Regneregler i algebra

For alle reelle og komplekse tall gjelder den kommutative lov, assosiative lov og distributive lov.

Når vi i det følgende sier «elementer» i stedet for «tall», er det fordi lovene også gjelder for symboler som representerer tall.

Kommutative lov

Å kommutere betyr å bytte om.

Den kommutative lov for addisjon sier at hvis vi skal addere to elementer, spiller addendenes rekkefølge ingen rolle, vi kan gjerne bytte dem om.

$\fbox{$a + b = b + a$}$

Dette er illustrert med to reelle tall i figuren under. Her ser vi at linja med a lagt før b er like lang som linja med b lagt før a.

Tilsvarende gjelder for multiplikasjon. Skal vi multiplisere to elementer, spiller faktorenes rekkefølge ingen rolle, vi kan gjerne bytte dem om.

$\fbox{$ab = ba$}$

Dette er illustrert med to reelle tall i figuren under. Her ser vi at rektangelet med a som grunnlinje og b som høyde har samme areal som rektangelet med b som grunnlinje og a som høyde. Det er bare rotert 90 grader.

Den kommutative lov gjelder ikke for subtraksjon eller divisjon.

Assosiative lov

Å assosiere betyr å forene eller ledsage.

Den assosiative lov for addisjon sier at hvis vi skal addere tre elementer, spiller det ingen rolle hvilke to vi adderer først, rekkefølgen vi assosierer elementene i, er likegyldig.

$\fbox{$a + (b + c) = (a + b) + c$}$

Dette er illustrert med reelle tall i figuren under. Her ser vi at linja med a + b lagt før c er like lang som linja med a lagt før b + c.

Tilsvarende gjelder for multiplikasjon. Skal vi multiplisere tre elementer, spiller det ingen rolle hvilke to vi multipliserer først.

$\fbox{$a(bc) = (ab)c$}$

Dette blir tredimensjonale figurer som best illustreres med klosser.

Den assosiative lov gjelder ikke for subtraksjon eller divisjon.

Distributive lov

Å distribuere betyr å fordele.

Den distributive lov sier at hvis vi skal multiplisere et element med to addender, kan vi først multiplisere med hver av addendene og deretter addere produktene. Vi distribuerer altså elementet til addendene.

$\fbox{$a(b + c) = ab + ac$}$

Dette er illustrert med reelle tall i figuren under, der vi ser at rektangelet med a som grunnlinje og b + c som høyde er satt sammen av ett rektangel med a som grunnlinje og b som høyde, og ett med a som grunnlinje og c som høyde.

Den distributive lov gjelder også for subtraksjon.

Har vi flere ledd inni parentesen, multipliserer vi faktoren foran parentesen med hvert av leddene.

Eksempel 1:

Vi skal regne ut 2(6xy − 2x + 4).

Vi multipliserer 2 med hvert ledd og får 12xy − 4x + 8.

Eksempel 2:

Vi skal regne ut 2x(3y + z − 4).

Vi multipliserer 2x med hvert ledd og får 6xy + 2xz − 8x.

Oppgave 1:

Multipliser ut parentesene og trekk uttrykket sammen så langt det er mulig: 6x(2y + 3z − 1 + y).

Se løsningsforslag

Negative faktorer

Produktet av en negativ og en positiv faktor er negativt. Produktet av to negative faktorer er positivt.

$\fbox{$(−a)b = a(−b) = −(ab) = −ab$}$

$\fbox{$(−a)(−b) = ab$}$

Eksempel 3:

Vi multipliserer −2x og 3y, og får −6xy:
−2x · 3y = −6xy

Vi multipliserer 2x og −3y, og får −6xy:
2x · −3y = −6xy
Det er imidlertid en konvensjon at en ikke lar to operatorer «støte sammen», slik som · og − her. Vi setter derfor en parentes rundt den negative faktoren:
2x · (−3y) = −6xy
Vi kan også skrive uttrykket uten multiplikasjonstegn:
2x(−3y) = −6xy

Vi multipliserer −2x og −3y, og får 6xy:
−2x(−3y) = 6xy

Oppgave 2:

Multipliser ut parentesene og trekk uttrykket sammen så langt det er mulig: −3x(2y + 3z − 1 − y).

Se løsningsforslag

Identitetselement

Et identitetselement (nøytralt element) er et element som ikke medfører noen endring når det kombineres med et annet element. Identitetselementet for addisjon er 0, det vil si at for et vilkårlig element, a, er a + 0 = a. For multiplikasjon er identitetselementet 1, det vil si at for et vilkårlig element, a, er a · 1 = a.

Invers

En invers (resiprok) til et element, a, er det elementet som kombinert med a gir identitetselementet. For addisjon er inversen –a, altså er a + (–a) = 0. For multiplikasjon er inversen a^(–1), altså er aa^(–1) = 1. a^(–1) kan også skrives som ${\large \frac{1}{a}}$, altså er $a \cdot {\large \frac{1}{a}} = 1$. Vi forutsetter da at a ≠ 0.

Kilder

• • Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag
  • Birkeland, P.A., Breiteig, T. & Venheim, R. (2011). Matematikk for lærere 1
  • Stewart, I. & Tall, D. (1993). Complex Analysis. Cambridge University Press
  • Store norske leksikon