Publisert av Sjefen

Sammensatte funksjoner

I artikkelen om funksjonsbegrepet illustrerte vi en funksjon som en boks der vi putter en (uavhengig) variabel inn og får en bearbeidet (avhengig) variabel ut. Hvis den uavhengige variabelen heter x, og funksjonen f, ser det slik ut:

Illustrasjon av enkel funksjon

Men hva om vi så putter det vi får ut, inn i en ny funksjon, for eksempel g? Da ser det slik ut:

Illustrasjon av sammensatt funksjon

Her har vi satt sammen funksjonene f og g. Vi bruker altså først funksjonen f på x, deretter funksjonen g på f(x). Vi skriver det g(f(x)), og leser det som «g av f av x». En annen måte å skrive det samme på er g ∘ f. Det betyr altså f først, deretter g.

Eksempel 1:

Vi har funksjonene f(x) = x2 + 2 og g(x) = 3x − 1, og skal beregne g(f(x)) og f(g(x)).

For å tydeliggjøre hva som skjer i utregningen, har vi brukt gul bakgrunnsfarge på f(x) = x2 + 2 og blå bakgrunnsfarge på g(x) = 3x − 1.

For å beregne g(f(x)), erstatter vi x i funksjonsforskriften til g(x) med funksjonsforskriften til f(x):

g(f(x)) = g(x2 + 2) = 3(x2 + 2) – 1 = 3x2 + 5

For å beregne f(g(x)), erstatter vi x i funksjonsforskriften til f(x) med funksjonsforskriften til g(x):

f(g(x)) = f(3x – 1) = (3x – 1)2 + 2 = 9x2 – 6x + 1 + 2 = 9x2 – 6x + 3

Oppgave 1:

Gitt funksjonene f(x) = 2x2 + 3x + 1 og g(x) = –x + 4.

Beregn g(f(x)) og f(g(x)).

Se løsningsforslag

Når vi setter sammen to polynomfunksjoner, slik vi har gjort i oppgave 1 og 2, kan vi forenkle uttrykket, og resultatet blir en ny polynomfunksjon. Men tar vi i bruk andre funksjonstyper, kan vi få helt nye typer funksjoner. Grafen under viser for eksempel g(f(x)), der f er polynomfunksjonen f(x) = x2, og g er den periodiske funksjon g(x) = sin x.

Grafen til den sammensatte funksjonen sin(x^2)

Dette er verken en polynomfunksjon eller en periodisk funksjon. Den kombinerte funksjonsforskriften er sin x2, et uttrykk som ikke kan forenkles videre.
(Her ser vi også behovet for et vinkelmål som er et tall, ikke er grader. Hvis argumentet til sin skulle vært grader, måtte x2 vært grader, og x følgelig «rota av grader», et umulig begrep.)

Ser vi på f(g(x)) i stedet, får vi denne grafen:

Grafen til den sammensatte funksjonen sin^2(x)

Den kombinerte funksjonsforskriften er nå (sin x)2, som er vanlig å skrive som sin2 x. Et uttrykk som sinn x betyr altså at vi skal ta sinus til x og så opphøye i n. Det er ikke det samme som å ta sinus til xn.

Sammensatt pizza

Kilder

    • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget