (I):
3x + 2y = 4 ⇒ 3x + 2(x − 3) = 4 ⇒ 3x + 2x − 6 = 4 ⇒ 5x = 10 ⇒ x = 2
Vi fant tidligere at y = x − 3, så y = 2 − 3 = −1
Løsningen til likningssettet er x = 2, y = −1.
Vi setter prøve på svaret:
(I) V.S.: 3x + 2y = 3 · 2 + 2 · (−1) = 4. Som er lik H.S.
(II) V.S. x − y = 2 − (−1) = 3. Som er lik H.S.
Vi skal bruke innsettingsmetoden til å løse likningssettet under, og sette prøve på svaret.
(I) x + 3y − 2z = 5
(II) 3x + 5y + 6z = 7
(III) 2x + 4y + 3z = 8
Likning (I) er enkel å løse med hensyn på x:
x + 3y − 2z = 5 ⇒ x = 5 − 3y + 2z
Vi setter 5 − 3y + 2z inn for x i (II):
3x + 5y + 6z = 7 ⇒ 3(5 − 3y + 2z) + 5y + 6z = 7 ⇒ 15 − 9y + 6z + 5y + 6z = 7 ⇒ −4y + 12z = −8
Vi setter 5 − 3y + 2z inn for x i (III):
2x + 4y + 3z = 8 ⇒ 2(5 − 3y + 2z) + 4y + 3z = 8 ⇒ 10 − 6y + 4z + 4y + 3z = 8 ⇒ −2y + 7z = −2
Nå har vi fått et nytt likningssett som bare inneholder y og z:
(IV) −4y + 12z = −8
(V) −2y + 7z = −2
Likning (IV) er enkel å løse med hensyn på y:
−4y + 12z = −8 ⇒ y = 2 + 3z
Så setter y = 2 + 3z inn for y i (V):
−2y + 7z = −2 ⇒ −2(2 + 3z) + 7z = −2 ⇒ −4 − 6z + 7z = −2 ⇒ z = 2
Vi fant tidligere at y = 2 + 3z, så y = 2 + 3 · 2 = 8
Vi fant tidligere at x = 5 − 3y + 2z, så x = 5 − 3 · 8 + 2 · 2 = −15
Løsningen til likningssettet er x = −15, y = 8, z = 2.
Vi setter prøve på svaret:
(I) V.S.: x + 3y − 2z = −15 + 3 · 8 − 2 · 2 = 5. Som er lik H.S.
(II) V.S.: 3x + 5y + 6z = 3 · (−15) + 5 · 8 + 6 · 2 = 7. Som er lik H.S.
(III) V.S.: 2x + 4y + 3z = 8 = 2 · (−15) + 4 · 8 + 3 · 2 = 8. Som er lik H.S.
Vi skal bruke addisjonsmetoden til å løse likningssettet fra oppgave 1:
(I) 3x + 2y = 4
(II) x − y = 3
Vi multipliserer (II) med 2. Vi får da dette likningssettet:
(I) 3x + 2y = 4
(II) 2x − 2y = 6
Adderer vi likningene, eliminerer vi y, og får
5x = 10 ⇒ x = 2
Så setter vi 2 inn for x i (I) og får 3x + 2y = 4 ⇒ 3 · 2 + 2y = 4 ⇒ y = −1
Vi får altså x = 2, y = −1, som er det samme som vi fikk i oppgave 1.
Et annet løsningsalternativ er å starte med å multiplisere (II) med −3. Da eliminerer vi x når vi adderer.
Vi skal bruke addisjonsmetoden til å løse likningssettet
(I) 2x + 3y = 11
(II) 5x − 7y = −16
Multipliserer vi med 5 i (I) og med −2 i (II), får vi
10x + 15y = 55
−10x + 14y = 32
Adderer vi likningene, får vi
29y = 87 ⇒ y = 3
Setter vi dette inn i (I), får vi 2x + 3 · 3 = 11 ⇒ x = 1
Løsningen til likningssettet er x = 1, y = 3.
Vi setter prøve på svaret:
(I) V.S.: 10x + 15y = 10 · 1 + 15 · 3 = 55. Som er lik H.S.
(II) V.S. −10x + 14y = −10 · 1 + 14 · 3 = 32. Som er lik H.S.
Vi skal bruke addisjonsmetoden til å løse likningssettet fra oppgave 2:
(I) x + 3y − 2z = 5
(II) 3x + 5y + 6z = 7
(III) 2x + 4y + 3z = 8
Vi multipliserer (I) med −3, adderer med (II) og får
(IV) −4y + 12z = −8
Vi multipliserer (I) med −2, adderer med (III) og får
(V) −2y + 7z = −2
Nå har vi fått et nytt likningssett som bare inneholder y og z, og kan bruke addisjonsmetoden på disse for å eliminere ytterligere en ukjent.
Vi multipliserer (V) med −2, adderer med (IV) og får
(VI) −2z = −4 ⇒ z = 2
Så setter vi 2 inn for z i (IV) eller (V). Vi velger (V) fordi det gir enklest utregning, og får −2y + 7z = −2 ⇒ −2y + 7 · 2 = −2 ⇒ −2y = −16 ⇒ y = 8
Så setter vi 8 og 2 inn for y og z i (I), (II) eller (III). Vi velger (I) fordi det gir enklest utregning, og får x + 3y − 2z = 5 ⇒ x + 3 · 8 − 2 · 2 = 5 ⇒ x = −15
Vi har altså kommet fram til x = −15, y = 8, z = 2, som er det samme som vi fikk i oppgave 2.
Modellere med likninger
Vi skal avgjøre hvor mange kurver jordbær Alea må plukke per dag for at et betalingsalternativ med kr 50 per time og kr 5 per kurv skal lønne seg framfor kr 800 per dag, når arbeidsdagen er 8 timer.
Kaller vi antall kurver hun plukker for x, vil kr 50 per time i 8 timer og kr 5 per kurv kunne skrives som 50 · 8 + 5x. Vi skal så finne ut hva x skal være for at dette er lik 800, så vi får likningen 50 · 8 + 5x = 800.
Dette er en førstegradslikning som vi løser ved å isolere x på venstre side av likhetstegnet og forenkle så langt det går på høyre.
50 · 8 + 5x = 800
⇓
5x = 800 − 50 · 8
⇓
5x = 400
⇓
x = 80
Alea må plukke mer enn 80 kurver per dag for at dette alternativet skal lønne seg.
Vi vet at 1 stk. brokkoli og 2 stk. purre koster kr 55 til sammen, at 2 stk. brokkoli og 4 stk. purre koster kr 110 til sammen, og skal prøve å finne ut hva 1 stk. brokkoli og 1 stk. purre koster.
Kaller vi prisen på brokkoli b og prisen på purre p, kan vi sette opp disse to likningene:
(I) b + 2p = 55
(II) 2b + 4p = 110
Vi prøver først å bruke innsettingsmetoden. Vi finner lett et uttrykk for b fra (I): b + 2p = 55 ⇒ b = 55 − 2p
Vi setter inn 55 − 2p for b i (II), og får 2(55 − 2p) + 4p = 110 ⇒ 110 − 4p + 4p = 110 ⇒ 0p = 0
Vi endte opp med at 0p = 0, noe som betyr at p kan ha en hvilken som helst verdi. Hvis vi prøver å finne et uttrykk for b i den ene likningen og sette inn i den andre, vil vi ende opp med at 0b = 0.
Prøver vi å bruke addisjonsmetoden, ser vi at det ikke er noe vi kan multiplisere likningene med slik at vi får eliminert bare én av de ukjente når vi adderer. Vi får eliminert begge eller ingen.
Årsaken er at de to likningene ikke er uavhengige. Hvis vi multipliserer (I) med 2 på begge sider av likhetstegnet, får vi (II). De to opplysningene vi har fått om prisen på brokkoli og purre, er egentlig samme opplysning gitt i to varianter.
Vi vet at prisen på en bil er lik prisen året før multiplisert med 0,87, og skal finne ut hvor mange år det vil gå før prisen på en bil til kr 350 000 er blitt lavere enn kr 200 000.
Et uttrykk for prisen til bilen etter x år vil være 350 000 · (0,87)x. Så skal vi finne ut når dette blir lik 200 000. Vi får derfor likningen 350 000 · (0,87)x = 200 000.
Vi løser likningen:
350 000 · (0,87)x = 200 000
⇓ (Dividerer med 1000 på begge sider)
35 · (0,87)x = 20
⇓ (Tar logaritmen på begge sider)
ln(35 · (0,87)x) = ln 20
⇓ (Benytter at ln uv = ln u + ln v)
ln 35 + ln (0,87)x = ln 20
⇓ (Benytter at ln ux = x ln u)
ln 35 + x ln 0,87 = ln 20
⇓ (Flytter ln 35 til høyre side med fortegnsskifte, og dividerer begge sider med 0,87)
x = (ln 20 − ln 35)/ln 0,87
⇓ (Regner ut høyre side)
x ≈ 4,02
Dette betyr at prisen på bilen etter 4 år fremdeles er litt høyere enn kr 200 000, og at det må gå 5 år før den er lavere enn 200 000 når vi regner i hele år.