Potensfunksjoner

En funksjon på formen f(x) = axb, der a og b er vilkårlige konstanter, kalles en potensfunksjon.

Eksempel 1:

Under vises grafene til fire potensfunksjoner med positive eksponenter. $f(x) = x^{\large \frac{1}{4}}$ i rødt, $f(x) = x^{\large \frac{1}{2}}$ i blått, $f(x) = x^2$ i grønt, $f(x) = x^4$ i oransje. Vi ser at alle grafene stiger mot høyre. Den røde og blå grafen, der 0 < b < 1 stiger langsommere jo større x blir, mens den grønne og oransje grafen, der 1 < b stiger raskere jo større x blir.

Grafene til et utvalg potensfunksjoner med positive eksponenter.

Vi ser at alle grafene går gjennom (1, 1) fordi f(1) = 1b = 1 for alle b.

Eksempel 2:

Under vises grafene til fire potensfunksjoner med negative eksponenter. $f(x) = x^{\large -\frac{1}{4}}$ i rødt, $f(x) = x^{-\large \frac{1}{2}}$ i blått, $f(x) = x^{-2}$ i grønt, $f(x) = x^{-4}$ i oransje. b har altså samme verdier som i eksempel 1, men med negativt fortegn.

Vi ser at alle grafene synker, samtlige langsommere jo større x blir.

Grafene til et utvalg potensfunksjoner med negative eksponenter.

I eksempel 1 og 2 lot vi for enkelhets skyld konstanten a i axb være 1. Hvis vi vil lar a være forskjellig fra 1, vil det være slik at grafene stiger / synker raskere jo større a er. Dersom a < 0, vil grafene bli speilet om x-aksen. Alle grafene vil gå gjennom (1, a).

Hvis b i potensfunksjonen f(x) = axb er et heltall, er funksjonen også en rasjonal funksjon. Dersom b ≥ 0 , er den i tillegg en polynomfunksjon.

Definisjonsmengden til en potensfunksjon er avhengig av hvilken type tall b er. Som nevnt er potensfunksjonen en polynomfunksjon dersom b er et ikke-negativt heltall, og definisjonsmengden er da følgelig hele $\mathbb R$. Dersom b er et negativt heltall, er potensfunksjonen en rasjonal funksjon med xb i nevneren, og definisjonsmengden er $\mathbb R \backslash \{0\}$.

Dersom b er en brøk eller et irrasjonalt tall, er det hele mer komplisert, og vi går ikke i detalj. Men et hint om hvorfor det er slik er at å opphøye x i en brøk, $\large \frac{1}{n}$, tilsvarer å ta n-te rota av x, slik det er beskrevet i algebra-artikkelen om brøk. Dersom n er et partall, kan vi ikke ta rota av en negativ x, men vi kan gjøre det hvis n er et oddetall.

Kilder

  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget