Stikkord: asymptote

Publisert

Funksjonsanalyse med GeoGebra

I denne artikkelen skal vi se hvordan vi kan bruke GeoGebra til å lage grafer og punkter, finne funksjonsverdier, skjæringspunkter, ekstremalpunkter, vendepunkter og asymptoter, samt lage verditabeller og bruke glidere.

Når vi i denne artikkelen refererer til kommandonavn i GeoGebra, lar vi dem starte med stor bokstav, og setter argumenter mellom klammeparenteser, for eksempel Ekstremalpunkt[f]. Vi kan også godt starte med liten bokstav, og bruke vanlige parenteser, for eksempel ekstremalpunkt(f), GeoGebra skiller ikke på dette. Når vi begynner å skrive, foreslår imidlertid GeoGebra navnet på kommandoen med stor bokstav og klammeparenteser, så vi bruker dette som standard.

Eksempel 1:

Vi skal studere funksjonen f(x) = x4 + 6x3 + 7x2 – 5x – 1. Vi starter med å skrive inn funksjonsforskriften i inntastingsfeltet. Potenser angis med en hatt (^), så det blir
x^4 + 6x^3 + 7x^2 – 5x – 1. Grafen kommer opp i grafikkfeltet mens vi skriver, og når vi trykker på linjeskift-tasten, kommer funksjonsforskriften opp i algebrafeltet:

Graf til en fjerdegradsfunksjon i GeoGebra

Det kan være at vi må justere på akseverdiene for å få bildet slik som vist i eksempel 1. For å justere på akseverdiene åpner vi innstillinger-dialogboksen ved å velge «Rediger» – «Egenskaper», klikker på trekantsymbolet, og velger min- og maksverdier for x og y. I bildet over er «x-min» = -6, «x-max» = 3, «y-min» = -8, «y-max» = 10. (I stedet for å velge fra hovedmenyen kan vi også få opp innstillinger-dialogboksen ved å høyreklikke i grafikkfeltet eller på funksjonsforskriften i algebrafeltet og velge «Egenskaper»).

Punkter

Det finnes flere måter å lage punkter på, beskrevet i brukermanualen. Her skal vi lage punkter ved å skrive inn koordinatene, (x, y), i inntastingsfeltet, for eksempel (2, 3) eller (-2, 1). Punktene dukker opp både i algebrafeltet og i grafikkfeltet, og gis navn fortløpende med store bokstaver, A, B, C, etc. Vi kan også gi punktene egne navn, da skriver vi navnet og et likhetstegn foran koordinatene, for eksempel Origo = (0, 0). Et punktnavn kan altså bestå av flere bokstaver. NB! Første bokstav i navnet må være stor (versal), ellers blir punktet tolket som en vektor.

Funksjonsverdier

Med funksjonsverdien mener vi den verdien en funksjon gir ut når vi putter inn en gitt x-verdi. For å finne en funksjonsverdi, skriver vi funksjonsnavnet med den ønskede x-verdien i parentes i inntastingsfeltet. Har vi lagt inn en funksjon, f(x), finner vi for eksempel verdien til f i x = 1 ved å skrive f(1). Funksjonsverdien kommer opp i algebrafeltet, med navnet a. Navnene tildeles fortløpende på samme måte som for punkter, a, b, c, etc., men kan også gis egne navn på samme måte, for eksempel start = f(0). Vi kan fritt bruke både store og små bokstaver.

Basert på x-verdien og den tilhørende funksjonsverdien kan vi lage punkter på grafen til f(x). Har vi for eksempel funnet to funksjonsverdier, a = f(1) og b = f(-1), skriver vi (1, a) og (-1, b) i inntastingsfeltet.

Vi kan også lage et punkt på grafen uten å finne funksjonsverdien eksplisitt først. Vil vi for eksempel lage et punkt på grafen der x-verdien er -2, skriver vi (-2, f(-2)).

Oppgave 1:

Bruk GeoGebra til å tegne grafen til funksjonen g(x) = x3 – 4x + 2, og plott punktene på grafen som har x-verdi -1 og 1. Kall punktene A og B.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

NB! I den løsningen som vises på filmen heter funksjonen z(x). Nå godtar ikke lenger GeoGebra z som funksjonsnavn, så oppgaven spør derfor etter g(x). Når du ser filmen, må du bare derfor huske å skrive g alle steder filmen sier z.

Skjæringspunkter

Med GeoGebra kan vi finne skjæringspunktene mellom to kurver, eller mellom en kurve og aksene. En enkel måte å gjøre det på er å velge «Skjæring mellom to objekt» fra menyen som vist under.

Menyvalg for å finne skjæring mellom to punkter i GeoGebra

Deretter klikker vi på kurvene vi vil finne skjæringspunktene mellom. I stedet for to kurver kan vi også godt velge en kurve og en av aksene. Bildet under viser skjæringspunktene mellom
f(x) = x4 + 6x3 + 7x2 – 5x – 1 og x-aksen.

Skjæring mellom graf og x-akse i GeoGebra

Disse punktene representerer de fire løsningene til fjerdegradslikningen
 x4 + 6x3 + 7x2 – 5x – 1 = 0.

Ekstremalpunkter, nullpunkter og vendepunkter

Med GeoGebra kan vi finne en funksjons ekstremalpunkter, det vi si maksimums- og minimumspunkter, nullpunkter og vendepunkter.

I det følgende forutsetter vi at funksjonen f(x) er en polynomfunksjon. GeoGebra har mulighet for å finne ekstremalpunkter og nullpunkter til andre funksjonstyper også, men kommandoene krever flere parametere, og vi går ikke inn på det her. Sjekk i brukermanualen. Vendepunkter kan vi bare finne i polynomfunksjoner.

Ekstremalpunktene finner vi ved å skrive Ekstremalpunkt i inntastingsfeltet etterfulgt av funksjonsnavnet i parentes, for eksempel Ekstremalpunkt[f].

Nullpunktene finner vi ved å skrive Nullpunkt i inntastingsfeltet etterfulgt av funksjonsnavnet i parentes, for eksempel Nullpunkt[f]. Nullpunktene er de samme som vi finner ved å be om skjæringspunktene mellom kurven og x-aksen.

Vendepunktene finner vi ved å skrive Vendepunkt i inntastingsfeltet etterfulgt av funksjonsnavnet i parentes, for eksempel Vendepunkt[f].

Oppgave 2:

Ta utgangspunkt i funksjonen f(x) = x3 + 2x2 – x – 2.

      1. Bruk GeoGebra til å finne ekstremalpunktene til funksjonen.
         
      2. Bruk GeoGebra til å finne funksjonens vendepunkt.
         
      3. Bruk GeoGebra til å løse likningen x3 + 2x2 – x – 2 = 0.

Se løsningsforslag

​Asymptoter

GeoGebra kan finne både horisontale, vertikale og skrå asymptoter. For å finne asymptotene til en funksjon, skriver vi Asymptote i inntastingsfeltet etterfulgt av funksjonsnavnet i parentes, for eksempel Asymptote[f].

Asymptotene presenteres i form av ei liste. Hvis en funksjon ikke har noen asymptoter er lista tom.

Oppgave 3:

Finn eventuelle asymptoter til funksjonene

      1. $f(x) = 3 + \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x + 4}$
         
      2. $g(x) = x^2 + 3x – 2$

Se løsningsforslag

Lage verditabell

Ønsker vi å lage mange punkter langs en graf, er det tungvint å skrive inn x-verdiene én og én slik vi gjorde tidligere. Mye mer effektivt er det å bruke regneark-funksjonen til å generere en mengde punkter automatisk. Hvordan dette gjøres, er det lettest å vise ved hjelp av en film.

SkjermfilmSe film om å lage verditabell
 

Oppgave 4:

Tegn grafen til f(x) = x3 – 4x + 2 og bruk verditabell til å plotte punkter på grafen med x-verdier fra -2 til 2 i sprang på 0,2.

Det er ikke laget eget løsningsforslag til denne oppgaven, men den er nesten helt lik det som vises i filmen om å lage verditabell, så bruk filmen til hjelp.

Bruke glidere

Av og til ønsker vi å se hvordan grafen til en funksjon endrer seg når en konstant endrer seg. For eksempel studere hvordan stigningen til grafen til f(x) = ax + b endrer seg når a endrer seg, og hvordan skjæringspunktet med y-aksen endrer seg når b endrer seg.

Til det kan vi bruke glidere. En glider som heter a er vist under. I GeoGebra kan vi klikke på prikken og dra den mot høyre for å øke verdien til a, og mot venstre for å redusere verdien til a.

Glider i GeoGebra

For å sette inn en glider, velger vi fra menyen som vist under:

Velge glider fra menyen i GeoGebra

Deretter klikker vi på stedet i grafikkfeltet der vi vil ha glideren.
Vi får opp en dialogboks som vist under:

Dialogboks for å angi glider-data

Det viktigste her er å velge riktig navn. GeoGebra foreslår a som navn på første glider, b som navn på andre og så videre. Dette navnet må samsvare med parameteren vi skal undersøke. Dersom vi for eksempel skal undersøke k i funksjonen f(x) = kx2, må glideren hete k.

Når vi har valgt navn, må vi velge intervall, det vil si hvilket tallområde glideren skal dekke. I dialogboksen over er «Min» = -5 og «Maks» = 5, det betyr at glideren dekker intervallet [-5, 5]. Når den står helt til venstre, har den verdi -5, og når den står helt til høyre har den verdi 5.

Vi kan også velge animasjonstrinn, det vil si hvor mye verdien endrer seg når vi drar i glideren. I dialogboksen over er animasjonstrinnet «0.1», det vil si at hvis glideren står helt til venstre og vi drar den mot høyre, vil verdiene bli -5,0, -4,9, -4,8, …, 5.0.

Oppgave 5:

Bruk glidere i GeoGebra til å studere hvordan forskjellige valg av n påvirker grafen til funksjonen f(x) = xn. La n variere mellom hele tall fra 0 til 10.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

GeoGebra-filSe den tilhørende GeoGebra-fila
 

Oppgave 6:

I et fysikkforsøk varmer en gruppe elever opp vann til det koker, mens de måler temperaturen hvert minutt. Temperaturen stiger en stund lineært med tida, men stopper på 100 grader.

I perioden mellom 10 og 14 minutter måler de følgende:

Tid (min) 10 11 12 13 14
Temperatur (grader Celsius) 60 64 70 76 80

Legg målingene inn som punkter i GeoGebra og bruk glidere til å anslå en funksjonsforskrift for en lineær funksjon, f(t), som kan brukes som modell for forsøket. La gliderne angi hele tall. (Du skal altså finne forskriften at + b for ei rett linje som går nærmest mulig målepunktene, der a og b er hele tall, og t er tida).

      1. Hvilken funksjonsforskrift fant du?
         
      2. Bruk funksjonsforskriften til å anslå hvilken temperatur vannet hadde da forsøket startet.
         
      3. Bruk funksjonsforskriften til å anslå hvor mye temperaturen stiger per minutt.
         
      4. Kan funksjonsforskriften brukes til å anslå hvilken temperatur vannet vil ha etter 30 minutter?

Se løsningsforslag

Kilder

  • Bueie, H: (2011) GeoGebra for lærere. Universitetsforlaget
  • Kristensen, T. E: (2012) GeoGebra 4.0 for videregående skole. Matematikksenteret
  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
Publisert

Asymptoter

 Horisontale og vertikale asymptoter

Grafen til $f(x) = \large \frac{1}{x}$ er vist under. Vi ser at den går mot 0 når x går mot pluss/minus uendelig, og mot pluss/minus uendelig når x går mot 0.

Asymptotene til f(x) = 1 / x

Når x går mot pluss/minus uendelig, kommer altså grafen til f(x) nærmere og nærmere linja y = 0. Den kommer aldri helt borttil, men vi kan komme så nærme vi vil ved å la x gå langt nok ut til høyre eller venstre. Den horisontale linja y = 0 kalles da en horisontal asymptote for f(x).

Tilsvarende ser vi at når x går mot 0, kommer grafen til f(x) nærmere og nærmere linja x = 0. Den kommer aldri helt borttil, men vi kan komme så nærme vi vil ved å la x komme nærme nok 0. Den vertikale linja x = 0 kalles da en vertikal asymptote for f(x).

Horisontale asymptoter finner vi ved å la x gå mot pluss/minus uendelig, og se om funksjonsverdien nærmer seg et bestemt tall.

Vertikale asymptoter finner vi for x-verdier som gjør at funksjonsverdien går mot pluss eller minus uendelig. For eksempel verdier som gjør at nevneren i en brøk går mot 0.

Asymptotene kan godt være andre linjer enn x = 0 og y = 0, som vist i eksempel 1.

Eksempel 1:

Vi skal finne asymptotene til funksjonen $f(x) = 5 – \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x + 2}$.

Når x går mot pluss uendelig, går nevner i brøken mot pluss uendelig. Når x går mot minus uendelig, går nevner mot minus uendelig. I begge tilfeller betyr det at brøken går mot 0, og vi står igjen med f(x) = 5. y = 5 er derfor en horisontal asymptote for f(x).

Nevner i brøken går mot 0 når x går mot -2, og funksjonsverdien vokser mot pluss/minus uendelig, avhengig av hvilken vei x går mot -2. x = -2 er derfor en vertikal asymptote for f(x). Grafen til f(x) er vist under. Asymptotene er tegnet med rødt:

Illustrasjon av asymptoter

Eksempel 2:

Vi skal avgjøre om funksjonen f(x) = x2 + 2x – 3 har horisontale eller vertikale asymptoter.

Svaret er nei.

Funksjonsverdien går ikke mot noe fast tall når x går mot pluss eller minus uendelig, så funksjonen har ingen horisontal asymptote.

Det finner ikke noe fast tall for x der funksjonsverdien går mot pluss eller minus uendelig, så funksjonen har ingen vertikal asymptote.

f(x) er en polynomfunksjon, og polynomfunksjoner har ikke asymptoter.

Oppgave 1:

Finn horisontale og vertikale asymptoter til funksjonen

$f(x) = 3 + \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x+4}$

Se løsningsforslag

I brøker kan det imidlertid hende at vi får uttrykk der både teller og nevner går mot 0 eller mot uendelig samtidig. Da er det ikke umiddelbart lett å avgjøre om vi får en asymptote eller ikke. Et triks kan være å dividere teller og nevner med høyeste potens av x.

Eksempel 3:

Vi skal finne de horisontale asymptotene til

$f(x) = \frac{\displaystyle x^3 + 6x}{\displaystyle 3x^3 + x^2 + 1}$

Når x går mot pluss/minus uendelig, ser vi at både teller og nevner går mot uendelig samtidig, og vi kan ikke trekke noen umiddelbare konklusjoner.

Vi dividerer teller og nevner med høyeste potens av x, som i vårt tilfelle er x3. Vi får

$f(x) = \frac{\displaystyle \frac{x^3}{x^3} + \frac{6x}{x^3}}{\displaystyle \frac{3x^3}{x^3} + \frac{x^2}{x^3} + \frac{1}{x^3}} = \frac{\displaystyle 1 + \frac{6}{x^2}}{\displaystyle 3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^3}}$

Når x går mot uendelig, går delbrøkene mot null, og vi står igjen med $f(x) = {\large \frac{1}{3}}$. Så $y = {\large \frac{1}{3}}$ er en horisontal asymptote for f(x).

Oppgave 2:

Finn eventuelle horisontale og vertikale asymptoter til funksjonen

$f(x) = \frac{\displaystyle -x^2 + x – 2}{\displaystyle x^2 – 1}$

SkjermfilmSe film med løsningsforslag
 

Oppgave 3:

I en matematisk modell for forurensing i en innsjø er forskere kommet fram til at giftmengden, målt i kg, ved t døgn er gitt ved $f(t) = {\Large \frac{10t^2}{4t^2+6t+9}}$. De konkluderer da med at giftmengden i det lange løp vil stabilisere seg på 2,5 kg. Hvordan kommer de fram til dette?

Se løsningsforslag

Hvis vi har en rasjonal funksjon, altså en brøk med polynomfunksjoner i teller og nevner, og lar x gå mot uendelig, vil brøken gå mot en konstant hvis funksjonene i teller og nevner har samme grad, mot uendelig hvis funksjonen i teller har høyere grad enn nevner, og mot 0 hvis funksjonen i teller har lavere grad enn nevner.

Med andre funksjonstyper vil det variere hva som skjer hvis både teller og nevner går mot 0 eller uendelig samtidig. Hva er for eksempel $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$? Her, og i mange andre tilsvarende tilfeller kan vi imidlertid få hjelp av noe som heter l’Hôpitals regel, som baserer seg på derivasjon. Denne regelen er beskrevet i artikkelen om l’Hôpitals regel.

Det er ikke bare funksjoner med brøker som har asymptoter. f(x) = tan(x) har for eksempel uendelig mange vertikale asymptoter i $f(x) = {\large \frac{(2k + 1)\pi}{2}}$, der k er et vilkårlig helt tall. Asymptotene er vist med rødt i figuren under.

Tangensfunksjonens vertikale asymptoter

Logaritmefunksjoner har en vertikal asymptote i x = 0, fordi funksjonsverdien går mot minus uendelig når x går mot 0.

Skråasymptoter

Hvis vi har en rasjonal funksjon og polynomet i teller har høyere grad enn polynomet i nevner, kan vi skrive om brøken ved hjelp av polynomdivisjon. Dette er spesielt interessant hvis graden til polynomet i teller er 1 høyere enn graden til polynomet i nevner.

Eksempel 4:

Vi har den rasjonale funksjonen $f(x) = \frac{\displaystyle x^3 + 2}{\displaystyle x^2 + 1}$.

Ved hjelp av polynomdivisjon kan funksjonen skrives om til $f(x) = x + \frac{\displaystyle -x + 2}{\displaystyle x^2 + 1}$. Brøken vil gå mot 0 når x går mot pluss/minus uendelig, og vi får derfor at $\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = x$. Funksjonsverdien går mot uendelig, men på veien legger den seg inntil linja y = x. Denne linja er da en skråasymptote for f(x). Skråasymptoten er vist med rødt i grafen under.

Skråasymptote

Skråasymptoter får vi når funksjonsverdien konvergerer mot verdien til et uttrykk på formen y = ax + b når x-verdien går mot pluss eller minus uendelig.

Det er sjelden en funksjon har både en horisontal asymptote og en skråasymptote, men det er ikke umulig med en skråasymptote når $x \to \infty$ og en horisontal asymptote når $x \to -\infty$, eller omvendt. Et eksempel er vist under, i grafen til $f(x) = x + \sqrt{x^2 + 4}$. Her er $\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x) = 2x$ og $\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x) = 0$.

Illustrasjon av funksjon med både skråasymptote og horisontal asymptote

Asymptoter formelt

Ved hjelp av lim-terminologien vi lærte i artikkelen om kontinuitet og grenser kan vi definere asymptoter slik:

  1. x = a er en vertikal asymptote for f(x) hvis $\displaystyle \lim_{x \to a^{\large +}}f(x) = \pm \infty$ eller $\displaystyle \lim_{x \to a^{\large -}}f(x) = \pm \infty$
     
  2. y = a er en horisontal asymptote for f(x) hvis $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}f(x) = a$ eller $\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x) = a$
     
  3. y = ax + b er en skråasymptote for f(x) hvis $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}f(x) = ax + b$ eller $\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x) = ax + b$

    Dersom vi tillater at a i uttrykket ax + b kan være 0, vil en horisontal asymptote være et spesialtilfelle av en skråasymptote.

I GeoGebra kan vi finne asymptoter ved hjelp av kommandoen Asymptote.

Kilder

  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget