Røtter

Kvadratrota av et tall, $a$, er det positive tallet som multiplisert med seg selv gir $a$. For eksempel er kvadratrota av 4 lik 2 fordi $2 \cdot 2 = 4$. Kvadratrot skrives med symbolet $\sqrt{\phantom 1}$. Tallet vi skal trekke ut rota av, plasseres under symbolet. Kvadratrota av $4$ skrives for eksempel slik: $\sqrt 4$.

Tredjerota av et tall, $a$, er lik det tallet som multiplisert med seg selv tre ganger gir $a$. For eksempel er tredjerota av 8 lik 2 fordi $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. Tredjerot skrives med symbolet $\sqrt[\Large 3]{\phantom 1}$, der det er tretallet over selve rot-symbolet viser at det dreier seg om en tredjerot. Tredjerota av 8 skrives for eksempel som $\sqrt[\Large 3]8$.

Generelt snakker vi om n-te rota av et tall, $a$, som det tallet som multiplisert med seg selv n ganger gir $a$. n-te rot skrives ved å sette en n over selve rotsymbolet: $\sqrt[\Large n]{\phantom a}$.

I eksemplene over fikk vi hele tall når vi trakk ut røtter, det vil ofte ikke være tilfelle. For eksempel er $\sqrt 2 \approx 1{,}4142$.

Å trekke ut røtter er ofte vanskelig å gjøre for hånd, vi må benytte en kalkulator eller et dataprogram.

Regneregler

Når vi skal trekke ut rota av et produkt, kan vi gjøre dette ved å multiplisere røttene av faktorene:

$\fbox{$\sqrt[\Large n]{ab} = \sqrt[\Large n] a \cdot \sqrt[\Large n] b$}$

Tilsvarende kan vi trekke ut rota av en kvotient ved å dividere rota av dividend med rota av divisor:

$\fbox{${\sqrt[\Large n]\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b}} = \frac{\displaystyle \sqrt[\Large n]a}{\displaystyle \sqrt[\Large n]b}$}$

Tilsvarende regel for sum og differanse finnes imidlertid ikke:

$\sqrt[\Large n]{a + b} \ne \sqrt[\Large n] a + \sqrt[\Large n] b \;\;$ og $\;\;\sqrt[\Large n]{a – b} \ne \sqrt[\Large n] a \, – \sqrt[\Large n] b$

For eksempel er $\sqrt{1 + 4} = \sqrt 5 \approx 2{,}24$ ikke det samme som $\sqrt 1 + \sqrt 4 = 1 + 2 = 3$.

Når vi skal forenkle uttrykk med røtter, bruker vi disse reglene. Vi trekker også ut røtter som gir hele verdier, for eksempel $\sqrt 9 = 3$ og $\sqrt{x^2} = x$. Røtter som ikke gir hele verdier, lar vi stå på rot-form, for eksempel $\sqrt 7$ og $\sqrt{x^3}$.

Eksempel 1:

Vi skal forenkle $\frac{\displaystyle \sqrt[\Large 3]{16}}{\displaystyle \sqrt[\Large 3]2}$ mest mulig.

Vi bruker regelen om rota av en kvotient baklengs:

$\frac{\displaystyle \sqrt[\Large 3]{16}}{\displaystyle \sqrt[\Large 3]2} = \sqrt[\Large 3]\frac{\displaystyle 16}{\displaystyle 2} = \sqrt[\Large 3]8 = 2$.

Vi forenkler også gjerne ved å skille ut røtter av faktorer som gir hele verdier, hvis mulig.

Eksempel 2:

$\sqrt[\Large 3]{16}$ blir ikke et helt tall. Men vi kan forenkle ved å trekke ut faktoren 8:

$\sqrt[\Large 3]{16} = \sqrt[\Large 3]{8 \cdot 2} = \sqrt[\Large 3]{8} \cdot \sqrt[\Large 3]{2} = 2\sqrt[\Large 3]{2}$

Eksempel 3:

Vi skal forenkle $\sqrt 8 + \sqrt 2$ mest mulig.

Vi gjør ikke den feilen å si at dette er det samme som $\sqrt{8 + 2} = \sqrt{10}$. For summen av to røtter er ikke det samme som rota av summen. Derimot kan vi skille ut faktoren 4 fra 8, trekke ut rota, og så slå sammen like ledd:

$\sqrt 8 + \sqrt 2 = \sqrt{4 \cdot 2} + \sqrt 2 = \sqrt 4 \cdot \sqrt 2 + \sqrt 2 = 2 \sqrt 2 + \sqrt 2 = 3 \sqrt 2$.

Oppgave 1:

Forenkle $\sqrt[\Large 3]{x^4} \cdot \sqrt[\Large 3]{x^{\phantom 1}}$ mest mulig.

Se løsningsforslag

Rotuttrykk på potensform

Ethvert rotuttrykk kan skrives som en potens, basert på regelen

$\fbox{$\sqrt[\Large n]a^{\phantom 1} = (a)^{\Large \frac{1}{n}}$}$.

Å trekke ut n-te rot er altså det samme som å opphøye i ${\large \frac{1}{n}}$.

Denne regelen er nyttig når vi skal forenkle uttrykk med forskjellige røtter, for eksempel en sjetterot og en tredjerot, slik det er vist i eksempel 4.

Eksempel 4:

Vi skal forenkle $\sqrt[\Large 6]{x^2} \cdot \sqrt[\Large 3]{x^\phantom 1}$ mest mulig:

Vi skriver først om røttene til potenser, så bruker vi vanlige regneregler for å forenkle potensene, og til slutt gjør vi potensen om til rot igjen:

$\sqrt[\Large 6]{x^2} \cdot \sqrt[\Large 3]{x^\phantom 1} = {(x^2)}^{\Large \frac{1}{6}} \cdot x^{\Large \frac{1}{3}} = x^{\Large \frac{2}{6}} \cdot x^{\Large \frac{1}{3}} = x^{\Large ( \frac{2}{6} + \frac{1}{3})} = x^{\Large \frac{2}{3}} = \sqrt[\Large 3]{x^2}$

Det er ikke nødvendig å gå veien om potenser, i eksempel 4 kunne vi for eksempel ha regnet slik:

$\sqrt[\Large 6]{x^2} \cdot \sqrt[\Large 3]{x^\phantom 1} = \sqrt[\Large 6]{x^2} \cdot \sqrt[\Large 6]{x^2} = \sqrt[\Large 6]{x^2 \cdot x^2} = \sqrt[\Large 6]{x^4} = \sqrt[\Large 3]{x^2}$

Men å gå veien om potenser kan gjøre utregningen enklere.

Oppgave 2:

Forenkle $\frac{\displaystyle \sqrt{a^\phantom 1} \cdot \sqrt[\Large 4]{a^3} \cdot a}{\displaystyle \sqrt[\Large 8]{a^5} }$ mest mulig mest mulig ved å gå veien om potenser.

Se løsningsforslag

Kilder:

  • Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag
  • Wikipedia