Brøkregning

Addere og subtrahere brøk

Å addere brøker med samme nevner er enkelt. Vi adderer tellerne og beholder nevneren.

$\fbox{$\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} + \frac{\displaystyle c}{\displaystyle b} = \frac{\displaystyle a + c}{\displaystyle b}$}$

Eksempel 1:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 5} + \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 5} = \frac{\displaystyle 1 + 2}{\displaystyle 5} = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5}$

Dette er illustrert under, med $\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 5}$ som gul og $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 5}$ som rød:

En femdel pluss to femdeler som pizzadiagram

 

Når vi skal addere tall med forskjellige nevnere, er det fort å tro at vi skal legge sammen tellerne og nevnerne hver for seg. Men generelt er

$\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} + \frac{\displaystyle c}{\displaystyle d} \ne \frac{\displaystyle a + c}{\displaystyle b + d}$

Eksempel 2:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} \ne \frac{\displaystyle 1 + 1}{\displaystyle 2 + 4} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}$

Vi kan ikke legge sammen brøker som har forskjellige nevnere direkte, i stedet må vi utvide en eller begge brøkene slik at de får samme nevner, en fellesnevner.

Eksempel 3:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 4} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}$

Her utvidet vi først brøken ${\large \frac{1}{2}}$ til den likeverdige brøken ${\large \frac{2}{4}}$ ved å multiplisere med 2 i teller og nevner.

Eksempel 3 er enkelt, for nevneren i den ene brøken går opp i den andre, 2 går opp i 4, og 4 blir fellesnevner. Men har vi to nevnere som ikke går opp i hverandre, for eksempel ${\large \frac{1}{4}} + {\large \frac{1}{6}}$, må vi finne en fellesnevner begge de to nevnerne går opp i. 4 = 2 · 2 og 6 = 2 · 3. Så minste felles multiplum av 4 og 6 er 2 · 2 · 3 = 12. Vi utvider ${\large \frac{1}{4}}$ til den likeverdige brøken ${\large \frac{3}{12}}$ og ${\large \frac{1}{6}}$ til den likeverdige brøken ${\large \frac{2}{12}}$. Og regnestykket blir:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 12} + \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 12} = \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 12}$

Dette kan illustreres slik:

Addisjon med fellesnevner illustrert som pizzastykker

Dette kan virke tungvint, og det er strengt tatt ikke nødvendig å finne minste felles multiplum. En fellesnevner får vi enkelt ved å multiplisere de to nevnerne:

$\fbox{$\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} + \frac{\displaystyle c}{\displaystyle d} = \frac{\displaystyle ad}{\displaystyle bd} + \frac{\displaystyle bc}{\displaystyle bd} = \frac{\displaystyle ad + bc}{\displaystyle bd}$}$

Eksempel 4:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 1 \cdot 6 + 4 \cdot 1}{\displaystyle 4 \cdot 6} = \frac{\displaystyle 6 + 4}{\displaystyle 24} = \frac{\displaystyle 10}{\displaystyle 24} = \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 12}$

Ulempen er at vi kan få unødvendig høye tall underveis.

Oppgave 1:

Utfør addisjonen under både ved å finne minste felles multiplum og ved å multiplisere nevnerne direkte. Forkort svaret mest mulig:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 16} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 24}$

SkjermfilmSe film der utregningene vises
 

Samme prinsipp brukes hvis brøkene inneholder algebraiske uttrykk. Imidlertid kan vi ofte ende opp med noe som er mer komplisert og sammensatt enn det vi startet med. Av og til er vi derfor like godt tjent med å la brøkene stå hver for seg.

Eksempel 5:

$\frac{\displaystyle z^2}{\displaystyle x^\phantom 1} + \frac{\displaystyle z}{\displaystyle y^2} = \frac{\displaystyle y^2z^2 + xz}{\displaystyle xy^2}$

Ved addisjon av blanda tall kan vi regne ut heltallene for seg og brøkene for seg.

Eksempel 6:

$2 \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} +  3 \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} = 2 + 3 + \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 4} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} = 5 \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}$

Vi kan også gjøre heltallene om til brøk ved hjelp av fellesnevner, men utregningene blir gjerne unødvendig innviklede.

Subtraksjon av brøk gjøres på samme måte som addisjon, bare at vi subtraherer tellerne i stedet for å addere dem.

Eksempel 7:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} − \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 12} − \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 12} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 12}$

Multiplisere brøk

Mens addisjon av brøk kan være litt innviklet ved at vi må finne en fellesnevner, er multiplikasjon av brøk liketil. Vi multipliserer bare teller med teller og nevner med nevner:

$\fbox{$\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} \cdot \frac{\displaystyle c}{\displaystyle d} = \frac{\displaystyle ac}{\displaystyle bd}$}$

Eksempel 8:

$\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2} \cdot \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 7} = \frac{\displaystyle 3 \cdot 4}{\displaystyle 2 \cdot 7} = \frac{\displaystyle 12}{\displaystyle 14} = \frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 7}$

Eksempel 9:

$\frac{\displaystyle z^2}{\displaystyle x^\phantom 1} \cdot \frac{\displaystyle z}{\displaystyle y^2} = \frac{\displaystyle z^3}{\displaystyle xy^2}$

Å multiplisere et helt tall med en brøk er også enkelt. Vi multipliserer tallet med telleren og lar nevneren stå.

$\fbox{$a \cdot \frac{\displaystyle c}{\displaystyle d} = \frac{\displaystyle ac}{\displaystyle d}$}$

Eksempel 10:

$3 \cdot \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 7} = \frac{\displaystyle 3 \cdot 2}{\displaystyle 7} = \frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 7}$

Dette er egentlig samme regel som multiplikasjonsregelen over, for vi kan alltid skrive et tall som en brøk med 1 i nevneren.

Altså: $a \cdot \frac{\displaystyle c}{\displaystyle d} = \frac{\displaystyle a}{\displaystyle 1} \cdot \frac{\displaystyle c}{\displaystyle d} = \frac{\displaystyle ac}{\displaystyle 1d} = \frac{\displaystyle ac}{\displaystyle d}$

Oppgave 2:

Regn ut og forkort mest mulig:

$−\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 4} \cdot \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}$

SkjermfilmSe film der utregningen vises
 

Multiplikasjon av blanda tall er mer komplisert fordi vi har en eller flere addisjoner inne i regnestykket.

Eksempel 11:

$3 \cdot 2 \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$

betyr egentlig

$3 \cdot (2 + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2})$

Ved å multiplisere 3-tallet inn i parentesen, får vi

$3 \cdot 2 + 3 \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} = 6 + \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2} = 7\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$

En annen metode er å inkludere heltallet i brøken.

Eksempel 12:

$3 \cdot 2 \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} = 3 \cdot \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 2} = \frac{\displaystyle 15}{\displaystyle 2} = 7\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$

Ved matematikk på høyere nivå er det ikke vanlig å bruke blanda tall. Vi forkorter ned en brøk så langt det går, men så lar vi den stå, selv om den er uekte.

Dividere brøk

Divisjon av brøk betyr at det som står under brøkstreken selv er en brøk, vi har altså en brudden brøk.

Eksempel 13:

$\frac{\;\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}\;}{\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 6}}$

Generelt:

$\frac{\;\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b}\;}{\frac{\displaystyle c}{\displaystyle d}}$

Uttrykket ser forferdelig komplisert ut, men i virkeligheten er regnestykket veldig enkelt. Vi utvider brøken ved å multiplisere med nevnerens invers, ${\large \frac{d}{c}}$, i teller og nevner. Da blir nevneren i hovedbrøken 1, og vi står igjen med telleren multiplisert med nevnerens invers.

$\frac{\;\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b}\;}{\frac{\displaystyle c}{\displaystyle d}} = \frac{\;\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b}\frac{\displaystyle d}{\displaystyle c^{\tiny \phantom 1}}\;}{\frac{\displaystyle c}{\displaystyle d}\frac{\displaystyle d}{\displaystyle c^{\tiny \phantom 1}}} = \frac{\;\frac{\displaystyle ad}{\displaystyle bc}\;}{\displaystyle 1^\phantom 1} = \frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} \cdot \frac{\displaystyle d}{\displaystyle c^{\tiny \phantom 1}}$ 

Å dividere med en brøk er altså det samme som å multiplisere med den inverse (omvendte) brøken:

$\fbox{$\frac{\;\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b}\;}{\frac{\displaystyle c}{\displaystyle d}} = \frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} \cdot \frac{\displaystyle d}{\displaystyle c^{\tiny \phantom 1}}$}$

Eksempel 14:

$\frac{\;\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\;}{\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \cdot \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 3} = \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}$

Eksempel 15:

$\frac{\;\frac{\displaystyle z^2}{\displaystyle x^\phantom 1}\;}{\frac{\displaystyle z^\phantom 1}{\displaystyle y^2}} = \frac{\displaystyle z^2}{\displaystyle x^\phantom 1} \cdot \frac{\displaystyle y^2}{\displaystyle z^\phantom 1} = \frac{\displaystyle y^2z}{\displaystyle x^\phantom 1}$

Oppgave 3:

Regn ut og forkort mest mulig:

$\frac{\;\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}\;}{\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 3}}$

SkjermfilmSe film der utregningen vises
 

Oppgave 4:

Regn ut og forkort mest mulig:

$\frac{\;\frac{\displaystyle x^3y}{\displaystyle z^2}\;}{\frac{\displaystyle x^2y^4}{\displaystyle z}}$

SkjermfilmSe film der utregningen vises
 

Siden et tall alltid kan betraktes som en brøk med nevner 1, fungerer samme metode også hvis vi har et helt tall over eller under brøkstreken.

Eksempel 16:

$\frac{\;\displaystyle 2\;}{\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}} = 2 \cdot \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 3} = \frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 3}$

Eksempel 17:

$\frac{\;\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}\;}{\displaystyle 2} = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 8}$

Kilder

    • Birkeland, P.A., Breiteig, T. & Venheim, R. (2011). Matematikk for lærere 1. Universitetsforlaget

Brøk

Hva er brøk?

En brøk er et uttrykk på formen ${\large \frac{a}{b}}$, for eksempel ${\large \frac{2}{3}}$, og ${\large \frac{5}{2}}$.

En brøk består av 3 deler, teller, brøkstrek og nevner. Vi refererer ofte til telleren som «oppe», og nevneren som «nede».

Delene av en brøk

I bildet over vises brøkstreken som en horisontal strek. I noen lærebøker og på noen nettsider vil det imidlertid forekomme at brøkstreken er representert ved en skråstrek, «/», fordi dette passer bedre inn i teksten.

I denne artikkelen vil vi tenke på a og b som hele tall, men det er ikke noe krav at teller og nevner skal være hele tall for at vi skal definere noe som en brøk.

En brøk kan vi tenke på som deler av et hele, for eksempel kan vi tenke på ${\large \frac{3}{5}}$ som 3 deler av en helhet på 5:

Brøken 3/5 illustrert som deler av en sirkel

Nevneren i brøken angir hvor mange biter helheten er delt opp i, og telleren hvor mange av disse bitene vi har.

Fordeler med brøk

En brøk er egentlig et divisjonsstykke der brøkstreken erstatter divisjonssymbolet. Utfører vi divisjonen, får vi enten et helt tall eller et desimaltall. For eksempel ${\large \frac{6}{3}}=2$, $−{\large \frac{2}{5}} = −0,4$ og ${\large \frac{2}{3}} \approx 0,67$.

Siden en brøk alltid kan regnes om til et heltall eller desimaltall, kan hele begrepet virke overflødig. Men brøker er svært nyttige. Her er tre grunner til at vi trenger dem:

1. Med brøker kan vi angi størrelser som er mindre enn en enhet uten å bruke desimaltall. Når et desimaltall blir presentert som en brøk av heltall, er det mye lettere å danne seg et bilde av størrelsen enn ved desimaltall. For eksempel er det mye lettere å se for seg hvor mye ${\large \frac{1}{16}}$ pizza er enn hva 0,0625 pizza er.

2. Med brøker kan vi angi en divisjon eksakt uten å bruke rest. I noen tilfeller kan en brøk skrives som et eksakt desimaltall, slik som 2,5, men i andre tilfeller er det overhodet ikke mulig. Sier vi at ${\large \frac{2}{3}} \approx 0{,}67$, er desimaltallet rundet av, i virkeligheten inneholder det en uendelig rekke 6-tall bak komma.

3. Med brøker kan vi angi forhold mellom størrelser. For eksempel kan vi si at forholdet mellom gutter og jenter i en klasse er ${\large \frac{9}{13}}$, eller at forholdet mellom dager med og uten regn en periode var ${\large \frac{12}{19}}$.

Dersom telleren er mindre enn nevneren, har vi en ekte brøk, for eksempel ${\large \frac{2}{3}}$.

Varianter av brøk

Dersom telleren er større eller lik nevneren, har vi en uekte brøk, for eksempel ${\large \frac{11}{3}}$. En uekte brøk vil være større eller lik 1. Da kan vi trekke et heltall ut av brøken og stå igjen med et blanda tall, som består av et heltall og en ekte brøk. For eksempel kan ${\large \frac{11}{3}}$ skrives som ${3 \, \large \frac{2}{3}}$ som blanda tall.

Fordelen med blanda tall er at det er lett å se hvor mange hele som inngår. Men blanda tall har også ulemper. En av dem er at skrivemåten ${3 \, \large \frac{2}{3}}$, eller generelt ${c \, \large \frac{a}{b}}$, bryter med prinsippet fra algebraen om at elementer som stilles ved siden av hverandre skal multipliseres, slik for eksempel $2 {\large \frac{3}{x}}$ betyr $2 \cdot {\large \frac{3}{x}}$. En annen ulempe er at blanda tall gjør brøkregning mer komplisert. Bortsett fra på grunnleggende skolenivå er det da heller ikke vanlig å bruke blanda tall. Vi forkorter en brøk så langt det går, men så lar vi den stå, selv om den er uekte.

En brøk der telleren er lik 1, kalles en stambrøk. For eksempel er ${\large \frac{1}{4}}$ og ${\large \frac{1}{75}}$ stambrøker.

Brøker der teller og/eller nevner selv er en brøk, kalles brudden brøk.

Eksempel 1:

$\frac{\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}}{\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 3}}$ er en brudden brøk.

Det finnes uendelig mange brøker som har samme tallverdi. Disse kalles likeverdige brøker. For eksempel er ${\large \frac{3}{4}} = {\large \frac{6}{8}} = {\large \frac{−3}{−4}}$ likeverdige brøker.

Forkorte brøk

Alle likeverdige brøker kan reduseres til en brøk der teller og nevner ikke har felles faktorer. Det kalles å forkorte brøken og gjøres ved å faktorisere teller og nevner og stryke felles faktorer i teller og nevner mot hverandre.

Eksempel 2:

Forkorting av brøk

Her er to 2-tall i telleren strøket mot to 2-tall i nevneren.

Oppgave 1:

Forkort brøken så langt det er mulig:

$\frac{\displaystyle 735}{\displaystyle 882}$

SkjermfilmSe film der utregningen vises
 

Vi kan bare forkorte faktorer, altså tall som multipliseres, ikke tall som adderes eller subtraheres.

Eksempel 3:

$\frac{\displaystyle 2 + 4}{\displaystyle 2 + 6} \ne \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 6}$

Her kan vi ikke stryke 2-tallet i teller og nevner.

Forkorting er noe mange gjør feil, til og med studenter på universitetsnivå.

Vi kan også forkorte felles faktorer i en brøk som inneholder algebraiske uttrykk ved å stryke faktorer som opptrer både i teller og nevner.

Eksempel 4:

Forkorte brøk med algebraisk innhold

Det er selvfølgelig tungvint og unødvendig å skrive ut potensene på denne måten. I en brøk dividerer vi egentlig telleren på nevneren, og fra artikkelen om elementær algebra husker vi at når vi dividerer to potenser med samme grunntall, subtraherer vi eksponentene. Så vi kan ta eksponentene i telleren og trekke fra de motsvarende eksponentene i nevneren.

Eksempel 5:

$\frac{\displaystyle x^4y}{\displaystyle x^2y^5} = \frac{\displaystyle x^{4 − 2}y^{1 − 5}}{\displaystyle 1} = \frac{\displaystyle x^2y^{−4}}{\displaystyle 1} = \frac{\displaystyle x^2}{\displaystyle y^4}$

En faktor med negativ eksponent i teller kan vi skifte fortegn på og flytte til nevneren, slik vi har gjort med y(−4) i eksempel 5. Det betyr at vi i praksis kan forkorte ved å trekke den minste eksponenten fra den største, uansett om vi er i teller eller nevner.

Oppgave 2:

Forkort disse to brøkene så langt det går:

$\frac{\displaystyle x^5y^4z^2}{\displaystyle xy^2z^3}$

$\frac{\displaystyle 3x + 5y}{\displaystyle xy^2}$

SkjermfilmSe film der utregningen vises
 

Utvide brøk

Det motsatte av å forkorte en brøk er å utvide en brøk. Da multipliserer vi med samme tall i teller og nevner.

Eksempel 6:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} = \frac{\displaystyle 1 \cdot 4}{\displaystyle 3 \cdot 4} = \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 12}$

Å utvide en brøk er nødvendig når vi skal addere eller subtrahere brøker med forskjellig nevner.

Oppgave 3:

Utvid brøken under slik at nevneren blir $6x^3$

$\frac{\displaystyle x^2}{\displaystyle 3}$

SkjermfilmSe film der utregningen vises
 

Alle tall forskjellig fra 0 har en multiplikativ invers, som multiplisert med tallet blir 1. For eksempel er inversen til $2$ lik ${\large \frac{1}{2}}$ fordi ${2 \cdot \large \frac{1}{2}} = 1$. Inverse tall kalles også resiproke tall.

Den multiplikative inversen til en brøk finner vi ved å bytte om teller og nevner. For eksempel er inversen til ${\large \frac{3}{2}}$ lik ${\large \frac{2}{3}}$ og generelt er inversen til ${\Large \frac{a}{b}}$ lik ${\Large \frac{b}{a}}$.

Den inverse til en brøk kalles ofte den den omvendte brøk, fordi teller og nevner er byttet om.

Kilder

    • Birkeland, P.A., Breiteig, T. & Venheim, R. (2011). Matematikk for lærere 1. Universitetsforlaget
    • Gulliksen, T. (2000). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget