Modellere med likninger

I den virkelige verden er det sjelden vi støter på problemstillinger i form av ferdig oppstilte likninger, som regel må vi selv stille opp likningene. Dette kan være utfordrende, men idet en likning er på plass, kan vi løse den ved hjelp av faste matematiske metoder. Å stille opp likninger som representerer en situasjon i den virkelige verden kaller vi gjerne å modellere med likninger.

Vi skal ikke her se på noen fast teknikk til å modellere med likninger, bare si at hvis vi skal løse et problem der en eller flere ukjente verdier skal bestemmes under gitte betingelser, kan en modell med likninger være et nyttig verktøy. Å modellere med likninger er en teknikk som kommer gjennom øvelse og erfaring.

Likningene vi trenger, kan være av forskjellig type. Vi skal se på noen eksempler.

Førstegradslikninger

Eksempel 1:

Johan kan velge mellom to typer mobilabonnement. Abonnement 1 har en fast pris på kr 200 per måned, i tillegg koster hver GB med data brukt kr 30. Abonnement 2 har en fast pris på kr 100 per måned, men hver GB brukt koster kr 40.

Det er klart at abonnement 2 er billigere enn abonnement 1 hvis Johan bruker lite data, og omvendt hvis han bruker mye data. Men vi ønsker å finne ut nøyaktig hvor mye data Johan må bruke per måned for at det lønner seg å velge abonnement 1.

Her skal vi finne en bestemt verdi under gitte betingelser, og vi kan bruke en likning til dette.

Trinn 1 blir å stille opp likningen. La oss kalle mengden data Johan bruker per måned for x. Med abonnement 1 vil den månedlige kostnaden bli 200 + 30x. Med abonnement 2 vil den månedlige kostnaden bli 100 + 40x. Kostnadene er like store når 200 + 30x = 100 + 40x.

Trinn 2 blir å løse likningen 200 + 30x = 100 + 40x. Dette er en førstegradslikning som vi løser ved å isolere x på venstre side av likhetstegnet og forenkle så langt det går.

200 + 30x = 100 + 40x

30x − 40x = 100 − 200

−10x = −100

x = 10

Abonnement 1 lønner seg hvis Johan bruker mer enn 10 GB per måned.

Se løsningsforslag

Oppgave 1:

Alea skal ha sommerjobb med å plukke jordbær. Hun kan velge å bli betalt etter alternativ 1, som er en fast dagslønn på kr 800, eller alternativ 2, som er en timebetaling på kr 50 og kr 5 per kurv hun plukker. Arbeidsdagen er 8 timer. Hvor mange kurver må Alea plukke per dag for at det skal lønne seg å velge alternativ 2?

Se løsningsforslag

En klassiker er grublis-oppgaver av typen «hvor gammel er». I stedet for å prøve og feile, kan vi ofte løse denne typen oppgave med likninger.

Eksempel 2:

Om 10 år er Samir dobbelt så gammel som han var for 5 år siden. Hvor gammel er Samir?

Kaller vi Samirs alder for x, vil han om 10 år være x + 10, og for 5 år siden var han x − 5. At han om 10 år er dobbelt så gammel som han var for 5 år siden, betyr at vi må ha 2 · (x − 5) = x + 10. Det er fort å bomme her, og multiplisere med 2 på feil side, men vi har altså at når han er x + 10 er han det dobbelte av x − 5, så det er x − 5 vi må multiplisere med 2.

Vi løser likningen:

2 · (x − 5) = x + 10

2x − 10 = x + 10

2xx =10 + 10

x = 20

Samir er 20 år.

Så et litt mer komplisert eksempel:

Eksempel 3:

Astrid er halvparten så gammel som Torhild. Knut er tre år eldre enn Torhild. Til sammen er de 53 år gamle. Hvor gamle er Astrid, Torhild og Knut?

Her er mange opplysninger, så denne oppgaven kan være litt krevende å uttrykke matematisk. Men vi kan merke oss at både Astrids og Knuts alder er oppgitt i forhold til Torhilds. Vi velger derfor å kalle Torhilds alder for x.

Vi har da at

      • Torhild er x år.
      • Astrid er x/2 år.
      • Knut er x + 3 år.

Så vet vi at summen av disse aldrene er 53 år. Vi får derfor likningen x + x/2 + x + 3 = 53.

Vi løser likningen:

x + x/2 + x + 3 = 53

2x + x + 2x + 6 = 106

5x = 100

x = 20

Følgelig er x/2 = 10 og x + 3 = 23

Torhild er 20 år, Astrid er 10 år og Knut er 23 år.

Oppgave 2:

Ta utgangspunkt i eksempel 3, men la nå Astrids alder være den ukjente x. Still opp og løs den tilhørende likningen. Du skal få samme svar som i eksempel 3.

SkjermfilmSe film der likningen stilles opp og løses
 

Likningssett

Har vi flere uavhengige opplysninger, modellerer vi med likningssett.

Eksempel 4:

Vi vet at 1 kg tomat og 2 kg potet koster kr 46 til sammen, og at 2 kg tomat og 1 kg potet koster kr 53 til sammen. Så skal vi finne ut hva tomat og potet koster per kg.

La oss kalle prisen på tomat t og prisen på potet p, da er det lettere å huske hvilken ukjent som representerer hva, enn om vi kaller prisene x og y.

Vi har altså at 1t + 2p = 46 og 2t + 1p = 53. Dette er et likningssett med 2 likninger og 2 ukjente. Vi skal altså løse settet:

(I) t + 2p = 46
(II) 2t + p = 53

Vi kan velge å bruke innsettingsmetoden eller addisjonsmetoden. Her virker det som det enkleste er at vi lett kan finne et uttrykk for t fra (I): t + 2p = 46 ⇒ t = 46 − 2p

Vi setter inn 46 − 2p for t i (II), og får 2(46 − 2p) + p = 53 ⇒ 92 − 4p + p = 53 ⇒ −3p = −39 ⇒ p = 13

Vi fant tidligere at t = 46 − 2p, så t = 46 − 2 · 13 = 20

1 kg tomat koster kr 20 og 1 kg potet koster kr 13.

Oppgave 3:

1 stk. brokkoli og 2 stk. purre koster kr 55 til sammen. 2 stk. brokkoli og 4 stk. purre koster kr 110 til sammen.

Kan du ut fra disse opplysningene finne ut hva 1 stk. brokkoli og 1 stk. purre koster? Hvis ikke, hva er problemet?

Se løsningsforslag

Likninger med ukjent i eksponent

Eksempel 5:

Setter vi kr 1000 i banken og får 3 % rente per år, har vi etter 1 år

kr 1000 · 1,03

Siden vi får rente av rentene, har vi etter 2 år

kr (1000 · 1,03) · 1,03, altså kr 1000 · (1,03)2

Etter 3 år har vi

kr ((1000 · 1,03) · 1,03) · 1,03, altså kr 1000 · (1,03)3

og etter x år har vi

kr 1000 · (1,03)x

Så lurer vi på hvor mange år pengene må stå før vi passerer kr 1500 på konto.

En likning som beskriver problemet, er 1000 · (1,03)x = 1500. På venstre side av likhetstegnet har vi et uttrykk for beløpet vi har etter x år, og på høyre beløpet 1500, og vi skal finne ut hva x må være for at venstre side er lik høyre. Vi løser likningen:

1000 · (1,03)x = 1500
⇓ (Dividerer med 100 på begge sider. Dette er ikke nødvendig, men gir lavere tall å arbeide med.)
10 · (1,03)x = 15
⇓ (Tar logaritmen på begge sider)
ln(10 · (1,03)x) = ln 15
⇓ (Benytter at ln uv = ln u + ln v)
ln10 + ln 1,03)x = ln 15
⇓ (Benytter at ln ux = x ln u)
ln 10 + x ln 1,03 = ln 15
⇓ (Flytter ln 10 til høyre side med fortegnsskifte, og dividerer begge sider med ln 1,03)
x = (ln 15 − ln 10ln 10 /ln 1,03
⇓ (Regner ut høyre side)
x ≈ 13,72

Siden x må være et helt tall, betyr dette at vi etter 14 år har passert kr 1500 på konto.

Oppgave 4

Et typisk prisfall på nye biler er 13 % per år. Med andre ord vil prisen på en bil et vilkårlig år være lik prisen året før multiplisert med 0,87. Finn ut hvor mange år det vil gå før prisen på en bil til kr 350 000 er blitt lavere enn kr 200 000. Regn i hele år.

Se løsningsforslag

Prinsippet vi har brukt i alle eksemplene, er at vi først modellerer problemet vi skal løse, med en likning eller et likningssett. Vi har ikke angitt noen fast oppskrift på dette, men arbeider etter en såkalt heuristisk metode, ut fra erfaring og intuisjon. Når likningen(e) først er satt opp, bruker vi imidlertid kjente matematiske metoder i løsningsprosessen. Når vi har funnet en løsning, gir vi en tolkning av løsningen i den situasjonen vi modellerte. Det siste er viktig, vi nøyer oss ikke med å komme fram til verdiene til de ukjente, vi forklarer også hva resultatet betyr. I eksempel 1, for eksempel, nøyer vi oss ikke med å si at x = 10, vi forklarer at dette betyr at abonnement 1 lønner seg hvis Johan bruker mer enn 10 GB per måned. I dette eksempelet er tolkningen riktignok nokså opplagt, men i andre sammenhenger kan de matematiske resultatene være mer subtile, så det er en god vane å alltid ta med en tolkning av resultatet.

Kilder