Poissonfordeling

Sannsynligheter i poissonfordeling

I artikkelen om binomisk fordeling og artikkelen om hypergeometrisk fordeling gjør vi et bestemt antall forsøk, n, med gitte sannsynligheter, p, eller forhold, ${\large \frac{M}{N}}$. Av og til kjenner vi imidlertid ikke noe av dette, vi vet bare at en hendelse opptrer med en viss hyppighet. Det kan for eksempel være antall kunder som kommer til en kiosk i et gitt tidsrom, eller antall bakterier i en blodprøve. I det første tilfellet snakker vi om hyppighet i tid, i det andre hyppighet i volum.

I slike tilfeller vil vi kunne beregne sannsynligheten for at en hendelse opptrer et bestemt antall ganger ved å bruke en poissonfordeling, oppkalt etter den franske matematikeren Siméon Denis Poisson.

Vi bruker den greske bokstaven lambda, λ, til å angi hyppighet. Sannsynligheten for en hendelse i en poissonfordeling med hyppighet λ, er gitt ved

$\fbox{Poissonfordeling: $P(X = x) = \frac{\displaystyle \lambda^x}{\displaystyle x!}e^{- \lambda}$}$

Vi forutsetter da at

Hendelsene er uavhengige.

λ er konstant. 

Ingen av hendelsene inntreffer samtidig.

Eksempel 1:

I et skogsområde er det i gjennomsnitt 8 trær per mål, og vi skal finne sannsynligheten for at det på et vilkårlig område på 1 mål er henholdsvis 7, 12 og 2 eller færre trær. Vi forutsetter at forekomsten av trær er uavhengig og konstant i området, og to forekomster kan ikke inntreffe samtidig, siden trær ikke kan stå oppå hverandre.

Siden det i gjennomsnitt er 8 trær per mål, er λ = 8.

Sannsynligheten for 7 trær per mål, P(X = 7), blir ifølge formelen

${\large \frac{8^{7}}{7!}}e^{-8} \approx 0{,}1396$.

Sannsynligheten for 12 trær per mål, P(X = 12), blir ifølge formelen

${\large \frac{8^{12}}{12!}}e^{-8} \approx 0{,}0481$.

For å finne sannsynligheten for 2 eller færre trær per mål, P(X ≤ 2), må vi summere sannsynlighetene for 2, 1 og 0 trær. Formelen gir

${\large \frac{8^{2}}{2!}}e^{-8} + {\large \frac{8^{1}}{1!}}e^{-8} + {\large \frac{8^{0}}{0!}}e^{-8}\approx 0{,}0107 + 0{,}0027 + 0{,}0003 = 0{,}0138$.

Poissonfordeling i Excel og GeoGebra

I Excel beregner vi poissonsannsynligheter med funksjonen poisson.fordeling. Vi må da oppgi antallet vi ønsker sannsynligheten for, lambda og true for kumulativ sannsynlighet og false for ikke-kumulativ, altså punktsannsynlighet. For eksempel skriver vi henholdsvis =poisson.fordeling(7; 8; usann), =poisson.fordeling(12; 8; usann) og =poisson.fordeling(2; 8; sann) for å gjøre beregningene i eksempel 1.

Tilsvarende funksjon i GeoGebra heter fordelingpoisson. Her er rekkefølgen på parameterne annerledes, vi angir lambda, antall elementer vi ønsker sannsynligheten for, true for kumulativ sannsynlighet og false for punktsannsynlighet. For eksempel skriver vi henholdsvis fordelingpoisson(8, 7, false), fordelingpoisson(8, 12, false) og fordelingpoisson(8, 2, true) for å gjøre beregningene i eksempel 1.

I GeoGebra er det imidlertid mer praktisk å bruke sannsynlighetskalkulatoren som beskrives i artikkelen om statistikk i GeoGebra.

Oppgave 1:

I en vannprøve er det i gjennomsnitt to hoppekreps. Vi forutsetter at forekomsten av hoppekreps er poissonfordelt. Beregn hva sannsynligheten da er for at en annen, like stor vannprøve inneholder

1. Ingen hoppekreps.
    
2. Én hoppekreps.
    
3. To eller flere hoppekreps.

Kontroller svarene i Excel eller GeoGebra.

Se løsningsforslag

Poissonfordelingstabell

I tidligere tider var tabeller et viktig hjelpemiddel til å finne binomiske sannsynligheter, men i datamaskinenes tidsalder har de mindre nytte.

Dette nettstedet har allikevel en poissonfordelingstabell.

Forventning og varians i poissonfordeling

I en poissonfordeling er forventning og varians gitt ved

$\fbox{$\begin{align} E(X) = \lambda \\
Var(X) = \lambda
\end{align}$}$

Kilder

• • Ubøe, J. (2011). Statistikk for økonomifag. Gyldendal akademisk
  • Hagen, Per C. (2000). Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk. Cappelen akademisk
  • Bhattacharyya, G, Johnson, R.A. (1977) Statistical concepts and methods. John Wiley & Sons