Addisjonsregelen
Basert på at sannsynlighetene for å få henholdsvis 0, 1, 2 og 3 kron ved kast med 3 mynter er henholdsvis ${\large \frac{1}{8}}$, ${\large \frac{3}{8}}$, ${\large \frac{3}{8}}$ og ${\large \frac{1}{8}}$ skal vi beregne sannsynligheten for «minst én kron, altså P(X ≥ 1), der X er antall kron.
Dette er disjunkte utfall, vi må få enten 0, 1, 2 og 3 kron, vi kan ikke få for eksempel 1 og 2 kron samtidig, så vi kan bruke addisjonsregelen for disjunkte utfall:
$P(X \ge 1) = P(1) + P(2) + P(3) = {\large \frac{3}{8}} + {\large \frac{3}{8}} + {\large \frac{1}{8}} = {\large \frac{7}{8}}$.
I spillet vist under kan vi spille på «tall», «farge», «både tall og farge» og «enten tall eller farge».
Vi skal så finne vinnersannsynlighetene i hvert av tilfellene.
Det er 12 mulige ruter, så ved å telle antall gunstige og bruke «gunstige på mulige» får vi:
Riktig tall. Det er 3 ruter for hvert tall, så vi får $P(T) = {\large \frac{3}{12}} = {\large \frac{1}{4}}$.
Riktig farge: Det er 4 ruter for hver farge, så vi får $P(F) = {\large \frac{4}{12}} = {\large \frac{1}{3}}$.
Både riktig tall og riktig farge: Det er 1 rute for hver kombinasjon av tall og farge, så vi får $P(T \cap F) = {\large \frac{1}{12}}$.
Når det gjelder «Enten riktig tall eller riktig farge», er dette sammensatt av to ikke-disjunkte utfall, så vi må bruke den generelle addisjonsregelen:
$P(T \cup F) = P(T) + P(F) − P(T \cap F) = {\large \frac{1}{4}} + {\large \frac{1}{3}} − {\large \frac{1}{12}} = {\large \frac{1}{2}}$.
Komplementregelen
Vi skal finne sannsynligheten for «minst én kron» ved kast med 3 mynter ved å bruke komplementregelen og at sannsynligheten for «ingen kron» er ${\large \frac{1}{8}}$.
Hendelsen «minst én kron», P(X ≥ 1), og hendelsen «ingen kron», P(0) er komplementære. Vi får derfor at $P(X \ge 1) = 1 − {\large \frac{1}{8}} = {\large \frac{7}{8}}$, som var det samme vi fikk i oppgave 1 i artikkelen om addisjonsregelen.
Produktregelen
Vi skal finne sannsynligheten for å tippe riktig vinner i alle 5 løp i V5, når det er henholdsvis 12, 10, 14, 9 og 12 hester med i de enkelte løpene og vi velger hester tilfeldig.
I hvert løp har hver hest samme sannsynlighet for å bli valgt, så vi kan bruke «gunstige på mulige» for å finne sannsynligheten for å velge vinnerhesten.
NB! Vi sier ikke at alle hestene har like stor sannsynlighet for å vinne sitt løp, denne sannsynligheten er ukjent, og spiller ingen rolle. En bestemt hest kan gjerne være garantert å vinne, sannsynligheten vi er ute etter er sannsynligheten for at vi velger akkurat denne hesten når vi plukker tilfeldig. En annen sak er imidlertid at det ikke er noen god taktikk å plukke tilfeldig, nettopp fordi noen hester har større vinnersannsynlighet enn andre.
«Gunstige på mulige» gir for de enkelte løpene sannsynligheter på henholdsvis
${\large \frac{1}{12}}$, ${\large \frac{1}{10}}$, ${\large \frac{1}{14}}$, ${\large \frac{1}{9}}$ og ${\large \frac{1}{12}}$.
Den totale sannsynligheten finner vi ved å multiplisere hver av disse sannsynlighetene, i henhold til produktregelen for uavhengige hendelser. Vi får
${\large \frac{1}{12}} \cdot {\large \frac{1}{10}} \cdot {\large \frac{1}{14}} \cdot {\large \frac{1}{9}} \cdot {\large \frac{1}{12}} = {\large \frac{1}{181 \, 440}}\approx 5{,}5 \cdot 10^{−6}$. Om lag 0,00055 %.
Vinnersannsynligheten er altså ikke særlig stor når vi bare velger hester tilfeldig.
En eksamen består av en teoretisk og en praktisk prøve. I snitt klarer 70 % den teoretiske prøven, 80 % av de som klarer den teoretiske prøven, klarer den praktiske prøven, og vi skal beregne sannsynligheten for å klare både den teoretiske og den praktiske prøven.
Kaller vi hendelsen «bestått teoretisk prøve» for A og hendelsen «bestått praktisk prøve» for B, vet vi at:
P(A) = 0,7
P(B|A) = 0,8.
Sannsynligheten for å bestå begge prøver blir da ifølge den generelle produktregelen:
P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A) = 0,7 · 0,8 = 0,56. Sannsynligheten for å klare begge prøver er 56 %.
Vi har 7 kuler av ulik farge i en pose, deriblant 1 rød, og skal beregne sannsynligheten for å få den røde hvis vi trekker 3 kuler.
Vi modellerer dette først som at vi stikker hånda i posen, trekker opp 3 kuler, og får en sannsynlighet på ${\large \frac{3}{7}}$, ca. 43 %. Det er riktig. Her bruker vi gunstige på mulige, og får en sannsynlighet på ${\large \frac{n}{7}}$ for å få den røde når vi trekker n kuler. Trekker vi alle 7 kulene, blir sannsynligheten for å få den røde ${\large \frac{7}{7}} = 1$.
Men så modellerer vi det som at vi trekker ei og ei kule, og resonnerer slik: Ved første trekning er 1 av 7 kuler røde, så sannsynligheten for å få den røde er ${\large \frac{1}{7}}$. Hvis vi ikke får den røde kula i første trekning, er 1 av 6 gjenværende kuler røde, så sannsynligheten for å få den røde i andre trekning er ${\large \frac{1}{6}}$. Hvis vi fremdeles ikke har fått den røde kula, er 1 av 5 gjenværende kuler røde så sannsynligheten for å få den røde i tredje trekning er ${\large \frac{1}{5}}$. Summen av disse sannsynlighetene blir ca. 51 %, altså høyere enn det vi fikk med den første utregningsmetoden.
Denne utregningsmetoden er feil. Det blir tydelig hvis vi utvider til å trekke 7 ganger, da får vi en sannsynlighet på ${\large \frac{1}{7}} + {\large \frac{1}{6}} + {\large \frac{1}{5}} + {\large \frac{1}{4}} + {\large \frac{1}{3}} + {\large \frac{1}{2}} + {\large \frac{1}{1}} \approx 2{,}59$.
Problemet er at trekningene ikke er uavhengige. Sannsynligheten for å få den røde kula i andre trekning er ${\large \frac{1}{6}}$, betinget at vi ikke har fått den i første, og sannsynligheten for å få den røde i tredje trekning er ${\large \frac{1}{5}}$, betinget at vi ikke har fått den i første eller andre.
Sannsynligheten for å ikke få den røde kula i første trekning er ${\large \frac{6}{7}}$ , det kan vi lett regne ut ved å bruke «gunstige på mulige» eller komplementregelen. Sannsynligheten for å få den i andre, betinget at vi ikke fikk den i første, er ${\large \frac{1}{6}}$. Og sannsynligheten for å få den røde kula i andre trekning blir ${\large\frac{6}{7}} \cdot {\large\frac{1}{6}} = {\large\frac{1}{7}}$.
Kaller vi hendelsen «ikke rød kule i første trekning» for A, og hendelsen «rød kule i andre trekning» for B, ser vi at vi egentlig har brukt den generelle produktregelen her:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B | A) = {\large\frac{6}{7}} \cdot {\large\frac{1}{6}} = {\large\frac{1}{7}}$
Når vi trekker tredje gang, er sannsynligheten for at kula er rød ${\large \frac{1}{5}}$, betinget at vi ikke fikk den røde kula i noen av de to forrige trekningene, med en sannsynlighet på ${\large \frac{5}{7}}$. Så den generelle produktregelen gir en sannsynlighet på ${\large\frac{5}{7}} \cdot {\large\frac{1}{5}} = {\large\frac{1}{7}}$.
