Om differensiallikninger

Differensiallikninger er likninger som inneholder funksjoner og en eller flere av funksjonenes deriverte. Løsningen til en differensiallikning er også en funksjon. Det er vanlig å kalle denne funksjonen y(x), og de deriverte blir y′(x), y′′(x) og så videre. For enkelhets skyld skriver vi imidlertid ofte bare y, y′, y′′ og så videre, det er underforstått at y er en funksjon av x.

Eksempel 1:

Likningen y′ + 2y – 6x = 0 er en differensiallikning.

Likningens løsning er $y = 3x – {\large \frac{3}{2}} + Ce^{-2x}$, der C er en vilkårlig konstant. Det finnes altså uendelig mange løsninger til likningen, avhengig av verdien til C.

Differensiallikninger kan ha forskjellig orden, der ordenen er den høyeste ordenen til den deriverte til y. Inneholder likningen bare første ordens deriverte, altså y′, er den av første orden, inneholder den andre ordens deriverte, altså y′′ er den av andre orden, og så videre. Likningen i eksempel 1 er av første orden.

Det finnes ingen generell metode til å løse alle differensiallikninger. Det finnes imidlertid en del undergrupper som kan løses ved forskjellige metoder. På dette nettstedet ser vi på to slike grupper: Første ordens separable, og første ordens lineære differensiallikninger.

Differensiallikninger som ikke kan løses, kan vi finne tilnærmede løsninger til ved å bruke numeriske metoder på en datamaskin.

Differensiallikninger er helt nødvendige for å kunne beskrive mange fenomener i naturen, for eksempel temperaturen til et objekt som avkjøles og halveringstid for radioaktive materialer. I økonomifaget trenger vi for eksempel differensiallikninger for å kunne beregne beløp på en konto med kontinuerlig forrentning.

På dette nettstedet arbeider vi bare med første ordens differensiallikninger. Hvis vi i andre artikler bare sier “differensiallikning”, er det underforstått at den er av første orden.

I GeoGebra kan vi løse differensiallikninger i CAS med kommandoen LøsODE, som har syntaks LøsODE(<likning>, <avhengig variabel>, <uavhengig variabel>). Skriver vi for eskampel LøsODE(y’ + 2y – 6x = 0, y, x), løser GeoGebra differensiallikningen i eksempel 1, og svarer $y = c_1e^{-2x} + 3x – {\large \frac{3}{2}}$. Dette er samme svar som i eksempel 1, bortsett fra at rekkefølgen på leddene er annerledes, og at GeoGebra kaller konstanten C for c1.

Oppgave 1:

I eksempel 1 har vi en differensiallikning og løsningen til likningen. Sett prøve på løsningen, det vil si, gitt $y = 3x – {\large \frac{3}{2}} +Ce^{-2x}$, beregn y′, og sett y og y′ inn i likningen, og vis at venstre side blir lik høyre side.

Se løsningsforslag

Kilder

  • Boyce, W.E, DiPrima, R.C. (1992) Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. JohnWiley & Sons