Kvadratrøtter
En kvadratrot av et tall, a, er et tall som multiplisert med seg selv gir a. For eksempel er 2 en kvadratrot av 4, fordi 2 · 2 = 4.
Å beregne verdien til en rot av et tall kalles ofte å trekke ut rota av tallet.
Kvadratrot skrives med symbolet $\sqrt{\phantom 1}$. Tallet vi skal trekke ut kvadratrota av, plasseres under symbolet. Kvadratrota av 4 skrives for eksempel slik: $\sqrt{4}$.
Alle positive tall har imidlertid to kvadratrøtter, der den ene er et positivt tall og den andre et negativt. For eksempel er −2 en kvadratrot av 4 fordi −2 · (−2) = 4.
For å angi den negative rota, setter vi et minustegn foran rotsymbolet, $−\sqrt{\phantom 1}$. For å angi begge røttene samtidig, setter vi et pluss/minus-symbol foran rottegnet, $\pm \sqrt{\phantom 1}$. Når vi i dagligtale sier «rota av», er det underforstått at vi mener den positive kvadratrota.
Negative tall har ikke kvadratrøtter fordi det ikke finnes tall som multiplisert med seg selv gir et negativt tall. Mer presist sagt, vil det ikke finnes kvadratrøtter blant de reelle tallene. Utvider vi tallsystemet til å omfatte komplekse tall, vil negative tall ha to komplekse kvadratrøtter. Kalkulatorer og dataprogrammer som ikke håndterer komplekse tall, gir en feilmelding hvis vi prøver å trekke ut kvadratrota av et negativt tall.
Kubikkrøtter
En kubikkrot av et tall, a, er et tall som multiplisert med seg selv tre ganger gir a. For eksempel er 2 en kubikkrot av 8, fordi 2 · 2 · 2 = 8.
Kubikkrot kalles også gjerne tredjerot, og skrives med symbolet $\sqrt[\Large 3]{\phantom 1}$, der det er tretallet over selve rot-symbolet viser at det dreier seg om en tredjerot. Tredjerota av 8 skrives for eksempel som $\sqrt[\Large 3]{8}$.
Både positive og negative tall har én kubikkrot. Kubikkrota av et positivt tall er et positivt tall, og kubikkrota av et negativt tall er et negativt tall. For eksempel er $\sqrt[\Large 3]{125} = 5$ fordi 5 · 5 · 5 = 125, og $\sqrt[\Large 3]{−125} = −5$ fordi −5 · (−5) · (−5) = −125. Igjen snakker vi om reelle tall, utvider vi tallsystemet til å omfatte komplekse tall, vil både positive og negative tall ha to komplekse kubikkrøtter.
n-te-røtter
Generelt snakker vi om en n-te-rot av et tall, a, som et tall som multiplisert med seg selv n ganger gir a. For eksempel er 3 en femterot av 243 fordi 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243. n-te-rot skrives ved å plassere tallet som n representerer, over selve rotsymbolet, for eksempel slik for femterot: $\sqrt[\Large 5]{\phantom a}$.
Som vi har sett, sløyfer vi imidlertid som regel 2-tallet hvis det dreier seg om kvadratrot, og skriver $\sqrt{\phantom 1}$ i stedet for $\sqrt[\Large 2]{\phantom a}$.
Hvis n er et partall, finnes det to n-te-røtter av positive tall, som vil være ett positivt og ett negativt tall. Men det finnes ingen n-te-røtter av negative tall hvis n er et partall.
Hvis n er et oddetall, finnes det én n-te-rot av både positive og negative tall. n-te-rota av et positivt tall er da et positivt tall, og n-te-rota av et negativt tall er et negativt tall.
Utvider vi tallsystemet til å omfatte komplekse tall, vil imidlertid alle tall unntatt 0 ha nøyaktig n n-te-røtter.
Tallet 0 har bare én n-te-rot, $\sqrt[\Large n]{0} = 0$, uavhengig av n.
I eksemplene vi har brukt, har vi fått hele tall når vi har trukket ut røtter, men ofte vil dette ikke være tilfelle. For eksempel er $\sqrt 2 \approx 1{,}4142$.
Å trekke ut røtter er ofte vanskelig å gjøre for hånd, og vi benytter gjerne en kalkulator eller et dataprogram. I Excel kan vi trekke ut kvadratrøtter med funksjonen rot, for eksempel gir =rot(4) svaret 2. I GeoGebra bruker vi kommandoen sqrt. Skriver vi for eksempel sqrt(4) i inntastingsfeltet, svarer GeoGebra med 2 i algebrafeltet.
Excel har ikke noen funksjon for å trekke ut andre røtter enn kvadratrøtter. For å få til dette må vi benytte at å trekke ut n-te-rot er det samme som å opphøye i ${\large \frac{1}{n}}$, slik det er beskrevet i et senere avsnitt. I GeoGebra kan vi trekke ut n-te-røtter med kommandoen nrot eller nroot. Da må vi først oppgi hva vi skal trekke ut rota av, deretter hvilken rot vi skal trekke ut. For eksempel betyr nrot(8, 3) tredjerota av 8, mens nrot(3, 8) betyr åttenderota av 3.
Regneregler for røtter
Når vi skal trekke ut rota av et produkt, kan vi gjøre dette ved å multiplisere røttene av faktorene:
$\fbox{$\sqrt[\Large n]{ab} = \sqrt[\Large n] a \cdot \sqrt[\Large n] b$}$
Tilsvarende kan vi trekke ut rota av en kvotient ved å dividere rota av dividend med rota av divisor:
$\fbox{${\sqrt[\Large n]\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b}} = \frac{\displaystyle \sqrt[\Large n]a}{\displaystyle \sqrt[\Large n]b}$}$
Tilsvarende regel for sum og differanse finnes imidlertid ikke:
$\sqrt[\Large n]{a + b} \ne \sqrt[\Large n] a + \sqrt[\Large n] b \;\;$ og $\;\;\sqrt[\Large n]{a − b} \ne \sqrt[\Large n] a \, − \sqrt[\Large n] b$
For eksempel er $\sqrt{1 + 4} = \sqrt 5 \approx 2{,}24$ ikke det samme som $\sqrt 1 + \sqrt 4 = 1 + 2 = 3$.
Når vi skal forenkle uttrykk med røtter, bruker vi disse reglene. Vi trekker også ut røtter som gir hele verdier, for eksempel $\sqrt 9 = 3$ og $\sqrt{x^2} = x$. Røtter som ikke gir hele verdier, lar vi stå på rot-form, for eksempel $\sqrt 7$ og $\sqrt{x^3}$.
Eksempel 1:
Vi skal forenkle $\frac{\displaystyle \sqrt[\Large 3]{16}}{\displaystyle \sqrt[\Large 3]2}$ mest mulig.
Vi bruker regelen om rota av en kvotient baklengs:
$\frac{\displaystyle \sqrt[\Large 3]{16}}{\displaystyle \sqrt[\Large 3]2} = \sqrt[\Large 3]\frac{\displaystyle 16}{\displaystyle 2} = \sqrt[\Large 3]8 = 2$.
Vi forenkler også gjerne ved å skille ut røtter av faktorer som gir hele verdier, hvis mulig.
Eksempel 2:
$\sqrt[\Large 3]{16}$ blir ikke et helt tall. Men vi kan forenkle ved å trekke ut faktoren 8:
$\sqrt[\Large 3]{16} = \sqrt[\Large 3]{8 \cdot 2} = \sqrt[\Large 3]{8} \cdot \sqrt[\Large 3]{2} = 2\sqrt[\Large 3]{2}$
Eksempel 3:
Vi skal forenkle $\sqrt 8 + \sqrt 2$ mest mulig.
Vi gjør ikke den feilen å si at dette er det samme som $\sqrt{8 + 2} = \sqrt{10}$. For summen av to røtter er ikke det samme som rota av summen. Derimot kan vi skille ut faktoren 4 fra 8, trekke ut rota, og så slå sammen like ledd:
$\sqrt 8 + \sqrt 2 = \sqrt{4 \cdot 2} + \sqrt 2 = \sqrt 4 \cdot \sqrt 2 + \sqrt 2 = 2 \sqrt 2 + \sqrt 2 = 3 \sqrt 2$.
Forenkle $\sqrt[\Large 4]{8} \cdot \sqrt[\Large 4]{2}$ mest mulig.
Rotuttrykk på potensform
Ethvert rotuttrykk kan skrives som en potens, basert på regelen
$\fbox{$\sqrt[\Large n]a^{\phantom 1} = (a)^{\Large \frac{1}{n}}$}$.
Å trekke ut n-te rot er altså det samme som å opphøye i ${\large \frac{1}{n}}$.
Denne regelen er nyttig når vi skal forenkle uttrykk med forskjellige røtter, for eksempel en sjetterot og en tredjerot, slik det er vist i eksempel 4.
Eksempel 4:
Vi skal forenkle $\sqrt[\Large 6]{x^2} \cdot \sqrt[\Large 3]{x^\phantom 1}$ mest mulig:
Vi skriver først om røttene til potenser, så bruker vi vanlige regneregler for å forenkle potensene, og til slutt gjør vi potensen om til rot igjen:
$\sqrt[\Large 6]{x^2} \cdot \sqrt[\Large 3]{x^\phantom 1} = {(x^2)}^{\Large \frac{1}{6}} \cdot x^{\Large \frac{1}{3}} = x^{\Large \frac{2}{6}} \cdot x^{\Large \frac{1}{3}} = x^{\Large ( \frac{2}{6} + \frac{1}{3})} = x^{\Large \frac{2}{3}} = \sqrt[\Large 3]{x^2}$
Det er ikke nødvendig å gå veien om potenser, i eksempel 4 kunne vi for eksempel ha regnet slik:
$\sqrt[\Large 6]{x^2} \cdot \sqrt[\Large 3]{x^\phantom 1} = \sqrt[\Large 6]{x^2} \cdot \sqrt[\Large 6]{x^2} = \sqrt[\Large 6]{x^2 \cdot x^2} = \sqrt[\Large 6]{x^4} = \sqrt[\Large 3]{x^2}$
Men å gå veien om potenser kan gjøre utregningen enklere.
Forenkle $\frac{\displaystyle \sqrt{a^\phantom 1} \cdot \sqrt[\Large 4]{a^3} \cdot a}{\displaystyle \sqrt[\Large 8]{a^5} }$ mest mulig mest mulig ved å gå veien om potenser.
Hint: Husk at det i kvadratrot egentlig er et 2-tall over rotsymbolet.
Kilder
-
- Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag