Introduksjon til GeoGebra

Hva er GeoGebra?

GeoGebra er et dataprogram med mye funksjonalitet som er nyttig når vi arbeider med funksjoner. GeoGebra finnes for både Windows, Mac og Linux, og kan lastes ned fra Norsk GeoGebra-institutt. Her finnes også brukermanualer.

GeoGebra videreutvikles stadig, utseendet kan endre seg og menyer forandres. Det er derfor mulig at den versjonen av GeoGebra du kjører, ikke er nøyaktig slik det beskrives på dette nettstedet. Vi bruker en variant av versjon 5. GeoGebra er kommet i versjon 6, men det rapporteres imidlertid om en del feil, og flere som har prøvd ut den nye versjonen har gått tilbake til å bruke versjon 5. 

I GeoGebra kan vi velge mellom mange menyspråk. Når vi her refererer til menynavn, mener vi de navnene som gjelder når språket er satt til «Norwegian/Bokmål». Språk velges under «Innstillinger» – «Språk». Også funksjonsnavn endrer seg med språkvalg. Funksjonen som heter regnut på bokmål, for eksempel, heter reknut på nynorsk og expand på engelsk.

Hovedfelt

Når GeoGebra starter, må vi velge oppsett. I artiklene på dette nettstedet bruker vi alltid «Algebra og grafikk»:

Valg av GeoGebra-oppsett

Når vi har valgt «Algebra og grafikk», kommer GeoGebra opp i et vindu som vist under. Hoveddelene er «Meny», «Grafikkfelt», «Algebrafelt» og «Inntastingsfelt». Disse begrepene blir det referert til senere uten ytterlige forklaringer.

Hovedfelt i GeoGebra

Det finnes imidlertid flere felt, vi nevner et grafikkfelt nummer 2, et 3D-grafikkfelt, og CAS, som står for Computer Algebra System og brukes til symbolske beregninger. Enda flere muligheter finnes. Disse feltene kan vi skru av og på fra «Vis»-menyen:

Meny for å velge hvilke felt som skal vises i GeoGebra

Det er en dynamisk sammenheng mellom grafikkfeltet, inntastingsfeltet og algebrafeltet. Setter vi inn et punkt i grafikkfeltet, kommer koordinatene opp i algebrafeltet. Skriver vi koordinatene til et punkt i inntastingsfeltet, kommer koordinatene opp i algebrafeltet og punktet vises i grafikkfeltet når vi trykker linjeskift-tasten. (<enter>)

I bildet under har vi valgt «Nytt punkt» ved å klikke på menyen som viser en A og en prikk, og deretter i (2, 3) i grafikkfeltet. GeoGebra har så satt inn et punkt, A, i grafikkfeltet og viser koordinatene i algebrafeltet.

Vi har så skrevet (1, 1) i inntastingsfeltet. GeoGebra har satt inn et punkt, B, i grafikkfeltet og viser koordinatene i algebrafelte.

GeoGebra navngir, som vi ser, objektene fortløpende alfabetisk. Men vi kan overstyre dette. Skriver vi for eksempel G = (-2, 2), oppretter GeoGebra et punkt som heter G i (−2, 2):

Punkter satt inn i GeoGebra

Vi kan også endre navn på et objekt ved å høyreklikke på det og velge «Egenskaper».

Menyer

I utgangspunktet ser ikon-menyen ut som vist under:

Menyen i GeoGebra

Det finnes imidlertid undermenyer for hvert ikon, den får vi fram ved å klikke på den lille pila nede til høyre på ikonet:

Undermenyer i GeoGebra

Når vi velger fra undermenyen, byttes ikonet i verktøylinja ut.

Oppgave 1:

Last ned og installer GeoGebra hvis du ikke allerede har gjort det.

Sett inn et punkt A i (1, 2) og et punkt C i ( 4, 3) ved å skrive i inntastingsfeltet. Trekk så en linje mellom punktene ved å velge «Linjestykke mellom to punkt» fra verktøylinja. Utforsk verktøylinja til du finner det riktige valget.

Se løsningsforslag

Grafer

Når vi skal bruke GeoGebra til å tegne en graf, skriver vi funksjonsforskriften i inntastingsfeltet. GeoGebra viser den tilhørende grafen i grafikkfeltet mens vi skriver. Når vi taster trykker på linjeskift-tasten, avsluttes innskrivingen og GeoGebra viser den ferdige funksjonsforskriften i algebra-feltet.

Hvis vi ikke angir noe funksjonsnavn, kaller GeoGebra funksjonen for f(x). Skriver vi inn flere funksjonsforskrifter, blir funksjonene kalt g(x), h(x), og så videre alfabetisk.

Vil vi ha et annet navn, angir vi det før funksjonsforskriften, for eksempel v(x) = …

Eksempel 1:

Vi vil tegne grafene til funksjonene

        1. f(x) = 2x2
           
        2. g(x) = −x
           
        3. v(x) = 4x3

Da skriver vi følgende i inntastingsfeltet:

        1. 2x^2
           
        2.  -x
           
        3.  v(x) = 4x^3

For de to første funksjonene var det ikke nødvendig å angi funksjonsnavnet, men det krevdes for den siste, ellers ville navnet blitt h(x).

Vi ser at vi bruker en hatt (^) for å angi «opphøyd i».

Vær oppmerksom på at desimalskilletegn i GeoGebra er punktum, ikke komma. For å skrive for eksempel tallet 2,3, skriver vi 2.3, ikke 2,3. Skriver vi feil, får vi meldingen «Ulovlig argument». Komma brukes til å skille ting fra hverandre, for eksempel verdier i ei liste.

I utgangspunktet tegner GeoGebra grafene med svart, men det kan vi endre i Innstillinger-dialogboksen. Den får vi blant annet fram ved å velge «Rediger» – «Egenskaper».

For å endre farger klikker vi på fanen «Farge». Så klikker vi på navnet til funksjonen, og velger en farge fra paletten. I bildet under har vi gjort grafen til f(x) rød, g(x) blå og v(x) grønn.

Valg av farge til grafer i GeoGebra

Under fanen «Basis» kan vi endre funksjonsnavet og funksjonsforskriften og litt til.

Vi kan zoome og panorere ved å benytte undermenyene på knappen med krysset til høyre på menylinja. Vi henviser til brukermanualen for mer informasjon. Vi kan imidlertid også endre akseenhetene direkte ved å klikke på trekantsymbolet i Innstillinger-dialogboksen:

Valg av akseenheter i GeoGebra

I utgangspunktet er det ingen begrensninger i valget av x-verdier, men vi kan begrense x til et gitt intervall ved å bruke kommandoen «Funksjon», etterfulgt av funksjonsforskriften og start og sluttverdien på intervallet mellom hakeparenteser, atskilt med komma.

Eksempel 2:

Vi skal bruke GeoGebra til å tegne grafen til f(x) = −2x2 + 5x + 2, innenfor intervallet [0, 3].

Da skriver vi i inntastingsfeltet: funksjon(-2x^2 + 5x + 2, 0, 3)

Når vi bruker funksjon, godtar ikke GeoGebra at vi angir et eget funksjonsnavn. Det må vi i så fall endre senere i Innstillinger-dialogboksen.

Oppgave 2:

Bruk GeoGebra til å tegne grafen til f(x) = 4x3 − 48x2 + 144x, innenfor intervallet [0, 6]. Juster deretter enhetene på aksene slik at hele grafen får plass i grafikkfeltet.

Se løsningsforslag

Kilder

    • Bueie, H: (2011) GeoGebra for lærere. Universitetsforlaget

Representasjonsformer

Modeller

Vi har i flere artikler møtt funksjoner i tre forskjellige representasjonsformer:

  • Funksjonsforskrift, for eksempel f(x) = x2 + 3.
  • Graf.
  • Virkelig situasjon, for eksempel en ball i fritt fall.

