Faktorisere polynomer
Vi skal faktorisere fjerdegradspolynomet x4 + x3 − 6x2.
Vi setter x2 utenfor parentes: x4 + x3 − 6x2 = x2(x2 + x − 6).
Vi bruker abc-formelen til å finne andregradspolynomets nullpunkter.
$x_{1, 2} = {\large \frac{−1 \pm \sqrt{1^2 −4 \cdot 1 \cdot (−6)}}{2 \cdot 1}} = {\large \frac{−1 \pm \sqrt{25}}{2}} = {\large \frac{−1 \pm 5}{2}}$
Så
$x_{1} = {\large \frac{−1 + 5}{2}} = {\large \frac{4}{2}} = 2$
$x_{2} = {\large \frac{−1 − 5}{2}} = {\large \frac{−6}{2}} = −3$
Koeffisienten a er 1, så vi får at x2 + x − 6 = (x − 2)(x − (−3)) = (x − 2)(x + 3).
Vi har altså at x4 + x3 − 6x2 = x2(x2 + x − 6) = x2(x − 2)(x + 3).
Skriver vi Faktoriser(x^4 + x^3 − 6x^2) CAS, svarer GeoGebra med x2(x − 2)(x + 3).
Vi skal faktorisere fjerdegradspolynomet x4 − 10x2 + 9. Dette kan skrives som (x2)2 − 10x2 + 9.
Vi erstatter x2 med s. Polynomet blir da s2 − 10s + 9.
Dette er et andregradspolynom vi kan finne nullpunktene til med abc-formelen:
$s_{1, 2} = {\large \frac{−(−10) \pm \sqrt{(−10)^2 −4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}} ={\large \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2}} = {\large \frac{10 \pm 8}{2}} = 5 \pm 4$
Så vi får
$s_{1} = 5 + 4 = 9$
$s_{1} = 5 + 4 = 9$
Koeffisienten a er 1, så det betyr at x4 − 10x2 + 9 kan faktoriseres som (s − 9)(s − 1).
Siden vi har at s = x2, er dette det samme som (x2 − 9)(x2 − 1).
Så må vi faktorisere andregradspolynomene x2 − 9 og x2 − 1. Det kan vi gjøre ved å bruke abc-formelen til å finne nullpunktene til de to polynomene, men det er enklere å bruke konjugatsetningen baklengs:
x2 − 9 = (x + 3)(x − 3) og
x2 − 1 = (x + 1)(x − 1)
Så vi har at x4 − 10x2 + 9 kan faktoriseres som (x + 3)(x − 3)(x + 1)(x − 1).
Skriver vi Faktoriser(x^4 − 10x^2 + 9) i CAS, svarer GeoGebra (x − 3)(x − 1)(x + 1)(x + 3), som er det samme, faktorene kommer bare i en annen rekkefølge.