Summasjonstegn

La oss si at vi skal summere kvadratet av heltallene fra 1 til 5. Da kan vi skrive summen slik:

1² + 2² + 3² + 4²+ 5²

Men skal vi summere mange tall, for eksempel kvadratet av heltallene fra 1 til 1000, blir det både omstendelig og uoversiktlig å skrive alle tallene. Da kan vi i stedet skrive de første to-tre tallene for å vise mønsteret, så skrive tre prikker, og deretter skrive det siste tallet vi skal summere.

Eksempel 1:

Vi skal summere kvadratet av heltallene fra 1 til 1000. Det kan vi skrive slik:

1² + 2² + 3² + … + 1000²

Symbolet med de tre prikkene kalles ellipse, og angir at noe er utelatt. Ellipse bruker vi også i språklige sammenhenger.

Hvis vi skal summere et uendelig antall tall, bruker vi ellipse uten noe siste tall, for eksempel 1² + 2² + 3² + … 

Summasjonstegnet sigma

En annen måte å angi en sum på er å bruke summasjonstegn, noe som er både enkelt og oversiktlig. Som summasjonstegn bruker vi den greske bokstaven Σ, stor sigma. I eksempel 2 ser vi hvordan vi kan angi det samme som i eksempel 1 ved hjelp av summasjonstegn.

Eksempel 2:

Summen av kvadratet av heltallene fra 1 til 1000 kan vi angi slik:

$\displaystyle \sum_{n = 1}^{1000} n^2$

Variabelen n kalles en summasjonsindeks eller summasjonsvariabel.

Summasjonsindeks

Når vi angir en sum ved hjelp av Σ, må vi ha en summasjonsindeks, som i eksempel 2. Startverdien til indeksen angir vi under Σ, sluttverdien over. Bak Σ har vi så et algebraisk uttrykk som involverer indeksen, i eksempel 2 er det n². Indeksen vil gå i skritt på 1 fra og med startverdien til og med sluttverdien, og hver verdi vi bli satt inn i det algebraiske uttrykket og summert.

Det er en konvensjon at det bare er sammen med startverdien vi angir navnet på indeksen, vi utelater det ved sluttverdien. Som vi ser i eksempel 2, skriver vi bare 1000, ikke n = 1000, over Σ.

I GeoGebra kan vi beregne summer ved hjelp av kommandoen Sum. Vi angir da det algebraiske uttrykket, navnet på summasjonsindeksen, og indeksens start- og sluttverdi. For å beregne summen i eksempel 2, for eksempel, skriver vi Sum(n^2, n, 1, 4) i inntastningsfeltet. Her angir vi at vi skal summere n² for alle n fra og med 1 til og med 4. GeoGebra svarer med 30 i algebrafeltet.

Oppgave 1:

Beregn summen som angis med uttrykket $\displaystyle \sum_{n = 1}^{3} 2^n$.

Kontroller utregningen i GeoGebra.

Se løsningsforslag

Startverdi til summasjonsindeks

Startverdien til summasjonsindeksen trenger ikke være 1. I eksempel 3 summerer vi for eksempel fra og med n = 5 til og med n = 8.

Eksempel 3:

Vi skriver summen $\sqrt 5 + \sqrt 6 + \sqrt 7 + \sqrt 8$ ved hjelp av summasjonstegn som

$\displaystyle \sum_{n = 5}^8 \sqrt n$

Oppgave 2:

Skriv summen ${\large \frac{1}{3}} + {\large \frac{1}{4}} + {\large \frac{1}{5}} + \cdots + {\large \frac{1}{100}}$ ved hjelp av summasjonstegn.

Se løsningsforslag

Dersom vi ønsker å bruke tall med en annen avstand enn 1, kan vi bruke produkter av summasjonsindeksen.

Eksempel 4:

Vi skal skrive 2 + 4 + 6 + … + 100 ved hjelp av summasjonstegn. Her er avstanden mellom tallene 2, så det algebraiske uttrykket blir 2n.

$\displaystyle \sum_{n =1}^{50} 2n$

Når n = 1, blir 2n = 2, når n = 2, blir 2n = 4, og så videre opp til n = 50 som gir 2n = 100.

Navn på summasjonsindeks

Navnet på summasjonsindeksen spiller ingen rolle, vi må bare passe på at det er overensstemmelse mellom det som angis sammen med startverdien, og det som brukes i det algebraiske uttrykket. Andre vanlig navn på summasjonsindekser er m, i og j.

Eksempel 5:

Hvis vi velger i som summasjonsindeks, blir uttrykket fra eksempel 2 slik:

$\displaystyle \sum_{i = 1}^{1000} i^2$

For å beregne summen i GeoGebra skriver vi sum(i^2, i, 1, 1000) i inntastningsfeltet. GeoGebra svarer med 333 833 500 i algebrafeltet.

Det er bare summasjonsindeksen som blir gitt verdier, andre variabler påvirkes ikke.

Eksempel 6:

I begge uttrykkene under er det algebraiske uttrykket mⁿ, men i det første er summasjonsindeksen n, i det andre er summasjonsindeksen m.

$\displaystyle \sum_{n = 1}^3 m^n $ betyr m¹ + m² + m³

$\displaystyle \sum_{m = 1}^3 m^n$ betyr 1ⁿ + 2ⁿ + 3ⁿ

Indeks uten sluttverdi

Vi kan angi at vi summerer uendelig mange tall ved å sette symbolet for «uendelig», ∞, over summasjonstegnet.

Eksempel 7:

$\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{2^n}$ betyr at n blir 1, 2, 3, …

Summen blir følgelig ${\large \frac{1}{2^1}} + {\large \frac{1}{2^2}} + {\large \frac{1}{2^3}} + \dots$

Alternerende fortegn

For å få alternerende fortegn, det vil si at vi adderer annet hvert tall og subtraherer annet hvert tall, kan vi benytte faktoren (−1)ⁿ, som vil være 1 når n er partall, og −1 når n er oddetall. Vil vi ha 1 når n er oddetall, og −1 når n er partall, kan vi benytte faktoren (−1)^(n-1).

Eksempel 8:

−1 + 2 − 3 + 4 kan skrives som

$\displaystyle \sum_{n =1}^4 (−1)^n n$

1 − 2 + 3 − 4 kan skrives som

$\displaystyle \sum_{n =1}^4 (−1)^{(n−1)} n$

Oppgave 3:

Skriv ut tallene som er angitt med summasjonstegn under:

1. 1. 1. 1. $\displaystyle \sum_{n = 1}^5 n$
             
         2. $\displaystyle \sum_{n = 0}^4 n + 1$
             
         3. $\displaystyle \sum_{i = 1}^5 \frac{i}{i + 1}$

Se film der løsningsforslaget vises
 

Kilder

• • Breiteig T. (2007). Bak tallene. Innføring i tallteori. Kompendium, Universitetet i Agder.
  • Thomas G.B. & Finney R.L. (1988). Calculus and analytic geometry, Addison-Wesley.