Produktprinsippet
I artikkelen om begreper i sannsynlighet lærte vi å regne ut sannsynligheter for enkelthendelser. Vi skal nå lære å beregne sannsynligheten for sammensatte hendelser.
Eksempel 1:
Vi skal finne sannsynligheten for å få seks begge gangene når vi kaster en terning to ganger. Da har vi to hendelser: Seks på første kast, og seks på andre kast.
I første kast har vi seks mulige utfall, nemlig 1, 2, 3, 4, 5 og 6, og det samme har vi i andre kast. Kombinerer vi de to kastene, kan vi altså få 1-1, 1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6, 2-1, 2-2, og så videre opp til 6-6. Totalt er dette 36 kombinasjoner, men bare 1 er «gunstig», nemlig 6-6. Ved å bruke prinsippet om gunstige på mulige, finner vi at sannsynligheten for 6-6 blir ${\large \frac{1}{36}}$.
Hvis vi kaster to terninger samtidig og spør etter sannsynligheten for å få 6 på begge terningene, er egentlig dette samme situasjon, og sannsynligheten blir ${\large \frac{1}{36}}$.
Vi legger merke til at når vi i eksempel 1 beregner sannsynligheten for å få seks i begge kast ved å bruke gunstige på mulige, er resultatet det samme som vi får hvis vi multipliserer sannsynligheten for å få 6 i første kast med sannsynligheten for å få 6 i andre, altså ${\large \frac{1}{6}} \cdot {\large \frac{1}{6}} = {\large \frac{1}{36}}$. Dette er ikke tilfeldig. Sannsynligheten for at to uavhengige hendelser begge inntreffer er lik produktet av sannsynlighetene for hver av dem.
Hvis A og B er uavhengige hendelser, er sannsynligheten for at begge inntreffer gitt ved produktsetningen, slik:
$\fbox{Produktsetningen for uavhengige hendelser: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$}$
Dette prinsippet kan utvides til et vilkårlig antall hendelser.
Eksempel 2:
Vi kjøper lodd i tre uavhengige lotterier, der vinnersjansene er henholdsvis ${\large \frac{1}{100}}$, ${\large \frac{1}{50}}$ og ${\large \frac{1}{75}}$, og skal finne ut hva sannsynligheten for å vinne på alle tre loddene er. Da bruker vi produktsetningen og får at sannsynligheten er ${\large \frac{1}{100}} \cdot {\large \frac{1}{50}} \cdot {\large \frac{1}{75}} = {\large \frac{1}{375 \, 000}}$.
I hestespillet V5 er det om å gjøre å tippe riktig vinner i 5 travløp. Du spiller V5 en gang det er 12 hester med i første løp, 10 i andre, 14 i tredje, 9 i fjerde og 12 i femte. Alle løpene er uavhengige av hverandre og du velger hester helt tilfeldig. Hva er sannsynligheten for å vinne?
Det er viktig å legge merke til at vi snakker om uavhengige hendelser, altså hendelser det ikke er noen som helst sammenheng mellom. Hvis hendelsene er avhengige, blir situasjonen mye mer komplisert.
Eksempel 3:
I en by er det i gjennomsnitt 20 soldager i juli, jevnt fordelt over hele måneden. Det betyr at vi kan si at sannsynligheten for sol den 14. juli om tre år er ${\large \frac{20}{31}} \approx 64{,}52\%$, siden det er totalt 20 gunstige (soldager) på 31 mulige (antall dager i juli). Men det betyr ikke at vi kan si at sannsynligheten for sol både 14. og 15. juli om 3 år er ${\large \frac{20}{31}} \cdot {\large \frac{20}{31}} \approx 41{,}62\%$. For været den den 15. juli er ikke uavhengig av været den 14. Tvert imot, i en periode med høytrykk er det vanlig at mange soldager følger etter hverandre.
Eksempel 4:
Vi trekker to kort fra en kortstokk og lurer på hva sannsynligheten for å få to ess er. Sannsynligheten for å få ett ess er ${\large \frac{4}{52}} = {\large \frac{1}{13}}$, siden 4 av i alt 52 kort er ess. Men sannsynligheten for å få to ess blir ikke ${\large \frac{1}{13}} \cdot {\large \frac{1}{13}} = {\large \frac{1}{169}} \approx 0{,}59\%$. For dette er ikke uavhengige hendelser. Sannsynligheten for å få ess når vi trekker andre kort avhenger av om vi fikk ess da vi trakk første kort. Hvis første kort ble ess, er det 3 av 51 kort som er ess tilbake i stokken, og sannsynligheten for to ess er ${\large \frac{1}{13}} \cdot {\large \frac{3}{51}} \approx 0{,}45\%$. En annen måte å beregne dette på er å dividere antall måter vi kan kombinere to ess på (6), med antall måter vi kan kombinere to vilkårlige kort på (1326), slik vi skal lære i artikkelen om kombinatorikk.
For å ta den helt ut, hvis sannsynligheten for å trekke et ess ikke avhang av hva vi fikk forrige gang, men var konstant lik ${\large \frac{1}{13}}$, ville sannsynligheten for å få fem ess når vi trakk fem kort være ${\large \frac{1}{13^{\Large 5}}} \approx 2{,}7 \cdot 10^{-6}$. Ikke mye, men større enn 0, så ifølge denne beregningen ville det faktisk være mulig å trekke flere ess enn det er i kortstokken.
Bruk av komplementsetningen
Biler med like sluttsifre
I oppgave 1 i artikkelen om introduksjon til sannsynlighet fikk vi vite at sannsynligheten for at minst to av tjue vilkårlige biler har samme to sluttsifre i registreringsnummeret er ca. 87 %. Nå skal vi se hvordan vi kan regne det ut ved å bruke produktsetningen.
I artikkelen om å kombinere utfall presenterte vi et Venn-diagram som illustrerte tre ikke-disjunkte (overlappende) utfall, A, B og C:
Tenker vi oss at A, B og C representerer de to sluttsifrene på tre biler, ser vi at det finnes fire muligheter for like sifre: A og B kan ha samme, A og C kan ha samme, B og C kan ha samme, og A, B og C kan alle ha samme. Vi forstår at det med 20 biler vil finnes så mange kombinasjonsmuligheter at det vil være uoverkommelig å regne på.
Derimot er det ganske enkelt å beregne sannsynligheten for at ingen av bilene har like sluttsifre, altså at de har unike sluttsifre. Totalt finnes det 100 mulige sluttsifre. For første bil er alle 100 sifre unike, for andre er 99 unike, for tredje 98, og så videre. Sannsynligheten for at første bil har unike sifre blir følgelig ${\large \frac{100}{100}}$, sannsynligheten for at andre bil har unike sifre blir ${\large \frac{99}{100}}$, sannsynligheten for at tredje bil har unike sifre blir ${\large \frac{98}{100}}$, og så videre ned til tjuende bil, der sannsynligheten for unike sifre blir ${\large \frac{81}{100}}$.
Siden dette er uavhengige hendelser, sier produktsetningen at sannsynligheten for at alle hendelsene inntreffer, er lik produktet av enkeltsannsynlighetene, og vi får
$P(\text{Unike sifre}) = {\large \frac{100}{100}} \cdot {\large \frac{99}{100}} \cdot {\large \frac{98}{100}} \cdot \; \dots \; \cdot {\large \frac{81}{100}} \approx 0{,}1304$
«Unike sifre» er komplementhendelsen til «Minst to med like sifre», og ved å bruke komplementsetningen, får vi
$P(\text{Minst to med like sifre}) = 1 – P(\text{Unike sifre}) \approx 1 – 0{,}1304 = 0{,}8696$
Det er altså ca. 87 % sannsynlighet for at minst to av tjue biler har samme to sluttsifre.
Minst én sekser
I artikkelen om å kombinere utfall beregnet vi at sannsynligheten for å få «minst en sekser» ved kast med to terninger var ${\large \frac{11}{36}}$. Vi beregnet det på to måter, ved å telle opp enkeltutfall, og ved å bruke den generelle addisjonssetningen. Nå skal vi regne det ut ved hjelp av produktsetningen og komplementsetningen:
Eksempel 5:
Komplementhendelsen til «minst én sekser» er «ingen seksere». Denne hendelsen inntreffer hvis vi verken får seks på første terning eller andre terning. Det kan vi se på som to uavhengige hendelser som begge har sannsynlighet ${\large \frac{5}{6}}$. Ved hjelp av produktregelen får vi at sannsynligheten for at dette skjer på begge terningene er ${\large \frac{5}{6}} \cdot {\large \frac{5}{6}} = {\large \frac{25}{36}}$. Og sannsynligheten for komplementhendelsen, «minst én sekser» blir $1 – {\large \frac{25}{36}} = {\large \frac{11}{36}}$, som er det samme som vi fant med andre utregningsmetoder.
Vi kan også bruke produktsetningen og addisjonssetningen for disjunkte utfall:
Eksempel 6:
Hendelsen «minst en sekser» kan vi tenke oss er sammensatt av tre disjunkte utfall: «Seks på første terning, men ikke på andre», «seks på andre terning, men ikke på første», og «seks på begge terninger».
Sannsynligheten for å få seks på en terning er ${\large \frac{1}{6}}$ og sannsynligheten for ikke å få det er ${\large \frac{5}{6}}$. Siden de to terningene er uavhengige, blir sannsynligheten for å få seks på den første terningen, men ikke den andre, ifølge produktregelen ${\large \frac{1}{6}} \cdot {\large \frac{5}{6}} = {\large \frac{5}{36}}$, og tilsvarende for omvendt rekkefølge ${\large \frac{5}{6}} \cdot {\large \frac{1}{6}} = {\large \frac{5}{36}}$.
Sannsynligheten for å få seks på begge terningene blir ${\large \frac{1}{6}} \cdot {\large \frac{1}{6}} = {\large \frac{1}{36}}$.
Siden de tre utfallene er disjunkte, finner vi totalsannsynligheten ved å addere enkeltsannsynlighetene:
${\large \frac{5}{36}} + {\large \frac{5}{36}} + {\large \frac{1}{36}} = {\large \frac{11}{36}}$.
Som er det samme som vi har funnet tre ganger tidligere med andre metoder.
Hva er sannsynligheten for at det i en klasse med 30 tilfeldig sammensatte elever finnes minst to som har samme fødselsdag? (Vi regner med at alle er født i et år med 365 dager.)
Vi har funnet ut at når vi kaster en bestemt type tegnestift, er sannsynligheten for at den havner med spissen opp lik $P(O) = {\large \frac{2}{3}}$.
Vi kaster tre tegnestifter av denne typen. Beregn sannsynlighetene for de fire hendelsene under, og forklar hvorfor summen av de fire sannsynlighetene blir 1.
-
- Alle havner med spiss opp.
- Alle havner med spiss ned.
- To havner med spiss opp og én med spiss ned.
- To havner med spiss ned og én med spiss opp.
- Alle havner med spiss opp.
Hint: Dette er ikke en uniform modell, så vi kan ikke bruke «gunstige på mulige». I stedet må vi bruke produktprinsippet for uavhengige hendelser og addisjonsprinsippet for disjunkte utfall.
Se filmen «Produktprinsippet»
Kilder
- Hinna, K.R.C., Rinvold, R.A., Gustavsen, TS. (2011). QED 5-10, bind 1. Høyskoleforlaget
- Ubøe, J. (2011). Statistikk for økonomifag. Gyldendal akademisk
- Hagen, Per C. (2000). Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk. Cappelen akademisk