Modellere med differensiallikninger

Vi skal nå se et eksempel på bruk av en differensiallikning til å løse et problem fra virkeligheten.

Vi setter ei skål suppe som holder 90° til avkjøling, og skal regne ut når suppa holder 50°.

Hadde temperaturen sunket med konstant hastighet, ville dette vært en enkel utregning. Sank den med for eksempel 8° per minutt, ville det tatt ${\large \frac{90 – 50}{8}} = 5$ minutter før suppa holdt 50°.

Men vi vet av erfaring at avkjøling ikke skjer på den måten. Suppa avkjøles fort når den er veldig varm, og så langsommere og langsommere mot omgivelsestemperaturen.

Avkjølingen skjer i henhold til Newtons avkjølingslov, som er slik:

T′(t) = –k(T(t) – To)

Her er T temperaturen til objektet som kjølner, To er omgivelsestemperaturen, t er tiden, og k en positiv konstant, som vil variere fra materiale til materiale. Enheten til k vil være den inverse av enheten til t. For eksempel 1/sekund, altså s-1, hvis tiden måles i sekunder.

La oss tolke dette uttrykket:

På venstre side av likhetstegnet står T′, den deriverte av temperaturen, altså endring i temperatur. På høyre side har vi et minus-tegn foran produktet av k, som er oppgitt å være positiv, og T – To, som er positiv fordi objektets temperatur alltid vil være høyere enn omgivelsestemperaturen. T′ er derfor alltid negativ, noe som betyr at temperaturen alltid avtar.

Videre ser vi at T′ er proporsjonal med differansen mellom objektets og omgivelsenes temperatur, T – To. Det betyr at jo nærmere T kommer To, jo nærmere kommer T′ null, og jo langsommere synker temperaturen.

Vi ser at likningen

T′(t) = –k(T(t) – To)

er en differensiallikning fordi den inneholder både en funksjon, T(t), og funksjonens deriverte, T′(t). Den er av første orden fordi den bare inneholder første ordens deriverte.

For å kunne regne ut temperaturen på et gitt tidspunkt, må vi løse denne differensiallikningen.

For oversiktens skyld dropper vi å ta med t i det følgende. Vi lar det være underforstått at tiden, t, er den uavhengige variabelen, og skriver bare

T′ = –k(T – To)

Hvis vi multipliserer -k inn i parentesen og flytter leddet -kT over på venstre side, får vi

T′ + kT = kTo

I artikkelen om lineære differensiallikninger lærte vi at en lineær differensiallikning var på formen

y′ + p(x) · y = q(x)

Vi ser at Newtons avkjølingslov er på denne formen, forskjellen er bare at vi har erstattet y med T og x med t.

Vi har p(t) = k og q(t) = kT0

Vi ser at begge funksjonene er konstantfunksjoner, og egentlig uavhengige av t.

Siden p(t) = k, får vi $P(t) = \int k \, dt = kt + C$. Integrerende faktor blir ekt.

Vi multipliserer med integrerende faktor på begge sider, og får

Tekt + kTekt = kToekt

Vi bruker produktregelen baklengs på venstre side, og får

(Tekt)′ = kToekt

Vi integrerer begge sider, og får

Tekt = Toekt

Her benyttet vi at $\int e^{kt} \, dt = {\large\frac{1}{k}}e^{kt}$

Så dividerer vi begge sider med integrerende faktor, og får et uttrykk for temperaturen som funksjon av tiden:

$T = T_o + \frac{\displaystyle C}{\displaystyle e^{kt}} = T_o + Ce^{-kt}$

Denne formen med e opphøyd i minus en positiv konstant ganger tiden er typisk for en mengde fenomener i naturen.

Vi ser at når t → ∞, vil Ce-kt → 0, og vi står igjen med T = To. Temperaturen nærmer seg altså omgivelsestemperaturen når tiden går mot uendelig. To er en grenseverdi for T(t).

Helt i starten, når t = 0, har vi T = To + Ce0 = To + C. Vi har altså en ukjent verdi i uttrykket, nemlig C. Det er naturlig, for temperaturen underveis vil jo ikke bare være avhengig av hvor lang tid som er gått, den vil også være avhengig av hvilken temperatur vi har til å begynne med.

Vi skal nå bruke likningen T = To + Ce-kt til å beregne temperaturen i suppa på noen forskjellige tidspunkter:

Eksempel 1:

Vi antar at vi har funnet ut at konstanten, k, for suppe er 0,1/minutt, og omgivelsestemperaturen er 20°.

Suppas temperatur som funksjon av tiden blir da:

T = 20° + Ce-0,1t

For å bestemme konstanten, C, benytter vi at vi har sagt at suppas temperatur i utgangspunktet er 90°.

Det betyr at når t = 0, har vi T = 90°. Dette kaller vi en initialbetingelse.

Setter vi inn t = 0 og T = 90° i funksjonen, får vi

90° = 20°+ Ce0 = 20° + CC = 70°

Så i vårt tilfelle blir funksjonen for suppas temperatur

T = 20° + 70° · e-0,1t

Etter t = 5 minutter er temperaturen T = 20° + 70° e-0,1·5 ≈ 62°

Siden k har enhet 1/minutt, måler vi tiden i minutter.

Etter t = 10 minutter er temperaturen T = 20° + 70° e-0,1·10 ≈ 46°

Etter t = 15 minutter er temperaturen T = 20° + 70° e-0,1·15 ≈ 36°

Etter t = 20 minutter er temperaturen T = 20° + 70° e-0,1·20 ≈ 29°

Skal vi finne ut hvor lang tid det tar før temperaturen er 50°, som var spørsmålet vi startet med, må vi løse likningen

50° = 20° + 70° · e-0,1t

Vi ordner leddene, dividerer med 70° på begge sider og får

$e^{-0{,}1t} = {\large \frac{30}{70}} \approx 0{,}429$

Vi tar ln på begge sider og får

-0,1t ≈ ln 0,429 ≈ -0,85

t ≈ 8,5. Det tar om lag 8,5 minutter før suppa er avkjølt til 50°.

Oppgave 1:

Vi fyller vann i et basseng med en hastighet på 4 m3/min. Bassenget har en vertikal sprekk som gjør at det lekker vann ut med en hastighet som er proporsjonal med vannvolumet i bassenget.

Vi lar V(t) være vannvolumet i bassenget, målt i m3, som funksjon av tiden, t, målt i minutter.

  • Forklar at differensiallikningen V′(t) = 4 – kV er en modell av vannvolumet i bassenget.

Vi har at k = 0,005/min, og bassenget er i utgangspunktet tomt.

  • Finn et uttrykk for vannvolumet i bassenget som funksjon av tiden.
     
  • Beregn hvor lang tid det tar før det er 400 m3 vann i bassenget.

Se løsningsforslag

Kilder

  • Boyce, W.E, DiPrima, R.C. (1992) Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. JohnWiley & Sons