Polynomdivisjon

På barneskolen lærer vi å utføre divisjon av tall med flere sifre.

Et eksempel er vist under. Her skal 372 deles på 31.

Divisjon av tall, trinn 1

Da spør vi hva vi får når vi dividerer første siffer i dividenden med første siffer i divisor. Jo, 3 : 3 = 1. Så multipliserer vi divisor med ett-tallet og stiller resultatet under dividenden. Her får vi 1 · 31 = 31. Deretter subtraherer vi dette tallet fra dividenden.

 Divisjon av tall, trinn 2

Så flytter vi ned de resterende sifrene fra dividenden, og vi har fått en ny dividend.

Divisjon av tall, trinn 3

Så spør vi igjen hva vi får når vi dividerer første siffer i dividenden med første siffer i divisor. Jo, 6 : 3 = 2. Vi multipliserer divisor med to-tallet og stiller resultatet under dividenden. Her får vi 2 · 31 = 62. Deretter subtraherer vi dette tallet fra dividenden.

Divisjon av tall, trinn 4

Her står vi igjen med 0, noe som betyr at 372 : 31 = 12. Hvis vi står igjen med noe annet enn 0 til slutt, går ikke divisjonen opp, og vi får en rest.

På samme måte kan vi dividere polynomer. Metoden forutsetter at polynomet er ordnet etter synkende potenser.

Eksempel 1:

Vi skal bruke polynomdivisjon til å beregne (-x3 + 4x2 – x – 6) : (x – 2):

Divisjon av polynomer, trinn 1

Når vi dividerer første ledd i dividenden med første ledd i divisor, får vi –x3x = –x2. Vi multipliserer så divisor med –x2 og får –x2 · (x – 2) = –x3 + 2x2. Så stiller vi resultatet under dividenden og subtraherer.

Divisjon av polynomer, trinn 2

Så flytter vi ned de resterende leddene fra dividenden, og får en ny dividend.

Divisjon av polynomer, trinn 3

Så dividerer vi igjen første ledd i dividenden med første ledd i divisor, og får 2x2x = 2x. Vi multipliserer så divisor med 2x og får 2x · (x – 2) = 2x2 – 4x. Så stiller vi resultatet under dividenden, subtraherer, flytter de resterende leddene ned og får en ny dividend.

Divisjon av polynomer, trinn 4

Så gjentar vi operasjonen enda en gang. 3x : x = 3. Vi multipliserer divisor med 3 og får 3x – 6. Setter under dividenden og subtraherer. Resultatet blir 0. Divisjonen går altså opp.

Divisjon av polynomer, trinn 5

Oppgave 1:

Utfør polynomdivisjonen (x3 – 1) : ( x – 1).

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Det er naturligvis ikke alltid divisjonen går opp. Da får vi en rest. (x4 + 3x2 – 4) : (x2 + 2x) blir for eksempel
x2 – 2x + 7 med rest -14x – 4. Det vil si at

$\frac{\displaystyle x^4 + 3x^2 – 4}{\displaystyle x^2 + 2x} = x^2 – 2x + 7 – \frac{\displaystyle 14x + 4}{\displaystyle x^2 + 2x}$.

Oppgave 2:

Utfør polynomdivisjonen nevnt over, altså (x4 + 3x2 – 4) : (x2 + 2x).

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Kilder:

  • Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag