Løsningsforslag, mer om sannsynlighet

Betinget sannsynlighet

Oppgave 1:

Vi spiller et spill der vi kaster to terninger, vinner hvis vi får sum 4 eller mindre, og skal beregne:

1. 1. Hva sannsynligheten er for å vinne.
      Ved kast med to terninger er det totalt 36 enkeltutfall. 6 av disse gir sum 4 eller mindre, nemlig 1-1, 1-2, 1-3, 3-1, 2-1 og 2-2. «Gunstige på mulige» gir at sannsynligheten for å vinne er ${\large \frac{6}{36}} = {\large \frac{1}{6}}$. Kaller vi dette for hendelse B, har vi altså at $P(B) = {\large \frac{1}{6}}$.
       
   2. Hva sannsynligheten er for å vinne hvis vi har kastet første terning og fått 2.
      Vi kaller dette for hendelse A. Sannsynligheten for å få 2 på en terning er en sjettedel, så $P(A) = {\large \frac{1}{6}}$.
      De mulige utfallene med 2 på første terning er 2-1, 2-2, 2-3, 2-4, 2-5 og 2-6. To av disse er felles med B. Siden dette er 2 av i alt 36 mulige utfall, blir $P(A \cap B) = {\large \frac{2}{36}} = {\large \frac{1}{18}}$.
      Og formelen for betinget sannsynlighet gir $P(B|A) = {\large \frac{P(A \cap B)}{P(A)}} = {\LARGE \frac{\frac{1}{18}}{\frac{1}{6}}} = {\large \frac{1}{3}}$.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

På et gatekjøkken kjøper 40 % av kundene pølse, 15 % kjøper pølse og chips, og vi skal beregne sannsynligheten for at en vilkårlig kunde som kjøper pølse, også kjøper chips.

Kaller vi hendelsen «kjøpe pølse» for A og hendelsen «kjøpe chips» for B, vet vi at:

P(A) = 0,4

P(A ∩ B) = 0,15

Sannsynligheten for at en vilkårlig kunde som kjøper pølse, også kjøper chips, blir da 

$P(B | A) = \frac{\displaystyle P(A \cap B)}{\displaystyle P(A)} = {\large \frac{0{,}15}{0{,}4}} = 0{,}375$. Altså 37,5 %.

Tilbake til oppgaven

Bayes regel

Oppgave 1:

I et spill der vi vinner hvis vi får sum 11 eller 12 ved et kast med to terninger har vi følgende sannsynligheter:
Sannsynlighet for «sum 11 eller 12»: $P(B) = {\large \frac{1}{12}}$.
Sannsynlighet for «seks på første terning»: $P(A) = {\large \frac{1}{6}}$.
Sannsynlighet for å vinne, gitt at vi har fått seks på første terning»: $P(B|A) = {\large \frac{1}{3}}$.

Så skal bruke Bayes regel til å finne sannsynligheten for at første terning var 6 hvis vi har vunnet, P(A | B). Vi får:

$P(A|B) = P(B|A) \cdot {\large \frac{P(A)}{P(B)}} = {\large \frac{1}{3}} \cdot \frac{{\LARGE \frac{1}{6}}}{{\LARGE \frac{1}{12}}} = {\large \frac{2}{3}}$.

Ser vi på et Venn-diagram som viser situasjonen, skjønner vi at dette er riktig:

Av totalt 3 utfall som gir «sum 11 eller 12», har 2 seks på første terning, så «gunstige på mulige» gir at sannsynligheten er to tredeler.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi har fått vite at

• • Katteallergi forekommer hos 10 % av en befolkningen.
  • En test påviser allergi hos 80 % av de allergiske.
  • 15 % av testene er falske positive, det vil si at de feilaktig påviser allergi hos friske.

Så skal vi beregne sannsynligheten for at en person som tester positivt, faktisk har allergi.

Kaller vi hendelsen «allergi» for A og hendelsen «positiv test» for B, har vi:

• • P(A) = 0,1. Sannsynligheten for at en person har allergi, er 0,1.
  • P(A^C) = 1 − 0,1 = 0,9. Sannsynligheten for at en person er frisk, er 0,9.
  • P(B|A) = 0,8. Sannsynligheten for positiv test hos en allergisk person er 0,8.
  • P(B|A^C) = 0,15. Sannsynligheten for positiv test hos en frisk person er 0,15.

Og vi får P(B) = P(A) · P(B|A) + P(A^C) · P(B|A^C) = 0,1 · 0,8 + 0,9 · 0,15 = 0,215.

Ved hjelp av Bayes regel kan vi så beregne sannsynligheten for at en person er allergisk, gitt en positiv test:

$P(A | B) = \frac{\displaystyle P(A) \cdot P(B | A)}{\displaystyle P(B)} = {\large \frac{0{,}1 \cdot 0{,}8}{0{,}215}}\approx 0{,}3721$

Sannsynligheten for allergi, gitt positiv test, er ca. 37,21 %.

Tilbake til oppgaven

Sannsynlighetstrær

Oppgave 1:

Vi skal tegne et sannsynlighetstre for situasjonen i oppgave 2 i artikkelen om Bayes regel:

• • Katteallergi forekommer hos 10 % av en befolkningen.
  • En test påviser allergi hos 80 % av de allergiske.
  • 15 % av testene er falske positive, det vil si at de feilaktig påviser allergi hos friske.

Vi skal skrive inn sannsynligheter i alle greinene og løvnodene, og bruke disse til å beregne sannsynligheten for at en person som tester positivt, faktisk har allergi.

Sannsynlighetstreet kan se slik ut:

For å beregne sannsynligheten for at en person som tester positivt, faktisk har allergi, dividerer vi sannsynligheten for en positiv test der vedkommende faktisk har allergi, med sannsynligheten for en positiv test totalt: 8 % / (8 % + 13,5 %) ≈ 37,21 %. Som er det samme som i oppgave 2 i artikkelen om Bayes regel.

Tilbake til oppgaven