Summasjonstegn

Summasjonstegnet sigma

I artikkelen om rekker har vi angitt de første leddene for å vise hvordan rekkene utvikler seg, for eksempel 1 + 2 + 3 + 4 + …

En annen måte å gjøre det på, er å definere rekka ved hjelp av summasjonstegn, noe som er både enklere og mer oversiktlig. Som summasjonstegn brukes den greske bokstaven stor sigma: Σ

Summasjonsindeks

Sammen med summasjonstegnet angir vi så et eksplisitt uttrykk for leddene i rekka. Dette gjør vi ved hjelp av en variabel vi kaller summasjonsindeks, som vil gjennomløpe alle heltall fra og med en gitt startverdi, til og med en gitt sluttverdi. Startverdien skrives under summasjonstegnet, sluttverdien over.

Eksempel 1:

I rekka 1² + 2² + 3² + 4² er det eksplisitte uttrykket for leddene n². Vi har her valgt symbolet n som summasjonsindeks.

Startverdien for n er 1 og sluttverdien 4. Med summasjonstegn skriver vi dette som 

$\displaystyle \sum_{n = 1}^4 n^2$

Det betyr at summasjonsindeksen n gjennomløper alle heltall fra og med 1 til og med 4, og summen blir følgelig 1² + 2² + 3² + 4² = 30.

Det er en konvensjon at det bare er sammen med startverdien vi angir navnet på indeksen, vi utelater det ved sluttverdien. Som vi ser i eksempel 1, skriver vi bare 4, ikke n = 4, over Σ.

I GeoGebra kan vi beregne summer ved hjelp av kommandoen Sum. Vi angir da det algebraiske uttrykket, navnet på summasjonsindeksen, og indeksens start- og sluttverdi. For å beregne summen i eksempel 1, for eksempel, skriver vi Sum(n^2, n, 1, 4) i inntastningsfeltet. Her angir vi at vi skal summere n² for alle n fra og med 1 til og med 4. GeoGebra svarer med 30 i algebrafeltet.

Oppgave 1:

Beregn summen som angis med uttrykket $\displaystyle \sum_{n = 1}^{3} 2^n$.

Se løsningsforslag

Eksempel 2:

I rekka $\sqrt 5 + \sqrt 6 + \sqrt 7 + \sqrt 8 $ er det eksplisitte uttrykket for leddene $\sqrt n$, når vi velger n som summasjonsindeks.

Startverdien for n er 5 og sluttverdien 8. Med summasjonstegn skriver vi dette som 

$\displaystyle \sum_{n = 5}^8 \sqrt n$

Det betyr at summasjonsindeksen n gjennomløper alle heltall fra og med 5 til og med 8, og summen blir følgelig $\sqrt 5 + \sqrt 6 + \sqrt 7 + \sqrt 8 \approx 10{,}16$.

Oppgave 2:

Skriv summen ${\large \frac{1}{3}} + {\large \frac{1}{4}} + {\large \frac{1}{5}} + \cdots + {\large \frac{1}{100}}$  ved hjelp av summasjonstegn.

Se løsningsforslag

For å få til alternerende fortegn i ei rekke, kan vi benytte faktoren (−1)ⁿ, som vil være 1 når n er partall, og −1 når n er oddetall.

Eksempel 3:

−1 + 2 − 3 + 4 kan skrives som

$\displaystyle \sum_{n =1}^4 (−1)^n n$

1 − 2 + 3 − 4 kan skrives som

$\displaystyle \sum_{n =1}^4 (−1)^{(n−1)} n$

Dersom vi ønsker å sette inn tall med en annen avstand enn 1, kan vi bruke produkter av summasjonsindeksen.

Eksempel 4:

2 + 4 + 6. Her er avstanden mellom tallene 2.

Rekka kan skrives som

$\displaystyle \sum_{n =1}^3 2n$

1 + 4 + 7. Her er avstanden mellom tallene 3, og verdiene er også 2 lavere enn 3 ganger summasjonsindeksen.

Rekka skriver vi derfor som

$\displaystyle \sum_{n =1}^3 3n−2$

Navn på indeks

Navnet på summasjonsindeksen spiller ingen rolle, vi må bare passe på at det er overensstemmelse mellom det som angis sammen med startverdien, og det som brukes i selve uttrykket for leddene. Andre vanlig navn på summasjonsindekser er m, i og j.

Eksempel 5:

Hvis vi velger m som summasjonsindeks, blir uttrykket fra eksempel 2

$\displaystyle \sum_{m = 5}^8 \sqrt m$

Det er bare summasjonsindeksen som blir gitt verdier, andre variabler påvirkes ikke.

Eksempel 6:

$\displaystyle \sum_{n = 1}^3 m^n$ betyr m¹ + m² + m³

$\displaystyle \sum_{m = 1}^3 m^n$ betyr 1ⁿ + 2ⁿ + 3ⁿ

Indeks uten sluttverdi

I rekker med uendelig mange ledd har vi ikke noen sluttverdi for summasjonsindeksen. Det indikerer vi ved å sette symbolet for «uendelig» over summasjonstegnet.

Eksempel 7:

$\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{2^n}$ betyr at n gjennomløper et uendelig antall verdier, 1, 2, 3, …

Summen blir følgelig ${\large \frac{1}{2^1}} + {\large \frac{1}{2^2}} + {\large \frac{1}{2^3}} + \dots$

Oppgave 3:

Skriv ut leddene som er angitt med summasjonstegn under:

1. 1. 1. 1. $\displaystyle \sum_{n = 1}^5 n$
             
         2. $\displaystyle \sum_{n = 0}^4 n + 1$
             
         3. $\displaystyle \sum_{i = 1}^5 \frac{i}{i + 1}$

Se film der løsningsforslaget vises
 

Kilder

• • Breiteig T. (2007). Bak tallene. Innføring i tallteori. Kompendium, Universitetet i Agder.
  • Thomas G.B. & Finney R.L. (1988). Calculus and analytic geometry, Addison-Wesley.