En fjerde representasjonsform er tabeller, der vi har notert et sett med observasjoner. Da ønsker vi gjerne å finne en funksjonsforskrift som passer til dataene, noe vi kaller vi å lage en matematisk modell.

Eksempel 1:

Familien Hansen kjører hjemmefra til Oslo, en tur på ca. 320 kilometer. De første timene noterer barna hvor langt de har kjørt hvert kvarter:

 Kvarter 1 2 3 4 5 6 7 8
 Kilometer 22 38 58 80 104 122 138 161

Vi ser at de har kjørt om lag 20 kilometer hver gang de noterer. Et forslag til modell kan da være at de kjører med konstant fart, 20 km pr. kvarter. Det kan vi representere ved funksjonen f(x) = 20x. Et plott av punktene og f(x) er vist under.

En lineær modell

Vi ser at modellen i eksempel 1 ikke er helt nøyaktig, fordi grafen ikke går gjennom alle punktene. Dette skyldes at farten ikke har vært helt konstant. Unøyaktigheter vil ofte oppstå når vi modellerer fenomener fra virkeligheten. Modellen later allikevel til å være rimelig god, i dette tilfellet blir det nok vanskelig å finne noe bedre.

Vi må også være oppmerksom på at modellen har begrenset gyldighetsområde. Den kan ikke være gyldig for mer enn det antall timer turen varer. Og kommer familien til et sted med lavere fartsgrense eller dårligere vei, må de endre fart, og modellen er ikke lenger gyldig.

En modell kan ofte brukes til å si noe om fremtiden. I eksempel 1 kan vi for eksempel forutsi at familien etter 3 timer, altså 12 kvarter, vil ha kjørt om lag f(12) = 20 · 12 = 240 km.

Et svært interessant eksempel på matematisk modellering er himmellegemenes bevegelser. Gjennom århundrer er himmellegemene blitt observert, og mer og mer nøyaktige modeller for deres bevegelser utarbeidet. Ved hjelp av disse modellene kan en nå forutse astronomiske begivenheter som solformørkelser, måneformørkelser, kometbesøk og venuspassasjer på sekundet.

Eksempel 1 er en lineær modell fordi vi modellerer med en lineær funksjon, altså en funksjon på formen f(x) = ax + b. Men mange fenomener vil ikke være lineære.

Eksempel 2:

Et plott av antall mobilabonnementer i Norge fra 1980 til 2000 er vist under:

En eksponentiell modell

Grafen til en lineær funksjon er ei rett linje, og vi ser at vi ikke kan klare å trekke ei rett linje i nærheten av alle punktene. Derfor kan vi ikke bruke en lineær modell. I dette tilfellet har vi eksponentiell vekst, og må bruke en eksponentiell modell, slik det er beskrevet i artikkelen om eksponentialfunksjoner.

Lineære modeller

Som nevnt i artikkelen om polynomfunksjoner, er det nok å finne to punkter for å tegne grafen til en lineær funksjon, den er ei rett linje. Har vi gitt to punkter, kan vi også gå andre veien og finne funksjonsforskriften til grafen som går gjennom punktene. Det samme hvis vi kjenner ett punkt og stigningstallet til linja:

Koeffisienten a i den lineære funksjonen f(x) = ax + b er funksjonens stigningstall, og b er skjæringspunktet med y-aksen. Hvis a > 0, skrår linja oppover mot høyre. Hvis a < 0, skrår linja nedover mot høyre. Hvis a = 0, går linja parallelt med x-aksen i avstand b.

Hvis vi kjenner stigningstallet til ei linje og et punkt (x1, y1) på linja, kan vi finne funksjonsforskriften ved å sette a lik stigningstallet og finne b av likningen y1 = ax1 + bb = y1 ax1.

Oppgave 1:

Stigningstallet til ei linje er −1, og den går gjennom punktet (1, 2). Finn funksjonsforskriften for linja.

Se løsningsforslag

Hvis stigningstallet, a, i utgangspunktet er ukjent, men vi kjenner to punkter, (x1, y1) og (x2, y2) på linja, kan vi beregne a. Stigningstallet sier hvor mye y endrer seg når x endrer seg, så
$a = \frac{\displaystyle y_2 – y_1}{\displaystyle x_2 – x_1}$

Oppgave 2:

Ei linje går gjennom punktene (−2, −1) og (1, 5). Finn funksjonsforskriften for linja.

Se løsningsforslag

Grafer

Som vi har sett i flere artikler, er grafer en fin måte å danne seg et bilde av en funksjon på. For å tegne en graf, lager vi først et koordinatsystem med x– og y-akse i rett vinkel på hverandre, der x-aksen går horisontalt mot høyre, og y-aksen går vertikalt oppover. Dette kalles et kartesisk koordinatsystem, oppkalt etter matematikeren og filosofen René Descartes.

Så velger vi en del x-verdier, regner ut den tilhørende y-verdien og plotter punktene (x, y) i koordinatsystemet. Deretter trekker vi ei linje mellom dem. 

Har vi en lineær funksjon, er det nok med to punkter for å tegne grafen, som er ei rett linje. For andre funksjoner kan det kreves en mengde punkter for å få en god graf.

Ofte bruker vi dataprogrammer som GeoGebra til å tegne grafer, men å tegne en graf for hånd gir styrket forståelse.

Når vi tegner en graf, må vi også bestemme oss for hvilke verdier vi vil ha på aksene. Det finnes ingen fasit på dette, men som en tommelfingerregel bør vi velge verdier som gir en stor og tydelig graf.

Forholdet mellom verdiene på x– og y-aksen vil også ha betydning for hvordan grafen ser ut. Begge figurene under viser for eksempel grafen til f(x) = x2, men i det ene bildet er forholdet mellom aksene 1:1 og i det andre 1:10. Det siste gir en mye mer flattrykt graf.

Eksempel på akseverdienes betydning for grafens utseende Eksempel på akseverdienes betydning for grafens utseende

Akseverdiene trenger heller ikke alltid starte på null. I eksempel 2, med mobilabonnementene, starter for eksempel x-verdien på 1978, det ville være meningsløst å starte på 0 og ha en akse full av år da det ikke fantes mobiltelefoner.

Å velge «smarte» verdier på aksene kan brukes til å lage en graf som skaper et ønsket inntrykk. Dette ser vi av og til i media. Plottet under viser antall etterforskede forbrytelser i perioden 1997 til 1999. Den gir inntrykk av en formidabel økning, mens økningen i virkeligheten bare er ca. 10 %. Dette inntrykket skapes ved at vi på y-aksen ikke har startet på 0, men på ca. 376 000.

Eksempel på akseverdienes betydning for grafens utseende

Janviermatrisen

En systematisk sammenstilling av de 4 representasjonsformene finner vi i Janviermatrisen, eller Janviers tabell.

Fra/Til Situasjon Tabell Graf Funksjonsforskrift
Situasjon   Måling (1) Skisse (2) Modellering (3)
Tabell Avlesning (4)   Plotting (5) Tilpasning (6)
Graf Tolkning (7) Avlesning (8)   Kurvetilpasning (9)
Funksjonsforskrift Gjenkjenning (10) Beregning (11) Plotting (12)  

De forskjellige overgangene er:

  1. Måling. Vi utfører en aktivitet, gjør målinger underveis, og setter disse opp i en tabell.
     
  2. Skisse. Vi utfører en aktivitet og skisserer en graf som illustrerer aktiviteten, for eksempel fart som funksjon av tiden.
     
  3. Modellering. Vi utfører en aktivitet og prøver å finne en funksjonsforskrift som beskriver aktiviteten.
     
  4. Avlesning. Vi leser av innholdet i en tabell og beskriver en aktivitet disse dataene passer med.
     
  5. Plotting. Vi tegner punktene i en tabell inn i et koordinatsystem.
     
  6. Tilpasning. Basert på dataene i en tabell prøver vi å finne en funksjonsforskrift som vil gi samme data.
     
  7. Tolkning. Vi prøver å finne en virkelig situasjon som samsvarer med en graf.
     
  8. Avlesning. Vi leser av grafen for et antall x-verdier, finner de tilhørende y-verdiene og setter resultatet inn i en tabell.
     
  9. Kurvetilpasning. Vi prøver å finne en funksjonsforskrift som passer til grafen.
     
  10. Gjenkjenning. Vi prøver å finne en situasjon funksjonsforskriften beskriver.
     
  11. Beregning. Vi setter et antall x-verdier inn i en funksjon, får ut de tilhørende y-verdiene og setter resultatene opp i en tabell.
     
  12. Plotting. Som i punkt 11, men vi tegner en graf basert på x– og y-verdiene i stedet for å lage en tabell.

Kilder

    • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
    • Selvik, B. K. (2007). Algebra og funksjonslære. Caspar forlag

Funksjonsbegrepet

Hva er en funksjon?

Eksempel 1:

Dersom en bil kjører i 50 km/t, vil den etter x timer ha kjørt 50 · x kilometer. For eksempel har den etter x = 2 timer kjørt 50 · 2 = 100, altså 100 kilometer, og etter x = 3,5 timer 50 · 3,5 = 175, altså 175 kilometer. Uttrykket 50 · x er en formel som for alle mulige verdier av antall timer, x, gir oss svar på hvor langt bilen har kjørt. Det er for øvrig vanlig å sløyfe multiplikasjonstegnet i slike tilfeller, så vi skriver bare 50x.

En slik formel kalles gjerne en funksjon, og skrives f(x). I eksempel 1 har vi at f(x) = 50x. Uttrykket som beskriver hva funksjonen gjør, altså 50x, kalles gjerne funksjonsforskriften.

Eksempel 2:

Dersom en ball slippes fra et fly, vil den etter x sekunder ha falt om lag 5x2 meter, hvis vi ikke tar hensyn til luftmotstand. Funksjonen som beskriver om lag hvor langt den har falt etter x sekunder er altså f(x) = 5x2.

Vi kan se for oss en funksjon, f, som en boks der vi putter inn en verdi, x, og får ut en ny verdi, f(x), slik som illustrert under

Illustrasjon av funksjon som boks med data inn og ut

I stedet for f(x) skriver vi av og til y, for eksempel y = 5x2.

x og y kalles variabler. x heter uavhengig variabel fordi den kan varieres fritt. y heter avhengig variabel fordi verdien avhenger av verdien til x.

Dersom vi velger et tall, xa, og putter det inn i funksjonen, skriver vi f(a). Dersom vi for eksempel putter x = 3 inn i funksjonen i eksempel 1, får vi f(3) = 50 · 3 = 150.

Definisjons- og verdimengde

Selv om x er uavhengig, kan det finnes begrensninger på hvilke verdier som er tillatt. I eksempel 1 må vi for eksempel ha at x ≥ 0 fordi bilen ikke kan ha kjørt i mindre enn 0 timer. Hvis bilen stopper etter 5 timer, betyr det videre at x ≤ 5. I eksempel 2 må vi av samme grunn ha x ≥ 0, og det vil finnes en øvre grense for x bestemt av når ballen treffer bakken.

Mengden av tillatte verdier for x kalles funksjonens definisjonsmengde, Df. Hvis bilen i eksempel 1 stopper etter 5 timer, har vi at Df = [0, 5], altså mengden av alle reelle tall fra og med 0 til og med 5.

Mengden av tall funksjonen kan gi ut kalles funksjonens verdimengde, Vf. Hvis bilen i eksempel 1 stopper etter 5 timer, har vi at Vf = [0, 250], fordi når x (antall timer) varierer mellom 0 og 5, varierer f(x) (antall kilometer) mellom 0 og 250.

Oppgave 1:

Sidene i en rektangulær innhegning er henholdsvis x og 5 − x, slik som vist under:
Illustrasjon av innhegning

      1. Finn funksjonen, f(x), som beskriver hvordan arealet i innhegningen varierer med x.
         
      2. Hva er funksjonens definisjonsmengde?

Se løsningsforslag

Vi spurte ikke etter verdimengden i oppgave 1, den er ikke så lett å finne i dette tilfellet. I eksempel 1 fant vi grensene til verdimengden ved å sette grensene til definisjonsmengden inn i funksjonen, f(0) = 0 og f(5) = 250. Tilsvarende metode vil vi også kunne bruke på eksempel 2. Men i oppgave 1 får vi den laveste verdien ved begge grensene, f(0) = 0 og f(5) = 0. Den øvre verdien vil vi få for en x som ligger et sted mellom 0 og 5. På grunn av symmetrien skjønner vi kanskje at vi får størst areal når x ligger midt mellom 0 og 5, f(2,5) = 6,25. Verdimengden er Vf = [0, 6,25].

Grafer

For å illustrere hvordan f(x) varierer med x, er det vanlig å tegne en graf. Vi lager et koordinatsystem ved å la en vertikal tallinje stå vinkelrett på en horisontal tallinje, og plotter x horisontalt og f(x) vertikalt. Dette finnes en mengde dataprogrammer til å tegne grafer, vi skal fokusere på GeoGebra. Avanserte kalkulatorer kan også tegne grafer.

Grafene til eksempel 1, eksempel 2 og oppgave 1 er vist under. Legg merke til at vi bare tegner graf for verdier av x som er innenfor definisjonsmengden.

Grafen til f(x)=50x

Grafen til f(x) = 5x^2

Grafen til f(x) = -5x^2 + 5x

Navnsetting og konvensjoner

Fram til nå har vi hele tiden kalt den uavhengige variabelen for x, og funksjonen for f. Det er imidlertid helt i orden å bruke andre navn. I situasjoner der den uavhengige variabelen representerer tid, som i eksempel 1 og 2, er det vanlig å kalle variabelen t. I eksempel 1 ville vi for eksempel hatt f(t) = 50t. Arbeider vi med flere funksjoner samtidig, bør de ha forskjellig navn, for eksempel g(x), h(x), etc. g og h er valgt fordi de kommer etter f i alfabetet, men vi kan også godt velge navn som indikerer hva funksjonen gjør. v for en funksjon som beregner volum, eller a for en funksjon som beregner areal, slik som i oppgave 1, a(x) = −x2 + 5x.

Vi sa tidligere at vi kan skrive en enkelt bokstav, y, i stedet for det mer omstendelige f(x). Hva skal vi så velge – og når? Begge notasjonene har sine fordeler, f(x) indikerer tydelig at det dreier seg om en funksjon. Arbeider vi med flere funksjoner samtidig, kan vi lett skille dem fra hverandre ved å gi dem forskjellige navn, g(x), h(x), etc. I andre sammenhenger kan denne notasjonen bli litt klumpete. Det er for eksempel enklere å angi et punkt som (x, y) enn som (x, f(x)).

Selv om vi står fritt til å velge navn, er det allikevel konvensjoner vi bør respektere. Har vi for eksempel to variable, x og y, er det vanlig at x er den uavhengige og y er den avhengige variabelen. Å bytte disse rundt, slik som i x = f(y) vil skape forvirring. Så vi må håndtere at funksjoner og variable kan ha mange forskjellig navn, men samtidig være oppmerksom på at det finnes konvensjoner vi bør følge.

Kilder

    • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget