fortegnsskjema – nkhansen.com

I artikkelen om ulikheter så vi hvordan vi løste lineære ulikheter, altså ulikheter der høyeste potens av den ukjente var 1, for eksempel 17x + 10 > 30 + 27x. Løsningen til en slik ulikhet vil være på en form der den ukjente er mindre eller større enn en gitt verdi, for eksempel x < 2 eller x > 3. Løsningen utgjør altså ett enkelt uendelig stort område på tallinjen som ligger til venstre eller høyre for et gitt punkt.

Hvis en ulikhet ikke er lineær, det vil si at høyeste potens av den ukjente er større enn 1, vil løsningene kunne være mer sammensatte. Figuren under viser for eksempel grafen til y = x² − 4, som skjærer x-aksen i x = −2 og x = 2. Vi skjønner at løsningen til ulikheten x² − 4 < 0 da vil være området der grafen til y = x² − 4 ligger under x-aksen, det vil si når x er mellom −2 og 2, og løsningen til ulikheten x² − 4 > 0 vil være områdene der grafen til y = x² − 4 ligger over x-aksen, det vil si når x er mindre enn −2 eller større enn 2. Løsningene til ulikhetene x² − 4 ≥ 0 og x² − 4 ≤ 0 vil inkludere punktene −2 og 2 i løsningene.

Grafen til x^2 - 4

For å løse en ikke-lineær ulikhet, starter vi med å faktorisere polynomet på venstre side av ulikhetstegnet, slik det er beskrevet i artikkelen om å faktorisere polynomer.

Eksempel 1:

Vi skal løse ulikheten x² − 4 < 0.

Vi starter med å faktorisere polynomet x² − 4. Det gjør vi enklest ved å bruke 3. kvadratsetning baklengs, og vi får (x + 2)(x − 2).

Ulikheten kan vi altså skrive som (x + 2)(x − 2) < 0.

Så må vi finne ut hvilke verdier av x som gjør at (x + 2)(x − 2) < 0, altså hvilke verdier som gjør at (x + 2)(x − 2) blir et negativt tall.

Vi vet at produktet av to positive tall er et positivt tall, at produktet av to negative tall er et positivt tall, og at produktet av ett positivt tall og ett negativt tall er et negativt tall. Uttrykket (x + 2)(x − 2) vil derfor være negativt når én av faktorene (x + 2) eller (x − 2) er negativ, men ikke begge samtidig.

At faktoren (x + 2) er negativ, betyr at x + 2 < 0, altså at x < −2.

At faktoren (x − 2) er negativ, betyr at x − 2 < 0, altså at x < 2.

For å få oversikt over fortegnsskiftene i (x + 2)(x − 2), kan det være nyttig å tegne opp faktorene i et fortegnsskjema, slik som vist under.

Fortegnsskjema for (x + 2)(x − 2)

I fortegnsskjemaet tegner vi opp tallinjer for faktorene, der vi bruker stiplet linje for negative verdier og heltrukken linje for positive verdier. Så tegner vi også opp en tallinje for produktet av faktorene, som er stiplet når én av, men ikke begge tallinjene, er stiplet, slik at produktet er negativt.

Vi ser at linja til (x + 2)(x − 2) er stiplet når −2 < x < 2. Løsningen til ulikheten x² − 4 < 0 er altså −2 < x < 2. Dette stemmer med det vi kan leser ut av grafen til y = x² − 4, vist lengre opp.

Hvis vi har mer enn to faktorer i et fortegnsskjema, benytter vi at produktet av alle faktorene er negativt hvis et odde antall faktorer er negative, positivt ellers.

Fortegnsskjema kan vi tegne for hånd, eller vi kan bruke digitale verktøy. Fortegnsskjemaet i eksempel 1 er tegnet ved hjelp av linjestykker i GeoGebra, stiplede linjer for negative verdier og heltrukne linjer for positive verdier. I tillegg er det lagt inn forklarende tekst.

Se den tilhørende GeoGebra-fila

Tormod Lunestad har laget et fortegnslinjeprogram for Sinus, Cappelen Damm, som kan brukes fritt. Sigbjørn Hals har laget en veiledning for programmet. En ulempe med dette programmet ser imidlertid ut til å være at det ikke er mulig å lagre arbeidsfilene.

Eksempel 2:

Vi skal løse ulikheten −2x² − 12x > 10.

Vi flytter 10 over på venstre side med fortegnsskifte:

−2x² − 12x − 10 > 0.

Vi finner nullpunktene til polynomet på venstre side ved å bruke abc-formelen:

$x_{1, 2} = {\large \frac{−b \pm \sqrt{b^2 − 4ac}}{2a}} = {\large \frac{−(−12)\pm \sqrt{(−12)^2 −4 \cdot (−2) \cdot (−10)}}{2 \cdot (−2)}} = {\large \frac{12\pm \sqrt{64}}{−4}} = {\large \frac{12\pm 8}{−4}} = −3 \pm 2$

Som gir x₁ = −1 og x₂ = −5.

Vi benytter så at ax² + bx + c kan skrives som a(x − x₁)(x − x₂), slik vi så på siden Faktorisere polynomer. Så −2x² − 12x − 10 = −2(x − (−1)(x − (−5)) = −2(x + 1)(x + 5).

Vi tegner så opp fortegnsskjema. (x + 1) < 0 når x < −1, (x + 5) < 0 når x < −5, og så må vi ikke glemme at vi også har en faktor −2, som alltid er negativ. Skjemaet kan se slik ut:

Fortegnsskjema for −2(x + 1)(x + 5)

Vi ser at produktet er negativt når vi har tre negative faktorer og når vi har én negativ faktor, og positivt når vi har to negative faktorer. Siden vi i denne ulikheten skal finne ut når verdien til −2x² − 12x − 10 er større enn 0, vil svaret være det området der produktet er positivt. Så svaret er −5 < x < −1.

Et plott av grafen til y = −2x² − 12x − 10 viser at dette er riktig:

Grafen til y = −2x^2 − 12x − 10

Oppgave 1:

Løs ulikheten 2x² > −10x − 12.

Se løsningsforslag

Dersom en ulikhet er av høyere grad enn 2, vil vi ha samme utfordringer med å løse den som med likninger av høyere grad enn 2. De spesialtilfellene vi har diskutert i artikkelen om likninger av høyere grad, vil vi imidlertid kunne benytte oss av også når det gjelder å løse ulikheter.

Eksempel 3:

Vi skal løse ulikheten −2x³ + 10x² − 12x < 0.

Vi setter x utenfor parentes, og får x(−2x² + 10x − 12) < 0.

Vi finner nullpunktene til polynomet inni parentesen ved å bruke abc-formelen. Vi tar ikke med utregningen, men dette blir x₁ = 3 og x₂ = 2.

Vi benytter at ax² + bx + c kan skrives som a(x − x₁)(x − x₂), så −2x² − 12x − 10 kan skrives som = −2(x − 3)(x − 2). Hele uttrykket til venstre for ulikhetstegnet kan da skrives som −2x(x − 3)(x − 2).