Innhold
Produktregelen for uavhengige hendelser
I artikkelen om addisjonsregelen lærer vi å regne ut sannsynligheter for en union av to hendelser, det vi si sannsynligheten for at den ene eller den andre eller begge hendelsene skal inntreffe.
Nå skal vi se hvordan vi regner ut sannsynligheter for et snitt av to hendelser, det vi si sannsynligheten for at begge hendelsene inntreffer. Dette er ganske enkelt, forutsatt at hendelsene er uavhengige. Vi multipliserer bare enkeltsannsynlighetene. Dette ifølge produktregelen for uavhengige hendelser:
$\fbox{Produktregelen for uavhengige hendelser: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$}$
Eksempel 1:
Vi skal finne sannsynligheten for å få to seksere når vi kaster to terninger. Denne hendelsen er sammensatt av hendelsene «seks på første terning» og «seks på andre terning», hver med en sannsynlighet på ${\large \frac{1}{6}}$. Produktregelen sier da at sannsynligheten for at begge hendelsene inntreffer er ${\large \frac{1}{6}} \cdot {\large \frac{1}{6}} = {\large \frac{1}{36}}$.
Dette er det samme som vi vil få hvis vi bruker «gunstige på mulige». Det finnes totalt 36 enkeltutfall, nemlig 1-1, 1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6, 2-1, 2-2, og så videre opp til 6-6. Men bare ett av disse er gunstig, nemlig 6-6. Så gunstige på mulige gir at sannsynligheten blir ${\large \frac{1}{36}}$.
Denne regelen kan utvides til et vilkårlig antall hendelser. For tre uavhengige hendelser vil vi ha at P(A ∩ B ∩ C) = P(A) · P(B) · P(C), og slik kan vi utvide med så mange uavhengige hendelser vi vil. Sannsynligheten for et snitt av uavhengige hendelser er lik produktet av sannsynlighetene for hver av hendelsene som inngår.
Eksempel 2:
Vi kjøper lodd i tre uavhengige lotterier, der vinnersannsynlighetene er henholdsvis ${\large \frac{1}{100}}$, ${\large \frac{1}{50}}$ og ${\large \frac{1}{75}}$, og skal finne ut hva sannsynligheten for å vinne på alle tre loddene er. Da bruker vi produktregelen, og får at sannsynligheten er ${\large \frac{1}{100}} \cdot {\large \frac{1}{50}} \cdot {\large \frac{1}{75}} = {\large \frac{1}{375 \, 000}}$.
I hestespillet V5 er det om å gjøre å tippe riktig vinner i 5 travløp. Du spiller V5 en gang det er 12 hester med i første løp, 10 i andre, 14 i tredje, 9 i fjerde og 12 i femte. Alle løpene er uavhengige av hverandre og du velger hester helt tilfeldig. Hva er sannsynligheten for å vinne?
Avhengigheter
Utregningene våre har forutsatt at hendelsene vi kombinerer, er uavhengige, altså at det ikke er noen som helst sammenheng mellom dem. Hvis hendelsene er avhengige, blir situasjonen mer komplisert.
Eksempel 3:
Vi trekker to kort fra en kortstokk og lurer på hva sannsynligheten for å få to ess er. Sannsynligheten for å få ett ess er ${\large \frac{4}{52}} = {\large \frac{1}{13}}$, siden 4 av i alt 52 kort er ess. Men sannsynligheten for å få to ess blir ikke ${\large \frac{1}{13}} \cdot {\large \frac{1}{13}} = {\large \frac{1}{169}} \approx 0{,}59\%$. For dette er ikke uavhengige hendelser. Sannsynligheten for å få ess når vi trekker andre kort, avhenger av om vi fikk ess da vi trakk første kort. Hvis første kort ble ess, er det 3 av 51 kort som er ess tilbake i stokken, og sannsynligheten for to ess er ${\large \frac{1}{13}} \cdot {\large \frac{3}{51}} = {\large \frac{1}{221}} \approx 0{,}45\%$. En annen måte å beregne dette på er å dividere antall måter vi kan kombinere to ess på (6), med antall måter vi kan kombinere to vilkårlige kort på (1326), en metode vi ser på i kombinatorikk-artikkelen om kombinasjoner og sannsynligheter.
For å ta den helt ut, hvis sannsynligheten for å trekke et ess ikke avhang av hva vi fikk forrige gang, men var konstant lik ${\large \frac{1}{13}}$, ville sannsynligheten for å få fem ess når vi trakk fem kort være ${\large \frac{1}{13^{\Large 5}}} \approx 2{,}7 \cdot 10^{-6}$. Ikke mye, men større enn 0, så ifølge denne beregningen ville det faktisk være mulig å trekke flere ess enn det er i kortstokken.
Uavhengige og avhengige hendelser
Vi vet at det i en by er 60 % sannsynlig at det blir sol en vilkårlig dag i juli.
Så skal vi regne ut sannsynligheten for at det blir sol i byen både 15. juli neste år og 15. juli året etter det igjen.
Det er ingen grunn til å tro at det skal være noen avhengighet mellom to dager så langt fra hverandre, så vi kan bruke produktregelen for uavhengige hendelser:
$\fbox{Produktregelen for uavhengige hendelser: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$}$
Sannsynligheten for at det blir sol i byen begge de to dagene er altså 0,6 · 0,6 = 0,36, det vil si 36 %.
Men så sier vi videre at vi vet at det i den samme byen er 80 % sannsynlig at det etter en dag med sol kommer en ny dag med sol. Og så skal vi regne ut sannsynligheten for at det blir sol både 15. og 16. juli neste år.
Disse hendelsene er ikke uavhengige, vi vet at sannsynligheten for sol en vilkårlig dag generelt er 60 %, men 80 % hvis det var sol dagen før. Vi kan derfor ikke bruke produktregelen for uavhengige hendelser. I stedet bruker vi den generelle produktregelen.
Den generelle produktregelen
Den generelle produktregelen tar høyde for at hendelser kan være avhengige av hverandre.
$\fbox{Den generelle produktregelen: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$}$
B|A leses «B, gitt A», og P(B|A) er sannsynligheten for at hendelse B inntreffer, gitt at hendelse A har inntruffet. Den generelle produktsetningen sier altså at hvis hendelse B er avhengig av hendelse A, er sannsynligheten for at hendelse A og B begge inntreffer, lik sannsynligheten for A multiplisert med sannsynligheten for B, gitt at A har inntruffet.
Dersom hendelsene A og B faktisk er uavhengige, er P(B|A) = P(B), og den generelle produktregelen blir lik produktregelen for uavhengige hendelser.
Lar vi hendelse A bety «sol 15. juli» og hendelse B bety «sol 16. juli», vet vi at P(A) er 60 % og P(B|A) er 80 %.
Sannsynligheten for at det blir sol både 15. og 16. juli neste år, blir altså, ifølge den generelle produktregelen, 0,6 · 0,8 = 0,48, det vil si 48 %.
En eksamen består av en teoretisk og en praktisk prøve. I snitt klarer 70 % den teoretiske prøven, og 80 % av de som klarer den teoretiske prøven, klarer den praktiske prøven. Beregn sannsynligheten for å klare både den teoretiske og den praktiske prøven.
Så et eksempel der vi ser på bruk av produktregelen når vi trekker kuler fra ei eske, med og uten tilbakelegging:
Eksempel 4:
Ei eske inneholder 10 kuler, hvorav 6 er hvite og 4 svarte, og vi skal finne sannsynligheten for å først få ei hvit kule, deretter ei svart, når vi trekker ei kule, legger tilbake, og så trekker en gang til.
Vi kaller sannsynligheten for å trekke ei hvit kule for P(H), og sannsynligheten for å trekke ei svart for P(S).
Siden 6 av totalt 10 kuler er hvite, alle med lik sannsynlighet for å bli trukket, får vi
$P(H) = {\large \frac{6}{10}} = {\large\frac{3}{5}}$.
Tilsvarende for svart:
$P(S) = {\large \frac{4}{10}} = {\large\frac{2}{5}}$.
Disse hendelsene er uavhengige, så vi bruker produktregelen for uavhengige hendelser for å finne sannsynligheten for å først trekke hvit, så svart:
$P(H \cap S) = P(H) \cdot P(S) = {\large\frac{3}{5}} \cdot {\large\frac{2}{5}} = {\large\frac{6}{25}} = 24 \%$.
Men så lar vi være å legge den første kula tilbake, og spør hva sannsynligheten da er for å først få ei hvit kule, deretter ei svart. Nå er de to trekningene ikke lenger uavhengige, for sannsynligheten for å få ei svart kule i andre trekning avhenger av hva vi fikk i første trekning. Har vi fått hvit kule i første trekning, er det fremdeles 4 svarte tilbake, men nå er det bare 9 å velge blant, så vi får
$P(S|H) = {\large \frac{4}{9}}$.
Så bruker vi den generelle produktregelen for å finne sannsynligheten for å først trekke hvit, så svart:
$P(H \cap S) = P(H) \cdot P(S|H) = {\large\frac{3}{5}} \cdot {\large\frac{4}{9}} = {\large\frac{4}{15}} \approx 27 \%$.
Varianten uten tilbakelegging er naturlig nok litt mer sannsynlig enn varianten med tilbakelegging fordi det i andre trekning da er en større andel svarte kuler.
Vil vi beregne sannsynligheten for det motsatte, først svart kule, så hvit uten tilbakelegging, får vi
$P(S) = {\large \frac{4}{10}} = {\large\frac{2}{5}}$
$P(H|S) = {\large \frac{6}{9}}$
$P(S \cap H) = P(S) \cdot P(H|S) = {\large\frac{2}{5}} \cdot {\large\frac{6}{9}} = {\large\frac{4}{15}}$.
Sannsynligheten er altså den samme, uavhengig av hvilken rekkefølge vi trekker kulene i. Det er logisk, for i produktregelen P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A) kan vi jo fritt velge om A skal representere «hvit» og B «svart», eller omvendt.
Til sammen gir disse to tilfellene sannsynligheten for å få ei svart og ei hvit kule når vi trekker to ganger uten tilbakelegging, ${\large\frac{4}{15}} + {\large\frac{4}{15}} = {\large\frac{8}{15}}$.
Vi har 7 kuler av ulik farge i en pose, deriblant 1 rød, og skal beregne sannsynligheten for å få den røde hvis vi trekker 3 kuler.
Vi kan tenke oss at vi stikker hånda i posen og trekker opp 3 kuler samtidig. Hver kule har en sannsynlighet på ${\large \frac{1}{7}}$ for å være rød, så totalt er det en sannsynlighet på ${\large \frac{3}{7}} \approx 43 \, \%$ for at vi har fått den røde.
Men vi kan også tenke oss at vi trekker ei kule av gangen, og resonnerer slik: Ved første trekning er 1 av 7 kuler røde, så sannsynligheten for å få den røde er da ${\large \frac{1}{7}}$. Hvis vi ikke får den røde kula i første trekning, er 1 av 6 gjenværende kuler røde, så sannsynligheten for å få den røde i andre trekning er ${\large \frac{1}{6}}$. Hvis vi fremdeles ikke har fått den røde kula, er 1 av 5 gjenværende røde kuler røde så sannsynligheten for å få den røde i tredje trekning er ${\large \frac{1}{5}}$.
Vi kan bare få den røde kula i én av trekningene, så disse utfallene kan ikke inntreffe samtidig. Vi kan derfor beregne den totale sannsynligheten ved å bruke addisjonsregelen for disjunkte utfall.
Og den totale sannsynligheten blir ${\large \frac{1}{7}} + {\large \frac{1}{6}} + {\large \frac{1}{5}} = {\large \frac{107}{210}} \approx 51 \, \%$.
Vi får altså forskjellig svar avhengig av hvordan vi betrakter situasjonen. Kan dette være riktig? Hvis ikke, hva er problemet, og hvordan er korrekt utregning?
Test for uavhengighet
Produktregelen for uavhengige hendelser sier altså at hvis to hendelser er uavhengige, er sannsynligheten for at begge skal inntreffe, lik sannsynligheten for den ene hendelsen multiplisert med sannsynligheten for den andre, P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
Denne regelen kan vi snu på, og si at to hendelser er uavhengige hvis sannsynligheten for at begge skal inntreffe, er lik sannsynligheten for den ene hendelsen multiplisert med sannsynligheten for den andre.
Eksempel 5:
Vi trekker et kort tilfeldig fra en full kortstokk. Vi lar hendelse A være at vi får ess, hendelse B at vi får spar. Så skal vi avgjøre om disse hendelsene er uavhengige.
Av 52 kort er 13 spar, 4 er ess, og 1 er både spar og ess, så «gunstige på mulige» gir
$P(A) = {\large \frac{13}{52}} = {\large \frac{1}{4}}$
$P(B) = {\large \frac{4}{52}} = {\large \frac{1}{13}}$
$P(A \cap B) = {\large \frac{1}{52}}$.
Siden $P(A) \cdot P(B) = {\large \frac{1}{4}} \cdot {\large \frac{1}{13}} = {\large \frac{1}{52}} = P(A \cap B)$, er hendelsene uavhengige.
Disjunkte hendelser og uavhengige hendelser
I artikkelen om addisjonsregelen sier vi at hendelser er disjunkte hvis de ikke kan inntreffe samtidig. Dette må ikke forveksles med at hendelser er uavhengige. Allikevel er det en sammenheng mellom de to begrepene. Hvis to hendelser, A og B, er disjunkte, har vi at P(A ∩ B) = 0. Og hvis A og B er uavhengige, har vi at P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Det betyr at hvis to disjunkte hendelser er uavhengige, har vi at P(A) · P(B) = 0, noe som betyr at minst en av de to sannsynlighetene må være 0. Uavhengige hendelser som ikke har sannsynlighet 0, kan altså ikke være disjunkte.
Kilder
-
- Hinna, K.R.C., Rinvold, R.A., Gustavsen, TS. (2011). QED 5-10, bind 1. Høyskoleforlaget
- Ubøe, J. (2011). Statistikk for økonomifag. Gyldendal akademisk
- Hagen, Per C. (2000). Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk. Cappelen akademisk