Innhold
Binomisk fordeling
X betegner antall kron i 8 kast med en juksemynt der sannsynligheten for kron er 0,6, og vi skal beregne de tre sannsynlighetene under ved bruk av formelen for binomisk fordeling, $P(X = x) = {\large \binom{n}{x}} p^x (1 − p)^{(n − x)}$, og kontrollere svarene i Excel eller GeoGebra.
Her er p = 0,6 siden sannsynligheten for kron er 0,6, og n = 8 fordi vi kaster 8 ganger.
- P(X = 4)
Formelen gir
${\large \binom{8}{4}} (0{,}6)^4 (1 − 0{,}6)^{(8 − 4)} \approx 0{,}2322$
I Excel og GeoGebra skriver vi henholdsvis =binom.fordeling.n(4; 8; 0,6; usann) og fordelingbinomial(8, 0.6, 4, false).
- P(X ≤ 2)
Dette er summen av sannsynlighetene for at X er 0, 1 eller 2:
$P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) =$
${\large \binom{8}{0}} (0{,}6)^0 (1 – 0{,}6)^{(8 \text{ – } 0)} + {\large \binom{8}{1}} (0{,}6)^1 (1 – 0{,}6)^{(8 \text{ – } 1)} + {\large \binom{8}{2}} (0{,}6)^2 (1 – 0{,}6)^{(8 \text{ – } 2)} \approx $
$0{,}0007 + 0{,}0079 + 0{,}0413 = 0{,}0498$
I Excel og GeoGebra skriver vi henholdsvis =binom.fordeling.n(2; 8; 0,6; sann) og fordelingbinomial(8, 0.6, 2, true).
- P(X ≤ 6)
I stedet for å summere sannsynlighetene for at X er 0, 1, 2, 3, 4, 5 eller 6, er det enklere å benytte seg av den komplementære hendelsen, X > 6, altså at X er 7 eller 8.
$P(X \le 6) = 1 − P(X > 6) = 1 − P(X = 7) − P(X = 8) =$
$1 – {\large \binom{8}{7}} (0{,}6)^7 (1 – 0{,}6)^{(8 \text{ – } 7)} – {\large \binom{8}{8}} (0{,}6)^8 (1 – 0{,}6)^{(8 \text{ – } 8)} \approx$
$1 – 0{,}0896 – 0{,}0168 = 0{,}8936$
I Excel og GeoGebra skriver vi henholdsvis =binom.fordeling.n(6; 8; 0,6; sann) og fordelingbinomial(8, 0.6, 6, true).
Så skal vi vurdere om P(X = 7) er større, lik, eller lavere enn P(X = 1).
P(X = 7) tilsvarer «7 kron», mens P(X = 1) tilsvarer «7 mynt». Siden kron har høyere sannsynlighet enn mynt, vil en overvekt av kron være mer sannsynlig enn en tilsvarende overvekt av mynt, så P(X = 7) > P(X = 1). Hadde sannsynlighetene for mynt og kron vært like, p = 0,5, ville vi hatt P(X = 7) = P(X = 1).
Vi skal finne E(X) og Var(X) når
- X er antall kron i 10 kast med en rettferdig mynt.
Dette er en binomisk situasjon der kron betyr suksess og mynt betyr fiasko. Vi har n = 10 og p = 0,5, så vi får
E(X) = n · p = 10 · 0,5 = 5.
Var(X) = n · p(1 − p) = 10 · 0,5(1 − 0,5) = 2,5.
- X er antall seksere i 5 kast med en rettferdig terning.
Dette er en binomisk situasjon der «sekser» betyr suksess og «ikke sekser» betyr fiasko. Vi har n = 5 og $p = {\large \frac{1}{6}} \approx 0{,}167$, så vi får
E(X) = n · p = 5 · 0,167 ≈ 0,84.
Var(X) = n · p(1 − p) = 5 · 0,167(1 − 0,167) ≈ 0,70.
Hypergeometrisk fordeling
I en forening med 65 medlemmer er 13 negative til et forslag. Vi velger 20 representanter tilfeldig fra gruppen og skal finne sannsynligheten for at et visst antall er negative. Lar vi X være antall negative representanter, er P(X) hypergeometrisk fordelt med N = 65 elementer, av disse er M = 13 spesielle, altså negative. Vi trekker n = 20 ganger og skal finne sannsynligheten for at
- Ingen av representantene er negative.
Vi får
$P(X = 0) = \frac{\displaystyle \binom{13}{0} \cdot \binom{65 − 13}{20 − 0}}{\displaystyle \binom{65}{20}} \approx 0{,}0044$.
Det er ca. 0,44 % sannsynlighet for at ingen er negative.
I Excel og GeoGebra skriver vi henholdsvis =hypgeom.fordeling.n(0; 20; 13; 65; usann) og fordelinghypergeometrisk(65, 13, 20, 0, false).
- Én av representantene er negativ.
Vi får
$P(X = 1) = \frac{\displaystyle \binom{13}{1} \cdot \binom{65 − 13}{20 − 1}}{\displaystyle \binom{65}{20}} \approx 0{,}0350$.
Det er ca. 3,5 % sannsynlighet for at én er negativ.
I Excel og GeoGebra skriver vi henholdsvis =hypgeom.fordeling.n(1; 20; 13; 65; usann) og fordelinghypergeometrisk(65, 13, 20, 1, false).
- To eller flere av representantene er negative.
Dette kan vi beregne som
P(X = 2) + P(X = 3) + … + P(X = 20), men det er mye enklere å se på den komplementære hendelsen. Da kan vi også bruke det vi har funnet i punkt 1 og 2.
Vi får
P(X ≥ 2) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1) ≈ 1 − 0,004 − 0,035 = 0,9610.
Det er ca. 96,10 % sannsynlighet for at to eller flere er negative.
I Excel og GeoGebra skriver vi henholdsvis =1 – hypgeom.fordeling.n(1; 20; 13; 65; sann) og 1 – fordelinghypergeometrisk(65, 13, 20, 1, true).
Åpne et regneark med beregningene fra oppgave 1
Vi skal bruke formelen for hypergeometrisk fordeling til å finne sannsynligheten for å få henholdsvis 5 og 4 rette i Lotto. Vi trekker da 7 tall fra en mengde på 34, der 7 er spesielle (vinnertallene), og beregner hva sannsynligheten for å få henholdsvis 5 og 4 av de spesielle er. Vi får
$P(X = 5) = \frac{\displaystyle \binom{7}{5} \cdot \binom{34 − 7}{7 − 5}}{\displaystyle \binom{34}{7}} \approx 1{,}3702 \cdot 10^{−3}$.
$P(X = 4) = \frac{\displaystyle \binom{7}{4} \cdot \binom{34 − 7}{7 − 4}}{\displaystyle \binom{34}{7}} \approx 1{,}9030 \cdot 10^{−2}$.
Det er om lag 0,137 % sannsynlighet for å få 5 rette, og om lag 1,903 % sannsynlighet for å få 4 rette.
Vi skal finne E(X) og Var(X) i et utvalg der N = 65, M = 13 og n = 20. Vi får
$E(X) = 20 \cdot {\large \frac{13}{65}} = 4$.
$Var(X) = \Big({\large \frac{65 − 20}{65 − 1}} \Big) \cdot 20 \cdot {\large \frac{13}{65}} \cdot \Big(1 − {\large \frac{13}{65}} \Big) = 2{,}25$.
Poissonfordeling
Vi vet at det i en vannprøve i gjennomsnitt er to hoppekreps, at forekomsten av hoppekreps er poissonfordelt, og skal finne sannsynligheten for at en tilsvarende vannprøve inneholder et gitt antall hoppekreps ved hjelp av formelen for poissonfordeling, $P(X = x) = \frac{\displaystyle \lambda^x}{\displaystyle x!}e^{− \lambda}$.
- Sannsynligheten for ingen hoppekreps.
$P(X = 0) = \frac{\displaystyle 2^{0}}{\displaystyle 0!}e^{−2} \approx 0{,}1353$.
I Excel og GeoGebra skriver vi henholdsvis =poisson.fordeling(0; 2; usann) og fordelingpoisson(2, 0, false).
- Sannsynligheten for én hoppekreps
$P(X = 1) = \frac{\displaystyle 2^{1}}{\displaystyle 1!}e^{−2} \approx 0{,}2707$.
I Excel og GeoGebra skriver vi henholdsvis =poisson.fordeling(1; 2; usann) og fordelingpoisson(2, 1, false).
- Sannsynligheten for to eller flere hoppekreps. Vi ser på den komplementære hendelsen:
$P(X \ge 2) = 1 − P(X = 1) − P(X = 0) \approx 1 − 0{,}1353 − 0{,}2707 = 0{,}5940$.
I Excel og GeoGebra skriver vi henholdsvis =1 – poisson.fordeling(1; 2; sann) og 1 – fordelingpoisson(2, 1, true).
Åpne et regneark med beregningene fra oppgave 1
Tilnærme fordelinger
Innbyggerne i en by med 10 000 innbyggere er delt akkurat på midten når det gjelder synet på kommunesammenslåing. Vi trekker 100 innbyggere tilfeldig og skal beregne sannsynligheten for at den gruppen også er delt akkurat på midten.
Her har vi altså N = 10 000, M = 5000, n = 100, og skal finne P(X = 50).
- Vi skal først bruke hypergeometrisk fordeling og får:
$P(X = 50) = \frac{\displaystyle \binom{5000}{50} \cdot \binom{10000 − 5000}{100 − 50}}{\displaystyle \binom{10000}{100}} \approx 0{,}0800$.
Vi ser at mellomregningene involverer svært høye tall, for eksempel er ${\large \binom{10000}{100}} \approx 6{,}52 \cdot 10^{241}$.
- Så skal vi avgjøre om en tilnærming med binomisk fordeling vil være god. Vi har n = 100 og ${\large \frac{N}{20}} = 500$. Siden $n \le {\large \frac{N}{20}}$, er tilnærmingen god.
- Vi bruker binomisk fordeling og får: $P(X = 50) = {\large \binom{100}{50}} (0,5)^{50} (1 − 0,5)^{100 − 50} \approx 0{,}0796$.
- Med fire siffer bak komma ble feilen 0,0800 − 0,0796 = 0,0004.
Vi skal bruke binomisk sannsynlighetsfordeling for å finne sannsynligheten for å få spar ess minst én gang når vi trekker 75 ganger fra en komplett kortstokk. Vi har n = 75 og $p = {\large \frac{1}{52}} \approx 0{,}0192$. Det enkleste er å basere seg på sannsynligheten for den komplementære hendelsen «aldri spar ess»:
$P(X \ge 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − {\large \binom{75}{0}} (0{,}0192)^0 (1 − 0{,}0192)^{75 − 0} \approx 0{,}7664$.
Så skal vi avgjøre om vi kan bruke poissonfordeling til å beregne denne sannsynligheten. Vi har n = 75, som er innenfor grensa på n > 50, og vi har p = 0,0192, som er innenfor grensa på p ≤ 0,05, så tilnærmingen bør være god. Vi har λ = 75 · 0,0192 = 1,44 og får
$P(X \ge 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − {\large \frac{(1{,}44)^0}{0!}}e^{−1{,}44} \approx 0{,}7631$.
Normalfordelingen
Vi skal bruke normalfordelingstabellen til å finne
-
- P(Z ≤ 0,85)
Det vil si G(0,85).
Vi leser av tabellen der rad 0,8 krysser kolonne 0,05, der det står
0,8023.
- P(Z ≤ −1,21)
Det vil si G(−1,21) = 1 − G(1,21)
Vi leser av tabellen der rad 1,2 krysser kolonne 0,01, der det står 0,8669.
Så vi får 1 − 0,8669 = 0,1131.
- P(−0,22 ≤ Z ≤ 0,22)
Det vil si G(0,22) − G(−0,22) = G(0,22) − [1 − G(0,22)] = 2 · G(0,22) − 1
Vi leser av tabellen der rad 0,2 krysser kolonne 0,02, der det står 0,5871.
Så vi får 2 · 0,5871 − 1 = 0,1742.
- P(Z ≤ 0,85)
På en eksamen er resultatene N(14, 22), og vi skal finne hvor mange som kan forventes å stryke, det vil si få 12 poeng eller mindre. Vi beregne ved hjelp av normalfordelingstabellen, Excel og GeoGebra.
Det vi skal beregne er P(X ≤ 12) i den gitte fordelingen. Vi gjør en standardisering og finner ut at dette tilsvarer $G({\large \frac{12 − 14}{2}}) = G(−1) = 1 − G(1)$. Vi går inn i normalfordelingstabellen, rad 1,0 og kolonne 0,00, der det står 0,8413.
Så P(X < 12) ≈ 1 − 0,8413 = 0,1587. Om lag 15,8 % kan forventes å stryke.
I Excel skriver vi =norm.fordeling(12; 14; 2; sann) og får 0,1587.
I GeoGebra skriver vi fordelingnormal(14, 2, 12) og får det samme. (Muligens etter at vi har brukt menyen «Innstillinger» – «Avrunding» til å sette at GeoGebra skal vise tall med 4 desimaler.