Stikkord: førstegradslikning

Publisert

Modellere med likninger

I den virkelige verden er det sjelden vi støter på problemstillinger i form av ferdig oppstilte likninger, som regel må vi selv stille opp likningene. Dette kan være utfordrende, men idet en likning er på plass, kan vi løse den ved hjelp av faste matematiske metoder. Å stille opp likninger som representerer en situasjon i den virkelige verden kaller vi gjerne å modellere med likninger.

Vi skal ikke her se på noen fast teknikk til å modellere med likninger, bare si at hvis vi skal løse et problem der en eller flere ukjente verdier skal bestemmes under gitte betingelser, kan en modell med likninger være et nyttig verktøy. Å modellere med likninger er en teknikk som kommer gjennom øvelse og erfaring.

Likningene vi trenger, kan være av forskjellig type. Vi skal se på noen eksempler.

Førstegradslikninger

Eksempel 1:

Johan kan velge mellom to typer mobilabonnement. Abonnement 1 har en fast pris på kr 200 per måned, i tillegg koster hver GB med data brukt kr 30. Abonnement 2 har en fast pris på kr 100 per måned, men hver GB brukt koster kr 40.

Det er klart at abonnement 2 er billigere enn abonnement 1 hvis Johan bruker lite data, og omvendt hvis han bruker mye data. Men vi ønsker å finne ut nøyaktig hvor mye data Johan må bruke per måned for at det lønner seg å velge abonnement 1.

Her skal vi finne en bestemt verdi under gitte betingelser, og vi kan bruke en likning til dette.

Trinn 1 blir å stille opp likningen. La oss kalle mengden data Johan bruker per måned for x. Med abonnement 1 vil den månedlige kostnaden bli 200 + 30x. Med abonnement 2 vil den månedlige kostnaden bli 100 + 40x. Kostnadene er like store når 200 + 30x = 100 + 40x.

Trinn 2 blir å løse likningen 200 + 30x = 100 + 40x. Dette er en førstegradslikning som vi løser ved å isolere x på venstre side av likhetstegnet og forenkle så langt det går.

200 + 30x = 100 + 40x
⇓
30x − 40x = 100 − 200
⇓
−10x = −100
⇓
x = 10

Abonnement 1 lønner seg hvis Johan bruker mer enn 10 GB per måned.

Se løsningsforslag

Oppgave 1:

Alea skal ha sommerjobb med å plukke jordbær. Hun kan velge å bli betalt etter alternativ 1, som er en fast dagslønn på kr 800, eller alternativ 2, som er en timebetaling på kr 50 og kr 5 per kurv hun plukker. Arbeidsdagen er 8 timer. Hvor mange kurver må Alea plukke per dag for at det skal lønne seg å velge alternativ 2?

Se løsningsforslag

En klassiker er grublis-oppgaver av typen «hvor gammel er». I stedet for å prøve og feile, kan vi ofte løse denne typen oppgave med likninger.

Eksempel 2:

Om 10 år er Samir dobbelt så gammel som han var for 5 år siden. Hvor gammel er Samir?

Kaller vi Samirs alder for x, vil han om 10 år være x + 10, og for 5 år siden var han x − 5. At han om 10 år er dobbelt så gammel som han var for 5 år siden, betyr at vi må ha 2 · (x − 5) = x + 10. Det er fort å bomme her, og multiplisere med 2 på feil side, men vi har altså at når han er x + 10 er han det dobbelte av x − 5, så det er x − 5 vi må multiplisere med 2.

Vi løser likningen:

2 · (x − 5) = x + 10
⇓
2x − 10 = x + 10
⇓
2x − x =10 + 10
⇓
x = 20

Samir er 20 år.

Så et litt mer komplisert eksempel:

Eksempel 3:

Astrid er halvparten så gammel som Torhild. Knut er tre år eldre enn Torhild. Til sammen er de 53 år gamle. Hvor gamle er Astrid, Torhild og Knut?

Her er mange opplysninger, så denne oppgaven kan være litt krevende å uttrykke matematisk. Men vi kan merke oss at både Astrids og Knuts alder er oppgitt i forhold til Torhilds. Vi velger derfor å kalle Torhilds alder for x.

Vi har da at

      • Torhild er x år.
      • Astrid er x/2 år.
      • Knut er x + 3 år.

Så vet vi at summen av disse aldrene er 53 år. Vi får derfor likningen x + x/2 + x + 3 = 53.

Vi løser likningen:

x + x/2 + x + 3 = 53
⇓
2x + x + 2x + 6 = 106
⇓
5x = 100
⇓
x = 20

Følgelig er x/2 = 10 og x + 3 = 23

Torhild er 20 år, Astrid er 10 år og Knut er 23 år.

Oppgave 2:

Ta utgangspunkt i eksempel 3, men la nå Astrids alder være den ukjente x. Still opp og løs den tilhørende likningen. Du skal få samme svar som i eksempel 3.

SkjermfilmSe film der likningen stilles opp og løses
 

Likningssett

Har vi flere uavhengige opplysninger, modellerer vi med likningssett.

Eksempel 4:

Vi vet at 1 kg tomat og 2 kg potet koster kr 46 til sammen, og at 2 kg tomat og 1 kg potet koster kr 53 til sammen. Så skal vi finne ut hva tomat og potet koster per kg.

La oss kalle prisen på tomat t og prisen på potet p, da er det lettere å huske hvilken ukjent som representerer hva, enn om vi kaller prisene x og y.

Vi har altså at 1t + 2p = 46 og 2t + 1p = 53. Dette er et likningssett med 2 likninger og 2 ukjente. Vi skal altså løse settet:

(I) t + 2p = 46
(II) 2t + p = 53

Vi kan velge å bruke innsettingsmetoden eller addisjonsmetoden. Her virker det som det enkleste er at vi lett kan finne et uttrykk for t fra (I): t + 2p = 46 ⇒ t = 46 − 2p

Vi setter inn 46 − 2p for t i (II), og får 2(46 − 2p) + p = 53 ⇒ 92 − 4p + p = 53 ⇒ −3p = −39 ⇒ p = 13

Vi fant tidligere at t = 46 − 2p, så t = 46 − 2 · 13 = 20

1 kg tomat koster kr 20 og 1 kg potet koster kr 13.

Oppgave 3:

1 stk. brokkoli og 2 stk. purre koster kr 55 til sammen. 2 stk. brokkoli og 4 stk. purre koster kr 110 til sammen.

Kan du ut fra disse opplysningene finne ut hva 1 stk. brokkoli og 1 stk. purre koster? Hvis ikke, hva er problemet?

Se løsningsforslag

Likninger med ukjent i eksponent

Eksempel 5:

Setter vi kr 1000 i banken og får 3 % rente pr. år, har vi etter 1 år

kr 1000 · 1,03

Siden vi får rente av rentene, har vi etter 2 år

kr (1000 · 1,03) · 1,03, altså kr 1000 · (1,03)2

Etter 3 år har vi

kr ((1000 · 1,03) · 1,03) · 1,03, altså kr 1000 · (1,03)3

og etter x år har vi

kr 1000 · (1,03)x

Så lurer vi på hvor mange år pengene må stå før vi passerer kr 1500 på konto.

En likning som beskriver problemet, er 1000 · (1,03)x = 1500. På venstre side av likhetstegnet har vi et uttrykk for beløpet vi har etter x år, og på høyre beløpet 1500, og vi skal finne ut hva x må være for at venstre side er lik høyre. Vi løser likningen:

1000 · (1,03)x = 1500
⇓ (Dividerer med 100 på begge sider. Dette er ikke nødvendig, men gir lavere tall å arbeide med.)
10 · (1,03)x = 15
⇓ (Tar logaritmen på begge sider)
ln(10 · (1,03)x) = ln 15
⇓ (Benytter at ln uv = ln u + ln v)
ln10 + ln 1,03)x = ln 15
⇓ (Benytter at ln ux = x ln u)
ln 10 + x ln 1,03 = ln 15
⇓
x = (ln 15 − ln 10)/ln 1,03
⇓
x ≈ 13,72

Siden x må være et helt tall, betyr dette at vi etter 14 år har passert kr 1500 på konto.

Oppgave 4

Et typisk prisfall på nye biler er 13 % per år. Med andre ord vil prisen på en bil et gitt år være lik prisen året før multiplisert med 0,87. Finn ut hvor mange år det vil gå før prisen på en bil til kr 350 000 er blitt lavere enn kr 200 000. Regn i hele år.

Se løsningsforslag

Prinsippet vi har brukt i alle eksemplene, er at vi først modellerer problemet vi skal løse, med en likning eller et likningssett. Vi har ikke angitt noen fast oppskrift på dette, men arbeider etter en såkalt heuristisk metode, ut fra erfaring og intuisjon. Når likningen(e) først er satt opp, bruker vi imidlertid kjente matematiske metoder i løsningsprosessen. Når vi har funnet en løsning, gir vi en tolkning av løsningen i den situasjonen vi modellerte. Det siste er viktig, vi nøyer oss ikke med å komme fram til verdiene til de ukjente, vi forklarer også hva resultatet betyr. I eksempel 1, for eksempel, nøyer vi oss ikke med å si at x = 10, vi forklarer at dette betyr at abonnement 1 lønner seg hvis Johan bruker mer enn 10 GB per måned. I dette eksempelet er tolkningen riktignok nokså opplagt, men i andre sammenhenger kan de matematiske resultatene være mer subtile, så det er en god vane å alltid ta med en tolkning av resultatet.

Kilder

Publisert

Førstegradslikninger

En algebraisk likning der den høyeste potensen av den ukjente er 1, kalles en førstegradslikning. For eksempel er 3x − 2 = x + 2 en førstegradlikning. Vi husker at x kan skrives som x1, så x er i første potens, selv om vi sløyfer å skrive 1-tallet.

En førstegradslikning kalles ofte også en lineær likning.

Løse førstegradslikninger

Vi kan tenke på en førstegradslikning som en skålvekt, der venstre skål inneholder det som står til venstre for likhetstegnet i en likning, og høyre skål inneholder det som står til høyre for likhetstegnet:

Skålvekt som illustrerer balanse i likning

Skålvekta er i balanse, og vår jobb er å få elementene organisert slik at den ukjente ligger alene på venstre skål, og vekta fremdeles er i balanse.

Vekta forblir i balanse selv om vi

    • adderer eller subtraherer samme verdi på begge sider.
    • multipliserer eller dividerer med samme verdi på begge sider. (Vi må da passe på å ikke dividere med 0.)

De fire grunnleggende regneoperasjonene nevnt over er alt vi trenger for å løse en førstegradslikning.

Hvilke regneoperasjoner vi skal gjøre, og i hvilken rekkefølge, når en likning skal løses, vil variere, og det kan ikke gis noen entydig oppskrift. Vi må imidlertid arbeide med å isolere den ukjente som mål. Planløs taktikk fører gjerne til unødvendige og kompliserende regneoperasjoner.

Eksempel 1:

Vi skal løse likningen 3x − 2 = x + 2.

Subtraherer x på begge sider av likningen:
3x − x − 2 = x − x + 2

Trekker sammen leddene med x:
2x − 2 = 2

Adderer 2 på begge sider av likningen:
2x − 2 + 2 = 2 + 2

Regner sammen:
2x = 4

Dividerer med 2 på begge sider av likningen:
x = 2

Vi skal nå være litt mer generelle og tenke oss at vi har vilkårlige tall på begge sider av likhetstegnet: x + b = c. Så ønsker vi å stå igjen med bare x på venstre side. Da adderer vi –b på begge sider: x + b – b = c – b. På venstre side blir b – b null, så vi står igjen med x = c – b. Sammenlikner vi med det vi startet med, ser vi at b-en har flyttet seg over til høyre side og skiftet fortegn. I praksis går vi derfor ikke gjennom den omstendelige prosedyren med å addere eller subtrahere på begge sider, vi flytter bare over og skifter fortegn. Dette er den såkalte «flytte-bytte»-regelen. Regelen er praktisk i bruk, men illustrerer ikke at det vi faktisk gjør, er å legge til eller trekke fra det samme på begge sider av likhetstegnet.

Fra nå av kommer vi til å bruke «flytte-bytte»-regelen for enkelhets skyld, men husk at det vi egentlig gjør, er å legge til eller trekke fra det samme på begge sider av likhetstegnet.

Utregningen i eksempel 1 vil vi gjøre så kortfattet som i eksempel 2:

Eksempel 2:

Vi skal løse likningen 3x − 2 = x + 2.

Flytter x over på venstre side, skifter fortegn og trekker sammen:
2x − 2 = 2

Flytter −2 over på høyre side, skifter fortegn og trekker sammen:
2x = 4

Dividerer med 2 på begge sider:
x = 2

Oppgave 1:

Under vises løsningen av en likning i fire trinn. Angi for hvert trinn hvilke regneregler som brukes. Det kan være det brukes flere regler i hvert trinn.

$\begin{align} 3(2x + 3) &= 12 + 3x \\
\; \\
6x + 9 &= 12 + 3x \\
\; \\
6x &= 3 + 3x \\
\; \\
3x &= 3 \\
\; \\
x &= 1 \end{align}$

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Sette prøve på svar

Når vi har løst en likning, kan vi sette prøve på svaret. Det gjør vi ved å sette svaret vårt inn som verdi for den ukjente på både venstre og høyre side av den opprinnelige likningen, og kontrollere at vi får samme svar på begge sider.

Eksempel 3:

Vi har løst likningen 3x − 2 = x + 2, funnet at x = 2, og skal sette prøve på svaret. Vi får

V.S.: 3x − 2 = 3 · 2 − 2 = 4

H.S.: x + 2 = 2 + 2 = 4

Begge sider er lik 4, så løsningen er riktig.

I eksempel 3 ser vi at vi regner ut venstre og høyre side hver for seg. Her står V.S. for «venstre side» og H.S. for «høyre side». Alternativt kan vi regne ut venstre og høyre side parallelt med en vertikal strek imellom. Det vi imidlertid ikke gjør, er å føre prøven med likhetstegn mellom sidene, for vi vet ikke om de er like, det er det vi skal kontrollere.

Eksempel 4:

Vi har løst likningen 3x − 2 = x + 2 feil, funnet at x = 3, og skal sette prøve på svaret:

3x − 2 = x + 2
3 · 3 − 2 = 3 + 2
7 = 5

I eksempel 4 ser vi at vi ender opp med å si at 7 er lik 5. Å sette likhetstegn mellom noe vi ikke vet er likt, kalles misbruk av likhetstegnet, og er noe vi skal unngå.

Oppgave 2:

Løs likningen 5x + 3x + 6 – 2 = 7x + 6 og sett prøve på svaret.

SkjermfilmSe film der likningen løses
 

Grafiske løsninger

Generelt har førstegradslikninger formen ax + b = 0, der a og b er vilkårlige tall, for eksempel 3x + 2 = 0. Hvis vi har en førstegradslikning som ikke har denne formen, kan vi omforme den ved å flytte alle leddene til venstre side og forenkle så langt som mulig.

Eksempel 5:

Vi skal skrive likningen fra eksempel 1 på formen ax + b = 0.

Vi har:
3x − 2 = x + 2

Flytter x over på venstre side, skifter fortegn og trekker sammen:
2x − 2 = 2

Flytter 2 over på venstre side, skifter fortegn og trekker sammen:
2x − 4 = 0

Likningen er nå på formen ax + b = 0, med a = 2 og b = −4.

Når en likning er på formen ax + b = 0, kan vi løse den grafisk ved å tegne opp grafen til funksjonen y = ax + b. Løsningen til likningen er da den verdien x har der grafen skjærer x-aksen, det vil si der y = 0.

Grafen til en førstegradsfunksjon er en rett linje, og vi kan tegne den for hånd ved å beregne to punkter på grafen og så trekke en rett linje gjennom punktene ved hjelp av en linjal. Det spiller ingen rolle hvilke punkter, men vi får en mer presis graf hvis vi velger punktene et stykke fra hverandre. Og å velge x = 0 som ett av punktene gir jo en enkel utregning. Det vi ikke gjør, er å velge mer enn to punkter, det gir en dårligere graf. Vi ser av og til studenter som velger mange punkter for å tegne grafen til en førstegradsfunksjon, og på grunn av unøyaktighet ender de opp med noe som ser ut som en slange som bukter seg mellom punktene.

I eksempel 5 har vi likningen 2x − 4 = 0, den tilhørende førstegradsfunksjonen blir y = 2x − 4. For å finne to punkter på grafen til denne kan vi for eksempel først velge x = 0, da får vi y = 2x − 4 = 2 · 0 − 4 = − 4. Velger vi så x = 4, får vi y = 2x − 4 = 2 · 4 − 4 = 4. Vi har da punktene (0, −4) og (4, 4), og kan tegne en rett linje gjennom dem. Vi vil se at grafen skjærer x-aksen i (2, 0). Løsningen til likningen 3x − 2 = x + 2 er altså x = 2, noe som stemmer med det vi fant ved regning i eksempel 1 og 2.

Vi kan også tegne grafen og finne skjæringspunktet med x-aksen i GeoGebra, slik det er vist under. Her har vi første skrevet 2x − 4 i inntastingsfeltet, og GeoGebra har tegnet opp grafen og kalt den tilhørende funksjonen f. Så har vi skrevet Skjæring(f, xAkse) for å finne punktet der grafen til f skjærer x-aksen. GeoGebra har kalt punktet A, markert det i grafikkfeltet, og angitt koordinatene i algebrafeltet.

Grafen til y = 2x - 4

Vi ser at skjæringspunktet med x-aksen er (2, 0). I dette tilfellet er skjæringspunktet et helt tall, men det kan være at skjæringspunktet ser ut til å være et helt tall, men egentlig ikke er det. I bildet under kan det for eksempel se ut som skjæringen er i x = 2, mens det egentlig er i x = 2,05. For å få den eksakte verdien bruker vi derfor funksjonen Skjæring i GeoGebra.

Skjæringspunkt som ikke er heltall

 

Oppgave 3:

Løs likningen 5x + 3x + 6 – 2 = 7x + 6 grafisk.

SkjermfilmSe film der likningen løses grafisk
 

Likninger med algebraiske symboler

Så langt har vi arbeidet med likninger der den ukjente har vært x, og de andre elementene tall. Men det er ikke noe i veien for at vi kan ha flere algebraiske symboler i en likning. Når vi skal løse en slik likning, må det være klargjort hvilket symbol som representerer den ukjente vi skal løse med hensyn på.

Eksempel 6:

Vi skal løse likningen 2u − v = 4u + v − 2 med hensyn på u. Målet er da å isolere u på venstre side av likhetstegnet.

Flytter 4u over på venstre side, skifter fortegn og trekker sammen:
−2u − v = v − 2

Flytter −v over på høyre side, skifter fortegn og trekker sammen:
−2u = −2v − 2

Dividerer med −2 på begge sider:
u = −v + 1

Vi har nå løst likningen med hensyn på u, for u er isolert på venstre side av likhetstegnet, og uttrykket på høyre side er forenklet så langt det går.

Vil vi sette prøve på svaret, erstatter vi u med løsningen −v + 1 på begge sider av likhetstegnet:

V.S.: 2u − v = 2(−v + 1) − v = −2v + 2 − v = −3v + 2

H.S.: 4u + v − 2 = 4(−v + 1) + v − 2 = −4v + 4 + v − 2 = −3v + 2

Begge sider er lik −3v + 2, så løsningen er riktig.

Oppgave 4:

Løs likningen fra eksempel 6, 2u − v = 4u + v − 2, med hensyn på v, og sett prøve på svaret.

Se løsningsforslag

Kilder