Logaritmer

I artikkelen om potensregning ser vi at vi at å multiplisere to potenser med samme grunntall er det samme som å opphøye grunntallet i summen av eksponentene: a^x · a^y = a^{x + y}. I stedet for å utføre en multiplikasjon utfører vi altså en addisjon.

Eksempel 1:

10⁴ · 10³ = 10⁴⁺³ = 10⁷

La oss så si at vi har en funksjon som henter ut eksponenten i en potens med 10 som grunntall. Vi vil kalle den log. For eksempel er log(10⁴) = 4. Så har vi en funksjon som legger inn eksponenten i en potens med 10 som grunntall, vi vil kalle den antilog. For eksempel er antilog(4) = 10⁴. I eksempel 2 under bruker vi disse funksjonene til å gjøre utregningene i eksempel 1.

Eksempel 2:

log(10⁴) = 4

log(10³) = 3

4 + 3 = 7

antilog(7) = 10⁷

Funksjonen log er en logaritme som henter ut eksponenten i en potens med 10 som grunntall. Funksjonen antilog er en antilogaritme som gjør det motsatte av logaritmen, legger inn eksponenten i en potens med 10 som grunntall.

Eksempel 2 var veldig enkelt og gjennomsiktig, og vi kunne lett ha gjort beregningen 10⁴ · 10³ direkte ved å addere eksponentene, som i eksempel 1. Men funksjonene log og antilog virker også selv om vi ikke har oppgitt eksponentene eksplisitt, for eksempel er log(250) ≈ 2,39794001 fordi 10^2,39794001 ≈ 250.

Eksempel 3:

Vi skal regne ut 176 · 322 ved hjelp av logaritmer.

Vi bruker log til å hente ut eksponentene:

log(176) ≈ 2,24551267, fordi 10^2,24551267 ≈ 176

log(322) ≈ 2,50785587, fordi 10^2,50785587 ≈ 322

Vi summerer logaritmene:

2,24551267 + 2,50785587 = 4,75336854

Vi bruker antilog til å legge inn summen som eksponent:

antilog(4,75336854) = 10^4,75336854 ≈ 56672,0001

Bortsett fra avrundingsfeil er dette riktig, for vi har

176 · 322 = 56672

Logaritmebegrepet ble introdusert i 1614 og hadde stor praktisk nytte. I en tid da alle beregninger ble gjort for hånd, var det en stor forenkling å kunne erstatte multiplikasjoner med addisjoner. Logaritmer gjorde det også mulig å gjøre eksponentiering om til multiplikasjon, som igjen kunne gjøres om til addisjon. Det ble utarbeidet store tabeller over logaritmer og antilogaritmer, og utregninger som i eksempel 3 ble gjort ved hjelp av slike tabeller.

I en tid med kalkulatorer og datamaskiner har logaritmer ikke lenger betydning som verktøy for å forenkle utregninger, men det er allikevel et sentralt matematisk konsept vi må kjenne til.

Briggske logaritmer

Logaritmer kan baseres på forskjellige grunntall, for eksempel 10, slik vi har gjort så langt. Logaritmer med 10 som grunntall kalles briggske, oppkalt etter matematikeren Henry Briggs.

Det er vanlig å bruke ordet log for å angi briggske logaritmer, men vi sløyfer gjerne parentesene rundt tallet vi beregner logaritmen til. Vi skriver for eksempel bare log 250 i stedet for log(250). Det brukes ikke noe eget ord for antilogaritme, for å angi den briggske antilogaritmen til x, skriver vi 10^x.

Bortsett fra de aller enkleste utgavene kan kalkulatorer regne ut briggske logaritmer. I Excel og GeoGebra kan vi bruke funksjonen log til dette. I Excel må vi imidlertid sette parenteser rundt tallet vi skal beregne logaritmen til. I GeoGebra blir det surr noen ganger hvis vi utelater parenteser, så vi bruker konsekvent parenteser når vi beregner logaritmer i GeoGebra også.

Eksempel 4:

Vi skal beregne den briggske logaritmen til 32, og den briggske antilogaritmen til 2,2 på kalkulator, i Excel og i GeoGebra. Hvordan knappene på en kalkulator ser ut, kan variere fra modell til modell, på min Casio fx-82ES PLUS heter knappen for å beregne briggske logaritmer log, og knapppen for å beregne briggske antilogaritmer heter 10^■.

For å beregne log 32 på min kalkulator trykker jeg på tastene log 3 2 ) =. Kalkulatoren svarer 1.505149978. For å gjøre tilsvarende i Excel, skriver vi =log(32) i ei celle. I GeoGebra skriver vi log(32) i inntastingsfeltet. Hvis vi vil se flere desimaler, endrer vi dette under «Innstillinger» – «Avrunding».

For å beregne den briggske antilogaritmen til 2,2 på min kalkulator trykker jeg på tastene 10^■ 2 . 2 =. Kalkulatoren svarer 158.4893192. For å gjøre tilsvarende i Excel, skriver vi =10^2,2 i ei celle. I GeoGebra, skriver vi 10^2.2 i inntastingsfeltet.

Oppgave 1:

Beregn den briggske logaritmen til 0,2 og den briggske antilogaritmen til 2 på kalkulator, og med Excel eller GeoGebra. Husk at punktum, ikke komma, er desimalskilletegn i GeoGebra.

Se løsningsforslag

Den briggske logaritmen til et tall, x, er altså det tallet vi må opphøye 10 i for å få x. 

Vi har for eksempel at:

log 1000 = 3, fordi 10³ = 1000

log 100 = 2, fordi 10² = 100

log 10 = 1, fordi 10¹ = 10

log 1 = 0, fordi 10⁰ = 1

log 0,1 = −1, fordi 10⁻¹ = 1/10¹ = 0,1

log 0,01 = −2, fordi 10⁻² = 1/10² = 1/100 = 0,01

Den briggske logaritmen til et tall, x, er

Større enn 1 hvis x > 10.

1 hvis x = 10.

Mellom 0 og 1 hvis 1 < x < 10.

0 hvis x = 1.

Et negativt tall hvis 0 < x < 1.

Ikke definert hvis x = 0.

Et komplekst tall hvis x < 0.
Kalkulatorer og dataprogrammer som ikke håndterer komplekse tall, gir en feilmelding hvis vi prøver å beregne logaritmen til et negativt tall.

Naturlige logaritmer

Briggske logaritmer baserer seg på grunntall 10, men vi kan basere logaritmer på et hvilket som helst grunntall. Et vanlig grunntall å bruke er det såkalte Euler-tallet, e, som er et irrasjonalt tall der de første sifrene er 2,71828. Logaritmer basert på e kalles naturlige logaritmer, og betegnes vanligvis med ln. Den naturlige antilogaritmen til x betegner vi med e^x.

Bortsett fra de aller enkleste utgavene kan kalkulatorer regne ut naturlige logaritmer. I Excel og GeoGebra kan vi bruke funksjonen ln til dette. For å regne ut den naturlige antilogaritmen til x, kan vi bruke funksjonen eksp i Excel og exp i GeoGebra.

Eksempel 5:

Vi skal beregne den naturlige logaritmen til 32, og den naturlige antilogaritmen til 2,2 på kalkulator, i Excel og GeoGebra. Hvordan knappene på kalkulator ser ut, kan variere fra modell til modell, på min Casio fx-82ES PLUS heter knappen for å beregne naturlige logaritmer ln, og for å beregne naturlige antilogaritmer e^■.

For å beregne ln 32 på min kalkulator, trykker jeg på tastene ln 3 2 ) =. Kalkulatoren svarer 3.465735903. For å gjøre tilsvarende i Excel, skriver vi =ln(32) i ei celle. I GeoGebra skriver vi ln(32) i inntastingsfeltet. 

For å beregne den naturlige antilogaritmen til 2,2 på min kalkulator, trykker jeg på tastene e^■ 2 . 2 =. Kalkulatoren svarer 9.025013499. For å gjøre tilsvarende i Excel, skriver vi =eksp(2,2) i ei celle. I GeoGebra skriver vi exp(2.2) i inntastingsfeltet.

Oppgave 2:

Beregn den naturlige logaritmen til 0,2 og den naturlige antilogaritmen til 2 på kalkulator, og med Excel eller GeoGebra.

Se løsningsforslag

Den naturlige logaritmen til et tall, x, er altså tallet vi må opphøye e i for å få x.

Logaritmer med forskjellig grunntall

Vi angir grunntallet til en logaritme med senket skrift bak log. For eksempel er log₂ 64 logaritmen til 64 med 2 som grunntall. Hvis vi ikke angir noe grunntall, og bare skriver log, er det underforstått at grunntallet er 10. Hvis grunntallet er e, skriver vi ln i stedet for log_e.

Logaritmen med grunntall a til et tall, x, er

Større enn 1 hvis x > a.

1 hvis x = a.

Mellom 0 og 1 hvis 1 < x < a.

0 hvis x = 1.

Et negativt tall hvis 0 < x < 1.

Ikke definert hvis x = 0.

Et komplekst tall hvis x < 0.

Oppgave 3:

Under er det listet opp fire uttrykk med logaritmer, og vist fire punkter på ei tallinje. 

1. 1. 1. 1. log 5
         2. ln 5
         3. log 1
         4. ln 0,5

Forklar, uten å regne ut, hvilke punkter som hører sammen med hvilket uttrykk. Bruk så kalkulator, Excel eller GeoGebra til å sjekke om du har rett.

Se løsningsforslag

I Excel og GeoGebra kan vi beregne logaritmer basert på et hvilket som helst grunntall ved å ta med grunntallet når vi bruker log. =log(x, a) og log(a, x) gir logaritmen til x basert på grunntall a i henholdsvis Excel og GeoGebra. For eksempel gir =log(64; 2) logaritmen til 64 med grunntall 2 i Excel og log(2, 64) det samme i GeoGebra. Legg merke til at rekkefølgen på a og x er forskjellig i de to verktøyene.

Har vi ikke verktøy som Excel eller GeoGebra tilgjengelig, kan vi imidlertid beregne logaritmer med hvilke som helst grunntall så lenge vi har et verktøy som kan beregne ln, for eksempel en kalkulator.

For alle grunntall, a, har vi nemlig følgende sammenheng:

$\fbox{$\log_{\large a} x = \frac{\displaystyle \ln x}{\displaystyle \ln a}$}$

Eksempel 6:

Vi skal beregne log₂ 64 ved å bruke funksjonen ln i Excel og GeoGebra.

Ifølge formelen over har vi at $\log_{\large 2} 64 = \frac{\displaystyle \ln 64}{\displaystyle \ln 2}$. Vi skriver derfor =ln(64) / ln(2) i Excel og ln(64) / ln(2) i inntastingsfeltet i GeoGebra. Vi får svaret 6. Det er riktig, for 2⁶ = 64. Den samme utregningen kan vi altså gjøre ved å skrive =log(64;2) i Excel og log(2, 64) i GeoGebra.

Oppgave 4:

Beregn log₃ 81 ved å bruke funksjonen ln i Excel eller GeoGebra, og kontroller svaret ved å bruke log med grunntall 3.

Se løsningsforslag

Regneregler for logaritmer

I det følgende bruker vi ln som eksempel på logaritme, men reglene er gyldige for logaritmer med alle grunntall.

For alle logaritmer har vi følgende sammenhenger:

1. $\fbox{$\ln u \cdot v = \ln u+ \ln v$}$
   Å ta logaritmen til et produkt er det samme som å addere logaritmen til hver av faktorene.
    
2. $\fbox{$\ln \frac {\displaystyle u}{\displaystyle v} = \ln u − \ln v$}$
   Å ta logaritmen til en kvotient er det samme som å subtrahere logaritmen til dividend og divisor.
    
3. $\fbox{$\ln u^{\large r} = r \cdot \ln u$}$
   Å ta logaritmen til en potens er det samme som å multiplisere eksponenten med logaritmen til grunntallet.

Med logaritmer gjøres altså multiplikasjon og divisjon om til addisjon og subtraksjon, og eksponentiering gjøres om til multiplikasjon.

Litt flere regneregler:

4. $\fbox{$\ln \frac {\displaystyle 1}{\displaystyle u} = − \ln u$}$
   Å ta logaritmen til inversen til et tall er det samme som å ta logaritmen til tallet og skifte fortegn.
   (Dette er egentlig et spesialtilfelle av regel 2 med u = 1)
    
5. $\fbox{$e^{\large \ln u} = u$}$
   Eksponentiering og logaritme opphever hverandre.
    

6. $\fbox{$\ln e^{\large u} = u$}$
   Logaritme og eksponentiering opphever hverandre.

Vi kan ikke dele opp beregningen av logaritmen til en sum eller differanse. Generelt er ln(u + v) ≠ ln u + ln v og ln(u − v) ≠ ln u − ln v.

Logaritmiske skalaer

På aksene i koordinatsystemene våre er vi vant til å bruke lineære skalaer, det vil si at for hver enhet vi beveger oss langs en av aksene, endres x– eller y-verdien med et fast tall. Et eksempel er vist under, der x-verdien endres med 1 for hver strek vi beveger oss langs x-aksen, og y-verdien endres med 3 for hver strek vi beveger oss langs y-aksen.

Hvis vi skal plotte punktene A = (1, 3), B = (2, 5) og C = (6, 1), er det ingen problemer med å gjøre det i koordinatsystemet over. Skal vi plotte A = (1, 3000), B = (2, 5000) og C = (6, 1000), gir det heller ingen problemer, vi endrer bare skalaen på y-aksen til å være for eksempel 1000 per strek. Alle punktene er nemlig av samme størrelsesorden

Men hvis vi har punkter som A = (1, 3), B = (2, 5000) og C = (3, 1000000) får vi et problem. y-verdien til disse punktene er nemlig ikke i samme størrelsesorden. Er skalaen tilpasset punktet A, havner B og C langt utenfor skjermen. Tilpasser vi skalaen til C, blir A og B liggende klemt inntil x-aksen:

Løsningen er å endre skalaen slik at vi ikke adderer et tall for hver enhet på y-aksen, men multipliserer med et tall.

Vi inspiserer noen logaritmer igjen: Vi har at log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3, etc. For hver gang vi multipliserer et tall med 10, øker den briggske logaritmen med 1. Generelt har vi at hver gang vi multipliserer et tall med a, øker logaritmen med grunntall a med 1.

Og det er jo nettopp et slikt system vi trenger på y-aksen når vi skal plotte elementer av ulik størrelsesorden. Vi bruker da en logaritmisk skala, ikke en lineær. Det spiller ingen rolle hvilken logaritme vi velger. Bildet under viser punktene A, B og C i et koordinatsystem med logaritmisk skala basert på grunntall 10 på y-aksen.

 

I eksemplet over har vi brukt lineær skala på x-aksen og logaritmisk skala på y-aksen, men ved behov kan vi ha logaritmisk skala på begge aksene, eller bare x-aksen.

Et praktisk eksempel på forskjellig størrelsesorden er lydeffekt. Lista under viser lydeffekt i W fra forskjellige lydkilder:

• Høreterskel: 0,000000000001
• Hvisking: 0,000000001
• Oppvaskmaskin: 0,0001
• Symfoniorkester: 1
• Propellfly: 100
• Jetfly: 1000
• Saturnrakett: 100 000

Det vil ikke la seg gjøre å fremstille dette fornuftig på en lineær skala. Men på en logaritmisk skala går det fint. Og det er nettopp det vi gjør i praksis. Vi måler ikke lyd i lineære watt, men i logaritmiske desibel, db. En økning i lydstyrke på 3 db tilsvarer en dobling av effekten.

Oppgave 5:

Bildet under viser 9 punkter med verdi fra 1 til 100 på en logaritmisk skala. A har verdien 1, E har verdien 10 og I har verdien 100. Anslå verdien til de andre punktene.

Se løsningsforslag

Kilder

• • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget