Mengder

Hva er mengder?

For å kunne diskutere kombinasjoner av utfall på en strukturert måte er vi nødt til å kjenne til begrepet mengder, som brukes i mange sammenhenger. En mengde er en samling elementer som deler én eller flere egenskaper. Disse egenskapene må være veldefinert, slik at vi helt sikkert kan si om et element er medlem av mengden eller ikke.

Eksempel 1:

«Alle biler med norske registreringsnummer som begynner på PP» er en mengde. «Alle elever på Gufsemo skole» er en mengde. Men «Alle skitne biler» kan vanskelig sies å være en mengde fordi det ikke finnes noen klar definisjon av hva som menes med skitten.

Vi kan angi hva en mengde inneholder ved å liste opp elementene mellom krøllparenteser.

Eksempel 2:

Mengden T som består av alle positive, ensifrede heltall, kan vi angi slik: T = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, eventuelt som T = {1, 2, 3, … , 9}.

En mengde som ikke inneholder noen elementer, er tom. En tom mengde angir vi med krøllparenteser uten noe mellom, {}, eller med symbolet ∅.

For å angi at et element ligger i en mengde, bruker vi symbolet ∈. For å angi at et element ikke ligger i en mengde, bruker vi symbolet ∉.

Eksempel 3:

5 ∈ {1, 3, 5, 7, 9}

2 ∉ {1, 3, 5, 7, 9}

Venn-diagrammer

Mengder illustrerer vi gjerne med Venn-diagrammer. Vi representerer da mengden som et område inni en lukket kurve, ofte en sirkel.

Eksempel 4:

Mengden T med tall fra eksempel 2, kan vi illustrere slik:

Union og snitt

Unionen av mengder består av elementer som ligger i minst én av mengdene. Som symbol for union bruker vi tegnet ∪.

Snittet av mengder består av elementer som ligger i alle mengdene. Som symbol for snitt bruker vi tegnet ∩.

Eksempel 5:

I figuren under består mengden O av ensifrede oddetall, mengden E av ensifrede partall, og mengden P av ensifrede primtall. O ∪ P er markert med grønt og O ∩ P markert med gult.

Vi ser at vi har

• O ∪ P = {1, 2, 3, 5, 7, 9}
  Unionen av oddetall og primtall, altså tall som enten er oddetall eller primtall eller begge deler.
   
• O ∪ E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
  Unionen av oddetall og partall. Dette er alle tallene fordi et tall enten er oddetall eller partall.
   
• E ∪ P = {2, 4, 6, 8}
  Unionen av partall og primtall, altså tall som enten er partall eller primtall eller begge deler.
   
•  O ∩ P = {3, 5, 7}
  Snittet av oddetall og primtall, altså tall som er både oddetall og primtall.
   
• O ∩ E = ∅
  Snittet av oddetall og partall. Denne mengden er tom fordi det ikke finnes noen tall som er både oddetall og partall.
   
• E ∩ P = {2}
  Snittet av partall og primtall, altså tall som er både partall og primtall.

Dersom mengder ikke har felles elementer, sier vi at de er disjunkte. På engelsk «disjoint», de henger ikke sammen. Venn-diagrammer som representerer disjunkte mengder, vil ikke overlappe. Dette er tilfelle med mengdene O og E i eksempel 5.

Delmengder

Delmengder er mengder som inngår i mengder. Delmengder kan vi med Venn-diagrammer illustrere som områder omsluttet av områder.

Eksempel 6:

Vi har mengden T, som består av alle positive, ensifrede heltall: T = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Denne mengden kan vi illustrere med et Venn-diagram, slik:

Mengden av positive, ensifrede partall, E = {2, 4, 6, 8}, og mengden av positive, ensifrede oddetall, O = {1, 3, 5, 7, 9}, er delmengder av mengden T. I et Venn-diagram kan vi illustrere dette slik:

Mengden ensifrede primtall, P = {2, 3, 5, 7}, er også en delmengde av mengden T:

Vi ser at delmengder kan overlappe.

At en mengde, B, er en delmengde av A, skriver vi slik: B ⊆ A.

At en mengde, B, ikke er en delmengde av A, skriver vi slik: B ⊈ A.

En delmengde kan bestå av alle elementene i en mengde, og derved være lik mengden selv. Delmengder som ikke er lik mengden selv, kalles ekte delmengder.

At en mengde, B, er en ekte delmengde av A, skriver vi slik: B ⊂ A.

At en mengde, B, ikke er en ekte delmengde av A, skriver vi slik: B ⊄ A.

Eksempel 7:

Mengden {2, 3} er både en delmengde og en ekte delmengde av mengden {2, 3, 4}:
 {2, 3} ⊆ {2, 3, 4}
 {2, 3} ⊂ {2, 3, 4}

Mengden {2, 3, 4} er en delmengde, men ikke en ekte delmengde av mengden {2, 3, 4}:
 {2, 3, 4} ⊆ {2, 3, 4}
 {2, 3, 4} ⊄ {2, 3, 4}

Mengden {1, 3} er verken en delmengde eller en ekte delmengde av mengden {2, 3, 4}:
 {1, 3} ⊈ {2, 3, 4}
 {1, 3} ⊄ {2, 3, 4}

En tom mengde er en delmengde av alle mengder, og en ekte delmengde av alle mengder som ikke er tomme:
∅ ⊆ {2, 3, 4}
∅ ⊆ ∅
∅ ⊂ {2, 3, 4}
∅ ⊄ ∅

Kardinalitet

Antall elementer i en mengde kaller vi mengdens kardinalitet. Kardinalitet kan angis på forskjellige måter, her vil vi bruke bokstaven n. n(A) betyr altså mengden av elementer i A. I eksempel 5 har vi at n(O) = 5, n(E) = 4 og n(P) = 4. Kardinaliteten til en tom mengde er null, n(∅) = 0. 

Oppgave 1:

Ta utgangspunkt i mengdene A = {a, b, c, d, e}, K = {b, c, d} og V = {a, i} og finn mengdene:

1. A ∪ V
    
2. A ∪ K
    
3. K ∪ V
    
4. A ∩ V 
    
5. A ∩ K 
    
6. K ∩ V 

Angi i hvert tilfelle også mengdens kardinalitet.

Se løsningsforslag

Se filmen «Mengder» 

Kilder

• • Hinna, K.R.C., Rinvold, R.A., Gustavsen, TS. (2011). QED 5-10, bind 1. Høyskoleforlaget
  • Ubøe, J. (2011). Statistikk for økonomifag. Gyldendal akademisk
  • Hagen, Per C. (2000). Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk. Cappelen akademisk