Polynomdivisjon

På barneskolen lærer vi å utføre divisjon av tall med flere sifre.

Et eksempel er vist under. Her skal $372$ deles på $31$.

Da spør vi hva vi får når vi dividerer første siffer i dividenden med første siffer i divisor. Jo, $3 : 3 = 1$. Så multipliserer vi divisor med ett-tallet og stiller resultatet under dividenden. Her får vi $1 \cdot 31 = 31$. Deretter subtraherer vi dette tallet fra dividenden.

Så flytter vi ned de resterende sifrene fra dividenden, og vi har fått en ny dividend.

Så spør vi igjen hva vi får når vi dividerer første siffer i dividenden med første siffer i divisor. Jo, $6 : 3 = 2$. Vi multipliserer divisor med to-tallet og stiller resultatet under dividenden. Her får vi $2 \cdot 31 = 62$. Deretter subtraherer vi dette tallet fra dividenden.

Her står vi igjen med $0$, noe som betyr at $372 : 31 = 12$. Hvis vi står igjen med noe annet enn $0$ til slutt, går ikke divisjonen opp, og vi får en rest.

På samme måte kan vi dividere polynomer. Metoden forutsetter at polynomet er ordnet etter synkende potenser.

Eksempel 1:

Vi skal bruke polynomdivisjon til å beregne $(-x^3 + 4x^2 – x – 6) : (x – 2)$:

Når vi dividerer første ledd i dividenden med første ledd i divisor, får vi $-x^3 : x = -x^2$. Vi multipliserer så divisor med $-x^2$ og får $-x^2 \cdot (x – 2) = -x^3 + 2x^2$. Så stiller vi resultatet under dividenden og subtraherer.

Så flytter vi ned de resterende leddene fra dividenden, og får en ny dividend.

Så dividerer vi igjen første ledd i dividenden med første ledd i divisor, og får $2x^2 : x = 2x$. Vi multipliserer så divisor med $2x$ og får $2x \cdot (x – 2) = 2x^2 – 4x$. Så stiller vi resultatet under dividenden, subtraherer, flytter de resterende leddene ned og får en ny dividend.

Så gjentar vi operasjonen enda en gang. $3x : x = 3$. Vi multipliserer divisor med $3$ og får $3x – 6$. Setter under dividenden og subtraherer. Resultatet blir $0$. Divisjonen går altså opp.

Oppgave 1:

Utfør polynomdivisjonen $(x^3 – 1) : ( x – 1)$.

Se film der  løsningen vises
 

Det er naturligvis ikke alltid divisjonen går opp. Da får vi en rest. $(x^4 + 3x^2 – 4) : (x^2 + 2x)$ blir for eksempel
$x^2 – 2x + 7$ med rest $-14x – 4$. Det vil si at

$\frac{\displaystyle x^4 + 3x^2 – 4}{\displaystyle x^2 + 2x} = x^2 – 2x + 7 – \frac{\displaystyle 14x + 4}{\displaystyle x^2 + 2x}$.

Oppgave 2:

Utfør polynomdivisjonen nevnt over, altså $(x^4 + 3x^2 – 4) : (x^2 + 2x)$.

Se film der løsningen vises
 

Kilder:

• Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag
• Wikipedia