Vi ser at sannsynligheten for å trekke den røde kula er ${\large \frac{1}{7}}$ i hver av de tre trekningene, og den totale sannsynligheten blir ${\large \frac{3}{7}}$, som er det samme vi fikk da vi tenkte oss at vi trakk de 3 kulene samtidig.
Denne utregningsmetoden kan vi utvide til 7 trekninger, og vi vil få at sannsynligheten for å få den røde er ${\large \frac{1}{7}}$ i hver av trekningene.
Det er viktig å være oppmerksom på at sannsynligheten på ${\large \frac{3}{7}}$ gjelder situasjonen der vi før vi begynner å trekke spør hva sannsynligheten for å få den røde kula er når vi trekker tre ganger. Hvis vi trekker ei og ei kule og etter hver trekning spør hva sannsynligheten for å få den røde kula i neste trekning er, har vi en helt annen situasjon. Det er tre atskilte forsøk, og de tre sannsynlighetene på henholdsvis ${\large \frac{1}{7}}$, ${\large \frac{1}{6}}$ og ${\large \frac{1}{5}}$ kan ikke settes sammen.
Kombinere regler
Vi har at sannsynligheten for at en tegnestift havner med spissen opp er $P(O) = {\large \frac{2}{3}}$, kaster tre tegnestifter, og skal finne sannsynlighetene de fire hendelsene under, samt forklare hvorfor summen av sannsynlighetene blir 1.
- Alle havner med spissen opp.
De tre tegnestiftene er uavhengige av hverandre, derfor kan vi finne sannsynligheten for at alle har spissen opp ved å bruke produktregelen og multiplisere enkeltsannsynlighetene.
$P(\text{alle opp}) = {\large \frac{2}{3}} \cdot {\large \frac{2}{3}} \cdot {\large \frac{2}{3}} = {\large \frac{8}{27}} \approx 0{,}2963$.
- Alle havner med spissen ned.
Vi har at sannsynligheten for spissen opp er $P(O) = {\large \frac{2}{3}}$. Da må sannsynligheten for spissen ned ifølge komplementregelen være $P(N) = 1 − {\large \frac{2}{3}} = {\large \frac{1}{3}}$.
Produktregelen gir
$P(\text{alle ned}) = {\large \frac{1}{3}} \cdot {\large \frac{1}{3}} \cdot {\large \frac{1}{3}} = {\large \frac{1}{27}} \approx 0{,}0370$.
- To havner med spissen opp og en med spissen ned.
Nå blir det litt mer komplisert, for her finnes tre varianter, O-O-N, O-N-O og N-O-O. Sannsynligheten for O-O-N blir ifølge produktregelen
$P(\text{O-O-N}) = {\large \frac{2}{3}} \cdot {\large \frac{2}{3}} \cdot {\large \frac{1}{3}} = {\large \frac{4}{27}} \approx 0{,}1481$.
For de andre to resultatene bytter vi jo bare om på faktorene, så sannsynligheten for hvert av disse blir naturligvis også ${\large \frac{4}{27}}$.
Siden disse tre ikke kan inntreffe samtidig, kan vi bruke addisjonsregelen for disjunkte utfall:
$P(\text{2 opp, 1 ned}) = {\large \frac{4}{27}} + {\large \frac{4}{27}} + {\large \frac{4}{27}} = {\large \frac{12}{27}} \approx 0{,}4444$.
- To havner med spissen ned og en med spissen opp.
Samme logikk som i forrige punkt. Det finnes tre varianter, N-N-O, N-O-N og O-N-N.
$P(\text{N-N-O}) = {\large \frac{1}{3}} \cdot {\large \frac{1}{3}} \cdot {\large \frac{2}{3}} = {\large \frac{2}{27}} \approx 0{,}0741$.
Og
$P(\text{2 ned, 1 opp}) = {\large \frac{2}{27}} + {\large \frac{2}{27}} + {\large \frac{2}{27}} = {\large \frac{6}{27}} \approx 0{,}2222$.
Summen av sannsynlighetene blir ${\large \frac{8}{27}} + {\large \frac{1}{27}} + {\large \frac{12}{27}} + {\large \frac{6}{27}} = {\large \frac{27}{27}}= 1$.
Grunnen til at summen blir 1, er at de fire hendelsene dekker alle måter tre tegnestifter kan bli liggende på, og den totale sannsynligheten i et stokastisk forsøk er alltid 1.
Det kan se ut som det å beregne slike sannsynligheter blir svært arbeidskrevende hvis vi har mange objekter, for eksempel 100 tegnestifter. Men heldigvis finnes det metoder som ikke krever at vi finner enkeltsannsynligheter slik som her. I forsøk basert på to mulige enkeltutfall, slik som her med spissen opp eller spissen ned, kan vi for eksempel modellere hendelsen ut fra en binomisk sannsynlighetsfordeling, noe som er beskrevet i artikkelen om diskrete sannsynlighetsfordelinger.
Vi skal beregne sannsynligheten for å få minst én sekser i et kast med fem terninger.
Dette er en veldig sammensatt hendelse, så vi tar utgangspunkt i den komplementære hendelsen, det vil si å få ingen seksere. Sannsynligheten for å ikke få sekser på en terning er ${\large \frac{5}{6}}$, og produktregelen for uavhengige hendelser gir at sannsynligheten for «ingen sekser» med fem terninger er $\Big({\large \frac{5}{6}}\Big)^5 = {\large \frac{3125}{7776}}$.
Komplementregelen gir så at sannsynligheten for «minst én sekser» blir
$1 − {\large \frac{3125}{7776}} = {\large \frac{7776 − 3125}{7776}} = {\large \frac{4651}{7776}} \approx 0{,}5981$
Vi skal beregne sannsynligheten for å få minst én kron i et kast med fem mynter.
Vi tar utgangspunkt i den komplementære hendelsen, å ikke få kron. Sannsynligheten for å ikke få kron på en mynt er ${\large \frac{1}{2}}$, og produktregelen for uavhengige hendelser gir at sannsynligheten for «ingen kron» med fem mynter er $\Big({\large \frac{1}{2}}\Big)^5 = {\large \frac{1}{32}}$.
Komplementregelen gir så at sannsynligheten for «minst én kron» blir
$1 − {\large \frac{1}{32}} = {\large \frac{32 − 1}{32}} = {\large \frac{31}{32}} \approx 0{,}9688$
Vi skal finne sannsynligheten for at det i en klasse med 30 elever finnes noen som har samme fødselsdag.
«Magefølelsen» sier kanskje at sannsynligheten ikke er særlig stor, for det finnes jo 365 mulige fødselsdager, der vi bare velger 30 av disse.
For å beregne den nøyaktige sannsynligheten ser vi på den komplementære hendelsen, at ingen av elevene har samme fødselsdag. Det kan vi tenke på som hendelsen at en elev har unik fødselsdag gjentatt tretti ganger. Elevene er tilfeldig sammensatt, så det er ingen avhengighet mellom dem, for eksempel at noen er tvillinger. Vi kan derfor bruke produktregelen til å regne ut sannsynligheten.
For første elev finnes det 365 av 365 unike dager, for andre elev finnes det 364 av 365, deretter 363 av 365, og så videre. For hver ny elev blir én av de unike fødselsdagene brukt opp. Vi får derfor følgende sannsynlighet:
${\large \frac{365}{365}} \cdot {\large \frac{364}{365}} \cdot {\large \frac{363}{365}} \cdot \, \dots \, \cdot {\large \frac{336}{365}} \approx 0,2937$. Dette er sannsynligheten for at ingen har samme fødselsdag.
Ved å bruke komplementregelen finner vi at sannsynligheten for at noen har samme fødselsdag er ca. 1 − 0,2937 = 0,7063, altså ca. 71 %.