Rasjonale funksjoner

Hvis vi summerer, subtraherer eller multipliserer to polynomfunksjoner, blir resultatet også en polynomfunksjon. Men dersom vi dividerer to polynomfunksjoner, $p(x)$ og $q(x)$, får vi en ny type funksjon, en rasjonal funksjon:

$f(x) = \frac{\displaystyle p(x)}{\displaystyle q(x)}$

En rasjonal funksjon er en brøk med polynomfunksjoner i teller og nevner.

Eksempel 1:

$f(x) = \frac{\displaystyle 3x^2 + x – 3}{\displaystyle x^3  -4x + 2}$ er en rasjonal funksjon med et andregradspolynom i telleren og et tredjegradspolynom i nevneren.

$f(x) = \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle x + 2}$ er en rasjonal funksjon. Telleren er en konstant, men en konstant kan betraktes som et polynom av grad 0. Nevneren er et førstegradspolynom.

$f(x) = \frac{\displaystyle \sin x}{\displaystyle x }$ er ikke en rasjonal funksjon. Telleren er ikke et polynom.

Grafene til noen rasjonale funksjoner er vist under:

Grafen til den rasjonale funksjonen 1 / (2x + 1) Grafen til den rasjonale funksjonen 4 / (x^2 - 1)
Grafen til den rasjonale funksjonen 4 / (x^2 + 1) Grafen til den rasjonale funksjonen (2x + 1) / (x^2 - 1)

Vi ser at grafene har helt andre former enn grafene til polynomfunksjoner. Vi ser også at vi i mange tilfeller har brudd i grafene, disse oppstår for x-verdier som gjør at nevneren blir lik 0. Disse verdiene er ikke med i den rasjonale funksjonens definisjonsmengde. Definisjonsmengden er altså hele $\mathbb R$, unntatt verdier som gjør nevneren lik 0. Verdimengden vil variere fra funksjon til funksjon.

Dårlige kalkulatorer og dataprogrammer tegner gjerne en strek mellom punktene der grafen forsvinner ut av syne vertikalt, men det er feil. Kurvedelene er helt atskilte.

Det finnes lærebøker som hevder at nevneren i en rasjonal funksjon ikke kan være en konstant, men det er ikke riktig, for en konstant er en polynomfunksjon av grad 0. En rasjonal funksjon med en konstant i nevneren er samtidig en polynomfunksjon, for eksempel $\frac{\displaystyle 4x^2 + 2x}{\displaystyle 2} = 2x^2 + x $.

Kilder

  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Wikipedia