Stikkord: GeoGebra

Publisert

GeoGebra-filer

I en del artikler, først og fremst i artiklene om GeoGebra, men også i artiklene om funksjoner, lages illustrasjoner ved hjelp av GeoGebra. Det kan være lærerikt å studere hvordan de tilhørende GeoGebra-filene er bygget opp, og et utvalg filer er derfor tilgjengelig på nettstedet. Det refereres fortløpende til filene i teksten, her er en fullstendig oversikt:

Artikkel Beskrivelse Fil
GeoGebra, introduksjon Demonstrerer begrensning av x-verdier vha kommandoen Funksjon, og viser endring av enheter på aksene.

intervallbegrensning.ggb

 

GeoGebra, funksjonsanalyse

Viser hvordan vi finner en funksjons ekstremal- og skjæringspunkter. ekstrem_vende_skjaeringspunkter.ggb
Demonstrerer bruk av glidere. glidere.ggb
Bruker glidere til å finne $a$ og $b$ i funksjonen $f(t) = at + b$, slik at grafen blir liggende nærmest mulig et sett gitte punkter. simulert_fysikkforsoek.ggb
GeoGebra, delt funksjonsforskrift Demonstrerer bruk av Dersom-kommandoer til å lage delte funksjonsforskrifter. delt_funksjonsforskrift.ggb
Kontinuitet og grenser Ved hjelp av intervaller som kan justeres dynamisk illustreres definisjonen av grenseverdi. epsilon_delta.ggb
Trigonometriske funksjoner Viser utseende av ei fourierrekke der en dynamisk kan endre antall ledd. Her kan en studere hvordan ei tallrekke representeres i GeoGebra. fourierrekke.ggb
GeoGebra, integrasjon Illustrerer bruk av kommandoen IntegralMellom til å finne arealet mellom $f(x) = x + 1$ og $g(x) = x^2 – 2x + 1$ mellom integralgrensene $1$ og $2$. integralmellom.ggb
Illustrerer bruk av kommandoen IntegralMellom til å finne arealet mellom $g(x) = x + 1$ og $f(x) = x^2$. Her finnes integralgrensene implisitt som skjæringspunktet mellom kurvene. areal_under_og_mellom_kurver.ggb
Ved hjelp av kommandoene SumOver og SumUnder vises det hvordan vi kan illustrere et bestemt integral som en uendelig sum av rektangler. over_og_undersum.ggb
GeoGebra, trigonometri Her vises at sinus og cosinus til en vinkel som avstandene mellom aksene og skjæringspunktet mellom vinkelbeinet og enhetssirkelen. sinus_og_cosinus.ggb
Demonstrerer hvordan GeoGebra kan tegne grafene til sinus og cosinus dynamisk når vi endrer en vinkel. sinus_og_cosinus_graf.ggb
GeoGebra, derivasjon

Vi ser hvordan en tangents stigningstall kan brukes til å dynamisk tegne grafen til en funksjons deriverte.

derivert.ggb
Ved å dynamisk la en sekant nærme seg en tangent, illustreres definisjonen av den deriverte. sekant_og_tangent.ggb
GeoGebra, regresjon Viser bruken av funksjonen RegLin til lineær regresjon basert på fem punkter.  regresjon_1.ggb
Viser bruken av funksjonen RegLin til lineær regresjon basert på åtte punkter. regresjon_2.ggb
Viser bruken av funksjonen RegPot til regresjon med en potensfunksjon. regresjon_3.ggb

 

Publisert

Skjermfilmer, GeoGebra

Tabellen under gir en oversikt over alle skjermfilmer det refereres til på nettstedet, under temaet «GeoGebra».

Artikkel Beskrivelse Skjermfilm
Geogebra, funksjonsanalyse Vi bruker GeoGebra til å tegne grafen til funksjonen $z(x) = x^3 – 4x + 2$, og plotte punktene på grafen som har x-verdi $-1$ og $1$. graf og punkter
Vi illustrerer hvordan vi lager verditabeller i GeoGebra. verditabeller
Vi bruker glidere i GeoGebra til å studere hvordan forskjellige valg av $n$ påvirker grafen til funksjonen $f(x) = x^n$. glidere
GeoGebra, trigonometri Vi viser hvordan vi kan få GeoGebra til å tegne opp grafen til $\sin v$ når vi manuelt varierer $v$. lage sinuskurve
Vi illustrerer bruk av polarkoordinater i GeoGebra. polarkoordinater
GeoGebra, derivasjon Vi viser hvordan vi kan bruke GeoGebra til å tegne opp grafen til $f ′(x)$ når vi manuelt skyver på tangenten til $f(x)$. derivert som tangent
Vi viser hvordan vi kan bruke GeoGebra til å illustrere definisjonen til den deriverte. derivert som grensebegrep
GeoGebra, integrasjon Vi bruker GeoGebra til å beregne det ubestemte integralet $\int \sin 3x \; dx$. ubestemt integral
Vi bruker GeoGebra til å finne arealet under kurven $f(x) = x^2$ avgrenset av linjene $x = 0$ og $x = 2$, og arealet mellom kurvene $g(x) = x + 1$ og $f(x) = x^2$. areal under kurve
Vi demonstrerer hvordan over- og undersum kombinert med glidere i GeoGebra kan brukes til å illustrere hva et bestemt integral er. oversum og undersum
Publisert

Dynamiske ark i GeoGebra

Av og til kan det være nyttig å lage ei GeoGebra-fil som brukerne kan eksperimentere med uten å hente den inn i selve GeoGebra-programmet. Det kan vi gjøre ved å eksportere dynamiske ark som en webside. Gjør vi arkene tilgjengelige på Internett, kan hvem som helst åpne dem.

For å eksportere gjør vi følgende:

  1. Velger «Fil» – «Eksporter» – «Dynamisk ark som webside…».
     
  2. Velger fanen «Eksporter som webside».
     
  3. Skriver inn en tittel.
     
  4. Klikker på «Eksporter».
     
  5. Velger hva eksportfila skal hete og hvor den skal ligge.

Det kan være at vi må gi tillatelser for at det dynamiske arket skal kjøre, det får vi i så fall spørsmål om.

Det er også mulig at dynamiske ark ikke fungerer i alle nettlesere. 32-bits Internet Explorer ser ut til å gi problemer, men i 64-bits og Google Chrome fungerer det fint.

Det kan også skape problemer om det dynamiske arket er lagret på en nettverksdisk.

Oppgave 1:

GeoGebra-fil Klikk for å åpne GeoGebra-fila fra eksempel 1 i artikkelen om derivasjon
 

Lagre et dynamisk ark fra GeoGebra-fila på din egen PC. La tittelen være «Derivasjon 1» og filnavnet «derivasjon_1».

Se løsningsforslag

Oppgave 2:

Åpne den dynamiske fila du laget i oppgave 1 og eksperimenter med hva du kan gjøre av endringer.

Se løsningsforslag

Hva som er tillatt i et dynamisk ark bestemmes under eksporten. Hvis vi i punkt 3 i oppskriftslista klikker på fanen «Avansert», får vi opp en dialogboks med forskjellige valgmuligheter.

Oppgave 3:

  1. Gjenta det du gjorde i oppgave 1, men tillat høyreklikking. La tittelen være» Derivasjon 2″ og filnavnet «derivasjon_2».
     
  2. Gjenta det du gjorde i oppgave 1, men gjør nå også meny- og verktøylinjer er tilgjengelige. La tittelen være «Derivasjon 3» og filnavnet «derivasjon_3».

Se løsningsforslag

Oppgave 4:

Åpne de dynamiske arkene «derivasjon_2» og «derivasjon_3» fra oppgave 3 og undersøk hva du kan gjøre som du ikke kunne med «derivasjon_1» fra oppgave 1.

Det finnes ikke noe entydig løsningsforslag, men har du tillatt høyreklikking, kan du for eksempel skru av og på sporing og endre funksjonsforskriften. Åpner du for meny- og verktøylinje begynner det hele å likne et vanlig GeoGebra-vindu. Du har ikke inntastingsfelt, men det er også noe det går an å huke av for i fanen «Avansert».

Kilder

Publisert

CAS i GeoGebra

I GeoGebra kan vi bruke verktøyet CAS, Computer Algebra System til å utføre beregninger på symboler. Det vil si at CAS ikke bare er i stand til å gjøre aritmetikk, som å beregne at 2 + 3 = 5, men også utføre generelle algebraiske utregninger, som at a · a = a2.

Vi får fram CAS-vinduet ved å velge «Vis» – «CAS». Vi skriver så inn uttrykket vi vil forenkle og trykker linjeskift-tasten. (Enter)

I bildet under har vi skrevet inn uttrykket 3xy − 3x + 2xy + 5x, og GeoGebra har trukket det sammen så langt det går.

Bruk av CAS i GeoGebra

Oppgave 1:

Bruk CAS i GeoGebra til å forenkle uttrykkene

1: $4xy + 8z − 3xy + 5x − 3z$

2: $5m^2 − 3n − 3(m^2 + n) − (−m^2 − n)$

3: $\frac{\displaystyle {(a^{\large 2})}^{\large 3}a^{\large 4}}{\displaystyle {(a^{\large 3})}^{\large 2}}$

4: $x^2y^2x + x^3y^3x^{−1} − x^3y^2 + x \, y \, y \, y \, y \, y^{−1}x$
Hint: Hvis vi skriver inn uttrykket x y y y y y direkte, vil CAS tolke dette som ett langt variabelnavn. For å indikere at vi skal ha variabelen x multiplisert med variabelen y fem ganger, må vi skylle symbolene med multiplikasjons-operatoren stjerne, *.

Se løsningsforslag

Rotuttrykk

I GeoGebra beregner vi kvadratrøtter med kommandoen sqrt. For eksempel betyr sqrt(2) kvadratrota av 2. For andre former for røtter bruker vi kommandoen nrot eller nroot. Da må vi først oppgi hva vi skal trekke ut rota av, deretter hvilken rot vi skal trekke ut. For eksempel betyr nrot(8, 3) tredjerota av 8, mens nrot(3, 8) betyr åttenderota av 3.

Disse kommandoene kan vi skrive både i inntastingsfeltet og i CAS. Forskjellen er at inntastingsfeltet brukes mest til funksjonsforskrifter, for eksempel vil uttrykket sqrt(x^3) i inntastingsfeltet gi et plott av grafen til funksjonen $f(x)=\sqrt{x^3}$, mens det i CAS vil bli forenklet til $\sqrt x \, x$.

Eksempel 1:

Vi skal bruke GeoGebra til å forenkle uttrykket $\sqrt 8 + \sqrt 2$ mest mulig.

I CAS skriver vi sqrt(8) + sqrt(2), og GeoGebra forenkler uttrykket til $3 \sqrt 2$.

Dersom ikke uttrykket blir forenklet så langt vi ønsker, kan vi bruke kommandoen forenkle. For eksempel forenkle(sqrt(8) + sqrt(2)).

Oppgave 2:

Bruk CAS til å forenkle uttrykkene

1: $\sqrt[\Large 3]{x^4} \cdot \sqrt[\Large 3]{x^{\phantom 1}}$

2: $\frac{\displaystyle \sqrt{a^\phantom 1} \cdot \sqrt[\Large 4]{a^3} \cdot a}{\displaystyle \sqrt[\Large 8]{a^5} }$

Se løsningsforslag

Potenser av parentesuttrykk

Hvis vi vil bruke CAS i GeoGebra til å regne ut potenser av parentesuttrykk, for eksempel (a + b)2, bruker vi kommandoen RegnUt, for eksempel RegnUt((a + b)^2) for å illustrere første kvadratsetning.

CAS er spesielt nyttig ved mer kompliserte uttrykk, for eksempel (a + b + c)4, som kan være omstendelige å regne ut for hånd.

Oppgave 3:

Bruk CAS til å regne ut (x + 5)3.

Se løsningsforslag

Faktorisere polynomer

Vi kan faktorisere polynomer ved hjelp av kommandoen Faktoriser. For å faktorisere polynomet 2x2 − 10x + 12, for eksempel, skriver vi Faktoriser(2x^2 − 10x + 12). GeoGebra svarer med 2(x − 3)(x − 2). GeoGebra finner ikke faktorer som er komplekse tall.

Løse likninger

Vi kan bruke CAS til å løse likninger. Vi skriver da inn likningsuttrykket og trykker på «Løs» eller «Løs numerisk».

"Løs" og "Løs numerisk" i CAS

Forskjellen på «Løs» og «Løs numerisk» er at hvis løsningen involverer brøker eller rotuttrykk, vises disse med «Løs», mens de med «Løs numerisk» rundes av til desimaltall.

Vi kan også bruke kommandoen Løs eller Nløs for å gjøre det samme.

Løse likningssett

Vi kan også løse likningssett med CAS. Den letteste måten å gjøre det på er å legge inn likningene én for én, markere alle, og så klikke på «Løs» eller «Nøs Numerisk».

Eksempel 2:

Vi skal løse likningen 5x = 3 i CAS. Vi skriver inn 5x = 3. Trykker vi på «Løs», svarer GeoGebra ${\Large \lbrace} x = {\large \frac{3}{5}} {\Large \rbrace}$. Trykker vi på «Løs numerisk», svarer GeoGebra ${\Large \lbrace} x = 0.6 {\Large \rbrace}$.

Alternativt skriver vi løs(5x = 3) eller nløs(5x = 3).

Vi kan også skrive kommandoen løs eller nløs og oppgi likningene mellom krøllparenteser, samt de ukjente vi skal løse for mellom krøllparenteser.

Eksempel 3:

Vi skal løse likningssettet

2x + 3y + z = 37
3x + 2y + 3z = 45
3x + y + z = 33

I CAS legger vi inn likningene, én i hver rute. Deretter markerer vi alle likningene ved å klikke på rute «1», holde nede <skift> og klikke på rute «3». Så klikker vi på «Løs» eller «Nøs Numerisk». Siden løsningene er hele tall, spiller det i dette tilfellet ikke noen rolle hva vi velger. GeoGebra viser løsningen x = 8, y = 6, z = 3.

Løsning av likningssett i CAS

Alternativt skriver vi løs({2x + 3y + z = 37, 3x + 2y + 3z = 45, 3x + y + z = 33}, {x, y, z}). Vi kan også skrive nløs i stedet for løs.

Oppgave 4:

Bruk CAS til å løse likningssettet

(I) x + 3y − 2z = 5
(II) 3x + 5y + 6z = 7
(III) 2x + 4y + 3z = 8

Se løsningsforslag

Kilder

Publisert

Statistikk med GeoGebra

Søylediagram og histogram

For å kunne lage diagrammer på en effektiv måte i GeoGebra, må vi ta i bruk GeoGebras regneark. Hvis regnearket ikke allerede er framme, klikker vi på «Vis» – «Regneark».

Hvordan få fram regnearket i GeoGebra

Vil vi ha regnearket bort igjen, klikker vi på «Vis» – «Regneark» en gang til.

Blir det trangt om plassen, kan vi godt skjule algebrafeltet, det er ikke så interessant når vi skal lage diagrammer. Hvis algebrafeltet er framme, vil det forsvinne hvis vi klikker på «Vis» – «Algebrafelt».

Regnearket i GeoGebra fungerer på samme måte som andre regneark, for eksempel Excel, men har mindre funksjonalitet.

Arbeidsgangen ved å lage diagrammer er å først skrive dataene i regnearket og så skrive en kommando som refererer til dataene i inntastingsfeltet. Referanse til data gjøres gjennom å oppgi navnene på cellene der dataene befinner seg. Dette navnet består av kolonnenavnet satt sammen med radnummeret, for eksempel A1, for cella øverst til venstre.
NB! Kolonnenavn må angis med store bokstaver.

Kommandoen for å lage søylediagrammer er søylediagram, og kommandoen for å lage histogrammer er Histogram.

Søylediagram kan vi lage på flere måter. Én måte er å skrive inn alle verdiene i et område i regnearket, og i søylediagram-kommandoen angi navnet på cella øverst til venstre og cella nederst til høyre i dataområdet, atskilt med kolon. Vi må også angi ønsket søylebredde. 

Eksempel 1:

Vi skal lage et søylediagram som presenterer dataene fra eksempel 1 i artikkelen om måltall i statistikk, 140, 141, 137, 143, 145, 142, 139, 138, 139, 141, 144, 137, 138, 142, 140, 142, 140, 138, 135, 142, 144, 141, 148, 140, 149, 135, 141, 140, 139 og 137.

Vi skriver da inn verdiene i regnearket:

Regneark med dataliste i GeoGebra

Øvre, venstre celle i dataområdet er A1 og nedre, høyre D8. Det spiller ingen rolle at det er tomme celler i området, de blir ignorert av GeoGebra.

I inntastingsfeltet skriver vi søylediagram(A1:D8, 0.5), der 0.5 betyr at hver søyle skal ha en bredde på 0,5. GeoGebra lager et søylediagram i grafikkfeltet:

Søylediagram i GeoGebra

Det kan være vi må justere litt på aksene før vi ser diagrammet. Vi kan så endre farge, linjetykkelse, m.m. ved å høyreklikke på en av søylene og velge «Egenskaper».

Har vi algebrafeltet framme, ser vi at GeoGebra der presenterer tallet 15. Det virker jo litt underlig, siden vi har 30 celler med data. Men dette tallet angir ikke mengden data, men det totale arealet av søylene. Og siden søylebredden er 0,5 blir det totale arealet 30 · 0,5 = 15.

I stedet for å skrive inn hver forekomst av en verdi, kan vi angi hver verdi, og hvor mange ganger den forekommer. Vi angir da de forskjellige verdiene i én kolonne, antall forekomster i en annen. I søylediagram-kommandoen angir vi så første og siste celle i hver av kolonnene, i stedet for å angi alt som ett dataområde. 

Eksempel 2:

Vi skal lage et søylediagram som presenterer samme data som eksempel 1, men nå baserer vi oss på frekvenstabellen i eksempel 2 i artikkelen om måltall i statistikk, der vi har talt opp hvor mange ganger hver høyde forekommer, 135:2, 136:0, 137:3, 138:3, 139:3, 140:5, 141:4, 142:4, 143:1, 144:2, 145:1, 146:0, 147:0, 148:1, 149:1.

Vi skriver inn verdiene i regnearket:

Regneark med frekvensdata i GeoGebra

Her er høydene listet opp mellom celle A1 og A12 og antall forekomster mellom celle B1 og B12. I inntastingsfeltet skriver vi søylediagram(A1:A12, B1:B12, 0.5). 0,5 er som før søylebredden, som vi kan sette til hva vi vil.

GeoGebra tegner opp samme søylediagram som i eksempel 1.

Oppgave 1:

Bruk GeoGebra til å lage et søylediagram som viser fordeling av karakterene fra oppgave 1 i artikkelen om måltall i statistikk, altså 1, 4, 5, 5, 4, 1, 3, 4, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 3, 3, 1, 3, 2, 5, 6, 3, 1, 4, 2.
Søylebredden skal være 0,75.
Bruk både metoden fra eksempel 1 og fra eksempel 2.

Se løsningsforslag

For å lage histogrammer, må vi angi intervallgrensene samt høyden av hver søyle. Vi forklarer dette greiest gjennom et eksempel:

Eksempel 3:

Vi skal lage et histogram som viser fire intervaller med bredder på henholdsvis 5, 5, 10 og 20. Det er 5 målinger i hvert intervall:

 Intervall  [0, 5⟩ [5,10⟩ [10,20⟩ [20,40⟩
 Frekvens 5   5 5 5

Vi starter med å fylle ut intervall og frekvens, slik det står i tabellen over:

Regneark med grunnlagsdata for histogram i GeoGebra

Overskriftene er kosmetiske, de har ingen betydning for beregningene, og er der bare for å hjelpe oss å huske hva som er hva.

Vi har her angitt starten på hvert intervall i kolonne A, i tillegg til slutten på siste intervall. I kolonne B har vi skrevet inn frekvensen, altså antall forekomster i hvert intervall. Men vi trenger også høyden på hver søyle, og den er det enklest å la regnearket beregne selv. Vi starter med å lage en hjelpekolonne som inneholder bredden på hver søyle. Denne bredden er jo lik avstanden mellom starten på ett intervall og starten på neste. For å beregne bredden på første søyle, tar vi altså innholdet i celle A3 og trekker fra innholdet i celle A2. Dette kan vi gjøre direkte i regnearket ved å skrive = A3 – A2. Husk å skrive likhetstegnet!

Regneark med beregning av søylebredde i histogram i GeoGebra

I cella under skal det stå = A4 – A3, og så videre nedover. Men vi trenger ikke skrive inn dette selv. Hvis vi tar tak i nedre, høyre hjørne i celle C2 og drar nedover, fyller regnearket ut formlene selv.

Regneark med demonstrasjon av å dra ut formel i GeoGebra

Søylehøyden beregner vi så ved å dividere frekvensen på bredden. I celle D2 skriver vi = B2 / C2, og trykker <enter>. Så tar vi tak i nedre, høyre hjørne i cella og drar nedover. Resultatet blir slik:

Regneark med ferdig beregnede data til histogram i GeoGebra

Så gjenstår det bare å opprette selve histogrammet. Vi skriver histogram(A2:A6, D2:D5) i inntastingsfeltet. Her angir altså A2:A6 celleområdet med intervallgrenser, D2:D5 celleområdet med søylehøyder. GeoGebra lager et histogram som vist under, når vi har justert aksene litt.

Ferdig histogram laget med GeoGebra

Oppgave 2:

Bruk GeoGebra til å lage et histogram som viser fordeling av karakterene fra oppgave 1, med intervaller 1-2, 3, 4 og 5-6.

Her kan det være lurt å sentrere søylene om karakterene, slik at intervallene blir 0,5-2,5, 2,5-3,5, 3,5-4,5 og 4,5-6,5.

Se løsningsforslag

Boksplott

Et boksplott kan være en god måte å illustrere spredningen i et datasett på. Boksplottet under illustrerer for eksempel dataene fra eksempel 7 i artikkelen om måltall i statistikk, 13, 14, 17, 18, 18, 21, 23, 23, 27, 30 og 32. Her er laveste verdi 13, første kvartil 17, median 21, tredje kvartil 27 og høyeste verdi 32.

Boksplott laget med GeoGebra

Vi ser at de ytterste, vertikale strekene markerer laveste og høyeste verdi i datasettet, begynnelsen og slutten på boksen markerer første og tredje kvartil, og den vertikale streken inni boksen markerer medianen.

For å lage et boksplott bruker vi kommandoen boksplott. Skriver vi boksplott(1, 0.5, 13, 17, 21, 27, 32), tegner GeoGebra boksplottet vist over. Tallene 1 og 0,5 som står først, betyr at boksplottet skal sentreres rundt y=1 med avstand 0,5 fra senter til ytterlinje. Deretter følger laveste verdi, første kvartil, median, tredje kvartil og høyeste verdi.

Bredden måles altså fra senter til ytterlinje, slik at boksens totale bredde blir 1.

Eksempel 4:

Vi skal lage et boksplott sentrert rundt y=2 med total bredde 0,8, laveste verdi 1, første kvartil 3, median 4, tredje kvartil 6 og høyeste verdi 7. Vi skriver boksplott(2, 0.4, 1, 3, 4, 6, 7) i inntastingsfeltet. GeoGebra lager boksplottet under:

Boksplott laget med GeoGebra

Det er også mulig å lage et boksplott basert på settet med rådata. I stedet for å skrive laveste verdi, første kvartil, median, tredje kvartil og høyeste verdi, lister vi da opp rådataene mellom krøllparenteser, for eksempel boksplott(1, 0.5, {13, 14, 17, 18, 18, 21, 23, 23, 27, 30, 32}). Alternativt kan dataene legges inn i regneark-delen i GeoGebra. I stedet for å liste opp dataene, referer vi da til aktuelt celleområde, for eksempel, boksplott(1, 0.5, A1:A11), hvis dataene ligger i kolonne A, fra rad 1 til 11. 

Oppgave 3:

Lag et boksplott av dataene fra oppgave 5 i artikkelen om måltall i statistikk, 6, 25, 15, 8, 29, 14, 27, 30, 0, 29, 0, 2, 23, 125, 5, 30, 20, 10, 14. Plottet skal være sentrert rundt y=1 og ha total bredde 1. 

  1. Basert på rådataene.
     
  2. Basert på at laveste verdi er 0, første kvartil 6, median 15, tredje kvartil 29 og største verdi 125.

Se løsningsforslag

Sannsynlighetsfordelinger

GeoGebra har en egen sannsynlighetskalkulator som vi får fram ved å klikke på «Vis» – «Sannsynlighetskalkulator».

Bildet under viser en framstilling av sannsynligheten for antall kron i et kast med 5 mynter.

Illustrasjon av sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra

Forventning og standardavvik angis altså med de greske bokstavene μ og σ.

«Venstresidig» brukes hvis vi skal finne sannsynligheten for at X er mindre eller lik en verdi. «Intervall» brukes hvis vi skal finne sannsynligheten for at X ligger på og mellom to verdier, og «Høyresidig» brukes hvis vi skal finne sannsynligheten for at X er større eller lik en verdi.

De aktuelle verdiene kan vi enten skrive i utfyllingsfeltene nederst, eller sette ved å dra i pilene i underkant av kolonnene.

Binomisk fordeling

Vi skal nå illustrere hvordan vi gjør beregninger i en binomisk modell ved hjelp av sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra.

Eksempel 5:

Vi skal beregne forskjellige sannsynligheter for antall kron ved kast med 7 mynter. Hvis sannsynlighetskalkulatoren ikke er framme, tar vi den fram ved å velge «Vis» – «Sannsynlighetskalkulator».

Vi har en binomisk sannsynlighetsmodell. n = 7 fordi vi gjør 7 kast, og p = 0,5 fordi sannsynligheten for suksess er 0,5. Vi velger «Binomisk fordeling» og setter «n» til 7 og «p» til 0,5. GeoGebra regner ut at fordelingens forventningsverdi er μ = 3,5 og standardavviket σ ≈ 1,3229:

Sannsynlighetskalkulatoren stilt inn for å beregne binomisk sannsynlighet

Så skal vi finne

  1. Sannsynligheten for 3 kron.
    Vi klikker på symbolet for «Intervall» og angir 3 som både øvre og nedre grense. GeoGebra presenterer svaret 0,2734.
    Sannsynlighetskalkulatoren stilt inn for intervallsannsynlighet
     
  2. Sannsynligheten for 1 kron eller mindre.
    Vi klikker på symbolet for «Venstresidig» og angir 1 som øvre grense. GeoGebra presenterer svaret 0,0625.
    Sannsynlighetskalkulatoren stilt inn for venstresidig sannsynlighet
     
  3. Sannsynligheten for 5 kron eller mer.
    Vi klikker på symbolet for «Høyresidig» og angir 5 som nedre grense. GeoGebra presenterer svaret 0,2266.
    Sannsynlighetskalkulatoren stilt inn for høyresdidig intervall

I stedet for å angi X-verdiene ved å skrive inn tall, kan vi også dra i pil-symbolene under kolonnene.

Oppgave 4:

La X betegne antall kron i 8 kast med en juksemynt der sannsynligheten for kron er 0,6. Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å beregne

  1. ​Fordelingens forventningsverdi og standardavvik.
     
  2. P(X = 4)
     
  3. P(X ≤ 2)
     
  4. P(X > 6)

Se løsningsforslag

Hypergeometrisk fordeling

Når vi skal gjøre beregninger i en hypergeometriskmodell ved hjelp av sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra, velger vi naturligvis «Hypergeometrisk fordeling».

Parameterne heter imidlertid noe annet enn det vi har kalt dem i artikkelen om diskrete sannsynlighetsfordelinger. Grunnmengden N heter «populasjon», mengden spesielle elementer, M, heter «n» og antall vi trekker, n, heter «utvalg».

Eksempel 6:

Bildet under viser hva vi fyller ut for å beregne sannsynligheten for å få en hånd med akkurat 2 spar når vi trekker 5 kort fra en full stokk.

Sannsynlighetskalkulatoren stilt inn for å beregne hypergeometrisk sannsynlighet

«Populasjon» er antall kort totalt, altså 52, «n» er antall spar totalt, altså 13 og «utvalg» er antall kort vi trekker, altså 5.
Så angir vi et intervall som både begynner og slutter med 2, og får som svar at sannsynligheten er om lag 0,2743.

Denne beregningen gjorde vi med formler i eksempel 4 i artikkelen om diskrete sannsynlighetsfordelinger.

Oppgave 5:

I en forening med 65 medlemmer er 13 negative til et forslag.

Bruk sannsynlighetskalkulatoren til å finne fordelingens forventning og standardavvik.

Anta at vi velger 20 representanter tilfeldig fra gruppen. Bruk sannsynlighetskalkulatoren til å finne sannsynligheten for at

  1. Ingen av representantene er negative.
     
  2. Én av representantene er negativ.
     
  3. To eller flere av representantene er negative.

Disse beregningene gjorde vi for hånd i oppgave 4 og 3 i artikkelen om diskrete sannsynlighetsfordelinger.

Se løsningsforslag

Poissonfordeling

Når vi skal gjøre beregninger i en poissonfordelt modell ved hjelp av sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra, velger vi naturligvis «Poissonfordeling».

Her heter imidlertid ikke hyppigheten λ, men «μ». Det er et naturlig valg, siden forventningsverdien i en poissonfordeling er lik λ.

Eksempel 7:

Bildet under viser hva vi fyller ut for å beregne sannsynligheten for 7 trær i et skogsområde når λ = 8, som vi regnet ut i eksempel 5 i artikkelen om diskrete sannsynlighetsfordelinger.

Sannsynlighetskalkulatoren stilt inn for å beregne poissonsannsynlighet

Vi får som svar at sannsynligheten er om lag 0,1396.

Oppgave 6:

I en vannprøve er det i gjennomsnitt to hoppekreps. Anta at mengden hoppekreps er poissonfordelt, og bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å finne sannsynligheten for at en annen, like stor vannprøve inneholder

  1. Ingen hoppekreps.
     
  2. Én hoppekreps.
     
  3. To eller flere hoppekreps.

Disse beregningene gjorde vi for hånd i oppgave 5 i artikkelen om diskrete sannsynlighetsfordelinger.

Se løsningsforslag

Normalfordeling

Når vi skal gjøre beregninger i en normalfordelt modell ved hjelp av sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra, velger vi naturligvis «Normalfordeling».

Vi må da fylle ut fordelingens forventning, «μ», og standardavvik, «σ».

Eksempel 8:

Bildet under viser hva vi fyller ut for å beregne sannsynligheten for at en person er mellom 170 og 180 cm når forventningen er 177 cm og standardavviket 7 cm. Vi ser at GeoGebra finner verdien 0,5072.
Dette regnet vi ut ved hjelp av tabeller i eksempel 4, punkt 3 i artikkelen om normalfordelingen. Da fikk vi 0,5077, som ikke er helt korrekt på grunn av avrundingsfeil i standardiseringen.

Sannsynlighetskalkulatoren stilt inn for å beregne normalfordelt sannsynlighet

Oppgave 7:

På en eksamen er resultatene normalfordelt med en forventning på 14 poeng og et standardavvik på 2, N(14, 22). Laveste poengsum for å stå er 12 poeng. Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å beregne hvor stor del av de som tar eksamenen kan forventes å stryke.

Dette regnet vi ut for hånd i oppgave 2 i artikkelen om normalfordelingen.

​Se løsningsforslag

Diskret fordeling og normaltilnærming samtidig

I en diskret sannsynlighetsfordeling kan vi samtidig vise en tilnærmet normalfordeling ved å klikke på knappen med den røde normalfordelingskurven. Bildet under viser en binomisk fordeling med 20 forsøk og suksess-sannsynlighet 0,6, der den tilhørende normalfordelingen er tegnet inn.

Sannsynlighetskalkulatoren viser både binomisk og normalfordelt sannsynlighet

Konfidensintervaller

Sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra gir også mulighet for å beregne konfidensintervaller og utføre tester. Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren og klikker på fanen «Statistikk».

Valg av statistikkfunksjon i sannsynlighetskalkulator

Så velger vi type estimat, avhengig av hvilken modell vi er i.

Målemodell, kjent standardavvik

For å lage et konfidensintervall for et gjennomsnitt i en målemodell når en populasjons standardavvik er kjent, velger vi «Z-estimat av et gjennomsnitt». Så angir vi ønsket konfidensnivå, gjennomsnitt, standardavvik og antall målinger.

GeoGebra beregner grensene i konfidensintervallet.

Eksempel 9:

Vi skal finne et 95 % konfidensintervall for et gjennomsnitt i en normalfordelt populasjon med kjent standardavvik 0,7. Vi har målt 13 elementer, og funnet et gjennomsnitt på 4,14.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, velger «Statistikk» og fyller ut som vist under.

Beregning av 95 % konfidensintervall i sannsynlighetskalkulator, n-fordeling

GeoGebra beregner at konfidensintervallet er om lag [3,7595, 4,5205].

Dette regnet vi ut for hånd i eksempel 4 i artikkelen om estimering.

Oppgave 8:

Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å beregne et 99 % konfidensintervall for dagsproduksjonen av støtfangere, basert på at gjennomsnittet målt over seks dager er X = 217 enheter og at produksjonen er normalfordelt med standardavvik σ = 5,8.

​Se løsningsforslag

Målemodell, ukjent standardavvik

For å lage et konfidensintervall for et gjennomsnitt i en målemodell når en populasjons standardavvik er ukjent, velger vi «T-estimat av et gjennomsnitt». Så angir vi ønsket konfidensnivå, gjennomsnitt, utvalgsstandardavvik og antall målinger.

GeoGebra beregner grensene i konfidensintervallet.

Eksempel 10:

Vi skal finne et 95 % konfidensintervall for et gjennomsnitt i en normalfordelt populasjon der vi har målt 13 elementer, og funnet et gjennomsnitt på 4,14 og et utvalgsstandardavvik på 0,71.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, velger «Statistikk» og fyller ut som vist under.

Beregning av 95 % konfidensintervall i sannsynlighetskalkulator, t-fordeling

GeoGebra beregner at konfidensintervallet er om lag [3,711, 4,569].

Dette regnet vi ut for hånd i eksempel 8 i artikkelen om estimering.

Oppgave 9:

Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å beregne et 90 % konfidensintervall for dagsproduksjonen av støtfangere, basert på at gjennomsnittet målt over seks dager er X = 217 enheter og at utvalgsstandardavviket er beregnet til S = 6.

​Se løsningsforslag

Binomisk modell

For å lage et konfidensintervall for en sannsynlighet i en binomisk modell, velger vi «Z-estimat av en andel». Så angir vi ønsket konfidensnivå, antall suksesser og antall forsøk totalt.

GeoGebra beregner grensene i konfidensintervallet.

Eksempel 11:

Vi skal finne et 95 % konfidensintervall for sannsynligheten for kron hos en mynt som har gitt kron i 33 av 50 kast.

For å estimere et konfidensintervall til en sannsynlighet bruker vi menyvalget «Z-estimat av en andel» i sannsynlighetskalkulatoren.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, velger «Statistikk» og fyller ut som vist under.

Beregning av 95 % konfidensintervall i sannsynlighetskalkulator, binomisk modell

GeoGebra beregner at konfidensintervallet er om lag [0,5287, 0,7913].

Dette regnet vi ut for hånd i eksempel 9 i artikkelen om estimering.

Oppgave 10:

Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å beregne et 95 % konfidensintervall for sannsynligheten for at en vilkårlig mobillader er defekt, når det blant 2000 stikkprøver ble funnet 35 defekte.

​Se løsningsforslag

Hypotesetester

Under fanen «Statistikk» i sannsynlighetskalkulatoren kan vi også utføre hypotesetester. GeoGebra beregner da blant annet en såkalt P-verdi. P-verdien er, gitt at nullhypotesen er sann, sannsynligheten for et resultat som er likt med eller mer ekstremt enn det observerte. Definisjonen er tung, men anvendelsen enkel: Hvis P-verdien er mindre enn testens signifikansnivå, kan nullhypotesen forkastes.

Binomisk modell

For å gjøre en hypotesetest i en binomisk modell, velger vi «Z-test av en andel». Så angir vi nullhypotesen, om vi ønsker en venstresidig, høyresidig eller tosidig test, antall suksesser og antall forsøk totalt.

GeoGebra beregner Z-verdi og P-verdi.

Eksempel 12:

Vi skal gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om en mynt som gir 524 kron i 1000 kast har større sannsynlighet enn 0,5 for å få kron.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, velger «Statistikk» og fyller ut som vist under.

Hypotesetest i binomisk modell

Vi angir altså «p = 0,5» som verdien i nullhypotesen fordi dette er sannsynligheten for at en normal mynt gir kron. Så velger vi «>» for den alternative hypotesen fordi dette er en høyresidig test.

GeoGebra regner ut at verdien til testobservatoren blir om lag Z ≈ 1,5179. Dette regnet vi ut for hånd i eksempel 2 i artikkelen om hypotesetesting.

Denne verdien kan vi så sammenlikne med zα = z0,05 ≈ 1,6449, og konkludere med at vi ikke kan forkaste nullhypotesen. Men det trenger vi ikke, for GeoGebra gir også ut P-verdien 0,0645. Siden P-verdien ikke er mindre enn signifikansnivået på 0,05, kan ikke nullhypotesen forkastes.

Oppgave 11:

Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om henholdsvis 20 av 100 og 200 av 1000 seksere ved terningkast tyder på at terningen gir for mange seksere.

​Se løsningsforslag

Målemodell, kjent standardavvik

For å gjøre en hypotesetest i en målemodell med kjent standardavvik, velger vi «Z-test av et gjennomsnitt». Så angir vi nullhypotesen, om vi ønsker en venstresidig, høyresidig eller tosidig test, gjennomsnitt, standardavvik og antall målinger..

GeoGebra beregner Z-verdi og P-verdi.

Eksempel 13:

Vi skal gjøre en hypotesetest på 1 % signifikansnivå på om en maskin som i snitt skal gi ut 10 ml. olje, normalfordelt med et standardavvik på 0,65, gir ut for mye olje, når gjennomsnittsmengden i 20 målinger i snitt er 10,5 ml.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, velger «Statistikk» og fyller ut som vist under.

Hypotesetest i målemodell, standardavvik kjent

Vi angir altså «μ = 10» som verdien i nullhypotesen fordi dette er den oljemengden maskinen forventes å gi ut. Så velger vi «>» for den alternative hypotesen fordi dette er en høyresidig test.

GeoGebra regner ut at verdien til testobservatoren blir om lag Z ≈ 3,4401. Dette regnet vi ut for hånd i eksempel 3 i artikkelen om hypotesetesting.

Denne verdien kan vi så sammenlikne med zα = z0,01 ≈ 2,3263, og konkludere med at vi kan forkaste nullhypotesen. Men det trenger vi ikke, for GeoGebra gir også ut P-verdien 0,0003. Siden P-verdien er mindre enn signifikansnivået på 0,01, kan nullhypotesen forkastes.

Målemodell, ukjent standardavvik

For å gjøre en hypotesetest i en målemodell med ukjent standardavvik, velger vi «T-test av et gjennomsnitt». Så angir vi nullhypotesen, om vi ønsker en venstresidig, høyresidig eller tosidig test, gjennomsnitt, utvalgsstandardavvik og antall målinger..

GeoGebra beregner Z-verdi og P-verdi.

Eksempel 14:

Vi skal gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om en maskin som normalfordelt i snitt skal gi ut 425 gram bønner gir ut feil mengde, når gjennomsnittsmengden i 20 målinger i snitt er 427,5 gram. Utvalgsstandardavviket er 5 gram.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, velger «Statistikk» og fyller ut som vist under.

Hypotesetest i målemodell, basert på utvalgsstandardavvik

Vi angir altså «μ = 425» som verdien i nullhypotesen fordi dette er den mengden bønner maskinen forventes å gi ut. Så velger vi «≠» for den alternative hypotesen fordi dette er en tosidig test.

GeoGebra regner ut at verdien til testobservatoren blir om lag t ≈ 2,2361.

Denne verdien kan vi så sammenlikne med t0,025 (19) ≈ 2,0930, og konkludere med at vi kan forkaste nullhypotesen. Men det trenger vi ikke, for GeoGebra gir også ut P-verdien 0,0375. Siden P-verdien er mindre enn signifikansnivået på 0,05, kan nullhypotesen forkastes.

Oppgave 12:

Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om angitt gjennomsnittlig ventetid på 30 sekunder på en telefontjeneste er satt for lavt når 15 oppringninger gir en gjennomsnittlig ventetid på 37 sekunder, med et standardavvik på 14.

​Se løsningsforslag

Hypotesetester mellom to utvalg

Målemodell, standardavvik kjent

For å gjøre en hypotesetest mellom to utvalg i en målemodell, når standardavvik i begge utvalg er kjent, velger vi «Z-test. Forskjell mellom gjennomsnitt». Så angir vi nullhypotesen, det vil si forventet forskjell på to gjennomsnitt, om vi ønsker en venstresidig, høyresidig eller tosidig test, gjennomsnitt, standardavvik og antall målinger i hvert av de to utvalgene.

GeoGebra beregner Z-verdi og P-verdi.

Eksempel 15:

Vi skal gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om det er forskjell på mengden sukker to maskiner tilsetter en matvare. Maskin X opererer med et standardavvik på 0,11, og 70 stikkprøver viser at den i snitt tilsetter 10,103 gram sukker. Maskin Y opererer med et standardavvik på 0,13, og 85 stikkprøver viser at den i snitt tilsetter 10,069 gram sukker. 

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, velger «Statistikk» og fyller ut som vist under.

Hypotesetest mellom to utvalg i målemodell, standardavvik kjent

Vi angir altså «μ1 = μ2 = 0» som nullhypotese, altså at de to gjennomsnittene er like. Så velger vi «≠» for den alternative hypotesen fordi dette er en tosidig test.

GeoGebra regner ut at verdien til testobservatoren blir om lag Z ≈ 1,7636. Dette regnet vi ut for hånd i eksempel 5 i artikkelen om å sammenlikne datasett.

Denne verdien kan vi så sammenlikne med Z0,025 ≈ 1,9600, og konkludere med at vi ikke kan forkaste nullhypotesen. Men det trenger vi ikke, for GeoGebra gir også ut P-verdien 0,0778. Siden P-verdien ikke er mindre enn signifikansnivået på 0,05, kan ikke nullhypotesen forkastes.

Oppgave 13:

Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å gjøre samme test som i eksempel 15, men basert på at 60 stikkprøver av maskin X gir et snitt på 10,107 gram sukker, og 75 stikkprøver av maskin Y gir et snitt på 10,061 gram sukker. Standardavvikene kan forutsettes å være de samme, 0,11 gram for maskin X og 0,13 gram for maskin Y.

​Se løsningsforslag

Målemodell, standardavvik ukjent

For å gjøre en hypotesetest mellom to utvalg i en målemodell, når standardavvik i ett eller begge utvalg er ukjent, velger vi «T-test. Differanse mellom gjennomsnitt». Så angir vi nullhypotesen, det vil si forventet forskjell på to gjennomsnitt, om vi ønsker en venstresidig, høyresidig eller tosidig test, gjennomsnitt, utvalgsstandardavvik og antall målinger i hvert av de to utvalgene.

GeoGebra beregner t-verdi og P-verdi.

Eksempel 16:

Vi skal gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om det er forskjell på frukthøsten fra to trær, av type X og Y når 13 trær av type X i gjennomsnitt gir 45,154 kg med et utvalgsstandardavvik på 7,998 og 12 trær av type X i gjennomsnitt gir 42,250 kg med et utvalgsstandardavvik på 8,740.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, velger «Statistikk» og fyller ut som vist under.

Hypotesetest mellom to utvalg i målemodell, standardavvik ukjent

Vi angir altså «μ1 = μ2 = 0″ som nullhypotese, altså at de to gjennomsnittene er like. Så velger vi «≠» for den alternative hypotesen fordi dette er en tosidig test.

GeoGebra regner ut at verdien til testobservatoren blir om lag t ≈ 0,8644. Dette regnet vi ut for hånd i oppgave 3 i artikkelen om å sammenlikne datasett.

Denne verdien kan vi så sammenlikne med t0,025 (23) ≈ 2,0687, og konkludere med at vi ikke kan forkaste nullhypotesen. Men det trenger vi ikke, for GeoGebra gir også ut P-verdien 0,3965. Siden P-verdien ikke er mindre enn signifikansnivået på 0,05, kan ikke nullhypotesen forkastes.

Binomisk modell

For å gjøre en hypotesetest mellom to utvalg i en binomisk modell, velger vi «Z-test. Forskjell mellom andeler». Så angir vi nullhypotesen, det vil si forventet forskjell på to sannsynligheter, om vi ønsker en venstresidig, høyresidig eller tosidig test, antall suksesser og antall forsøk totalt i hvert av de to utvalgene.

GeoGebra beregner Z-verdi og P-verdi.

Eksempel 17:

Vi skal gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om det er forskjell mellom antallet defekte PC-skjermer ved to forskjellige anlegg, når det på det ene anlegget ble målt at 17 av 200 var defekte, og på det andre at 31 av 200 var defekte.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, velger «Statistikk» og fyller ut som vist under.

Hypotesetest mellom to utvalg i binomisk modell

Vi angir altså «p1 – p2 = 0″ som nullhypotese, altså at de to sannsynlighetene er like. Så velger vi «≠» for den alternative hypotesen fordi dette er en tosidig test.

GeoGebra regner ut at verdien til testobservatoren blir om lag Z ≈ -2,1541. Dette regnet vi ut for hånd i eksempel 8 i artikkelen om å sammenlikne datasett.

Denne verdien kan vi så sammenlikne med Z0,025 ≈ 1,9600, og konkludere med at vi kan forkaste nullhypotesen. Men det trenger vi ikke, for GeoGebra gir også ut P-verdien 0,0312. Siden P-verdien er mindre enn signifikansnivået på 0,05, kan nullhypotesen forkastes.

Oppgave 14:

Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om det er forskjell på antall defekte sømmer på bukser produsert ved to produksjonslinjer når det ved første produksjonslinje er 147 av 2500 defekter og ved andre 151 av 2000.

​Se løsningsforslag

Kilder

    • Ubøe, J. (2011). Statistikk for økonomifag. Gyldendal akademisk
    • Hagen, Per C. (2000). Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk. Cappelen akademisk
Publisert

Regresjon med GeoGebra

I oppgave 6 i artikkelen om funksjonsanalyse varmet en gruppe elever opp vann mens de målte temperaturen hvert minutt. Vi fikk oppgitt følgende måledata:

Tid (min) 10 11 12 13 14
Temperatur (grader Celsius) 60 64 70 76 80

Så brukte vi glidere til å anslå en funksjonsforskrift for en lineær funksjon som gikk så nærme som mulig målepunktene. Løsningsforslaget sa f(t) = 5t + 10.

Prosessen med å finne en funksjonsforskrift som passer et antall punkter best mulig kalles regresjon.

GeoGebra har innebygde regresjonskommandoer som kan gjøre jobben for oss.

Eksempel 1:

Vi skal bruke GeoGebra til å finne en funksjonsforskrift som passer best mulig til målepunktene over.

        1. Vi starter med å legge punktene inn i en verditabell, slik det er beskrevet i artikkelen om funksjonsanalyse.
          Vi henter fram regnearkfeltet hvis det ikke allerede er framme: «Vis» – «Regneark».
          Vi skriver inn lista med målinger i regnearket, tida i kolonne A og temperaturen i kolonne B.
          Vi overfører lista til algebra- og grafikkfeltet ved å markere tallene, høyreklikke og velge «Lag» – «Liste med punkt».
          GeoGebra lager ei liste som heter Liste1.
           
        2. Vi skriver: reglin(Liste1) i inntastingsfeltet.
          GeoGebra foreslår funksjonsforskriften y = 5,2x + 7,6 i algebrafeltet og tegner den tilhørende grafen i grafikkfeltet. Dette er nok en bedre tilnærming enn den vi kom fram til med glidere.

GeoGebra-filSe den tilhørende GeoGebra-fila
 

I eksempel 1 representerer funksjonsforskriften en rett linje, noe GeoGebra kan representere på 3 former. Én form er y = ax + b, der y angis som en funksjon av x, en annen er standardformen ax + by = c. Det finnes også en parametrisk form. Vi kan skifte mellom formene i menyen som kommer opp når vi høyreklikker på funksjonsforskriften.

Oppgave 1:

Familien Hansen kjører hjemmefra til Oslo, en tur på ca. 320 kilometer. De første timene noterer barna hvor langt de har kjørt hvert kvarter:

Kvarter 1 2 3 4 5 6 7 8
Kilometer 22 38 58 80 104 122 138 161

Bruk regresjon i GeoGebra til å finne forskriften til en lineær funksjon som kommer så nærme punktene som mulig.

Se løsningsforslag

I eksempel 1 og oppgave 1 har vi brukt lineær regresjon, vi søker altså etter en polynomfunksjon av første grad. Til bruk i situasjoner som ikke kan modelleres lineært har GeoGebra en mengde andre regresjonskommandoer. Se brukermanualen for detaljer.

Oppgave 2:

Tabellen under viser om lag hvor stor distanse et objekt i fritt fall har tilbakelagt når vi ikke tar hensyn til luftmotstand:

Tid (sekunder) 1 2 3 4 5
Distanse (meter) 4,9 19,6 44,1 78,4 122,5

Bruk funksjonen regpot() til å finne en potensfunksjon som beskriver situasjonen.

Se løsningsforslag

Kilder

    • Bueie, H: (2011) GeoGebra for lærere. Universitetsforlaget
Publisert

Dynamisk geometri med GeoGebra

Dynamisk geometri går ut på at vi lager geometriske objekter i GeoGebra, og studerer hva som skjer med objektenes egenskaper når vi siden endrer på dem.

Et eksempel kan være at vi illustrerer Pytagoras setning ved å konstruere rektangler på sidene i en rettvinklet trekant, og ser at summen av arealene av rektanglene på katetene alltid er lik arealet av rektangelet på hypotenusen, selv om vi endrer sidelengdene. Men at dette ikke lenger er riktig hvis vi endrer vinklene slik at trekanten ikke lenger er rettvinklet. Dette eksemplet kan så gjøres mer avansert ved å utvide den til å ta hensyn til vinkelen og illustrere cosinussetningen. Hennig Bueies bok GeoGebra for lærere» (ISBN 978-82-15-01860-7) gir flere gode eksempler. I denne artikkelen skal vi detaljert vise hvordan vi kan illustrere at vinkelsummen i en trekant alltid er 180 grader.

Eksempel 1:

Vi skal konstruere en trekant, markere de tre vinklene i trekanten og følge med på hva som skjer med summen av disse vinklene når vi endrer formen på trekanten. Prosessen går i fire trinn:

  1. Vi lager en vilkårlig trekant. Det kan vi gjøre enten ved å sette trekanten sammen av linjer ved hjelp av «Linjestykke mellom to punkt» eller å sette inn en mangekant. Vi velger da «Mangekant» og klikker der trekantens hjørner skal være. Så klikker vi en gang til i trekantens første punkt. Det tolker GeoGebra som at mangekanten er komplett. Denne metoden har vi brukt i figuren under. Vi har valgt «Mangekant», klikket i A, B, C og så i A igjen. GeoGebra har opprettet en trekant med hjørner ABC og sider a, b, c:
    Trekant som skal brukes til å studere vinkelsummer. Grunnkonstruksjon.
  2. Vi setter inn vinkelmål. Vi velger da «Vinkel» og klikker parvis på de sidene vi skal opprette en vinkel mellom. a og c, b og a, c og b. Legg merke til at vinkelen alltid tegnes mot klokka, derfor er rekkefølgen på de to linjene viktig. Hadde vi for eksempel valgt c før a i stedet for omvendt, ville vinkelen på utsiden av trekanten blitt markert. GeoGebra navner vinklene α, β, γ.
    Trekant som skal brukes til å studere vinkelsummer. Vinkler markert
  3. Vi oppretter en variabel med summen av de tre vinklene. I inntastingsfeltet skriver vi α + β + γ. GeoGebra oppretter en variabel, δ, som er summen av de tre vinklene. Denne vises i algebrafeltet.
    Nå kan vi jo ikke skrive de greske bokstavene direkte, så vi henter dem derfor fra symbolmenyen som kommer opp til høyre når vi klikker på α-symbolet til høyre inntastingsfeltet, slik det er vist i bildet under:
    Meny for å sette inn symboler i GeoGebra
    Alternativt kan vi navne om vinklene til navn med latinske bokstaver, for eksempel alfa, beta, og gamma.
     
  4. Vi gjør variabelen mer synlig ved å plassere den i grafikkfeltet, gjerne med en ledetekst. Vi velger da «Tekst», klikker der vi vil ha teksten i grafikkfeltet, og fyller ut tekstboksen som kommer opp. Her har vi skrevet «Vinkelsum: » og hentet inn δ fra «Objekt»-menyen. Alle objekter som vises i algebrafeltet er tilgjengelige fra denne menyen.
    Meny for å sette inn tekst i GeoGebra

Den ferdige trekanten ser slik ut:

Trekant som skal brukes til å studere vinkelsummer. Ferdig versjon.

Hvis vi klikker på pila øverst til venstre i verktøylinja, kan vi endre form på trekanten ved å ta tak i A, B eller C og dra punktet rundt. Vi ser at vinkelsummen holder seg konstant på 1800, selv om de andre vinklene varierer.

GeoGebra-filÅpne GeoGebra-fil med ferdig konstruksjon

Vi nevner til slutt at hvis vi vil markere hvordan et objekt flytter seg, kan vi slå på sporing ved å høyreklikke på objektet og velge «Slå på sporing». Spor vi har laget blir stående selv om vi slår videre sporing av. For å fjerne spor, velger vi «Vis» – «Forny og fjern ev. spor».

Oppgave 1:

Lag en vilkårlig trekant som i eksempel 1, og bruk den til å illustrere sinussetningen, det vil si at forholdet mellom en sinus til en vinkel i en trekant og lengden på den motstående siden er likt for alle vinkler og sider i en trekant.

Se løsningsforslag

Kilder

Publisert

Vektorer og avbildninger i GeoGebra

Vektorer

Vi kan sette inn vektorer i GeoGebra på forskjellige måter. Den ene er å velge «Vektor» eller «Vektor fra punkt» fra menyen:

Meny for å sette inn vektorer i GeoGebra

«Vektor» gir en frittstående vektor, med start- og sluttpunkt der vi klikker i grafikkfeltet. 

«Vektor fra punkt» gir en kopi av en vektor. Vi klikker da først på punktet der vi vil at vektoren skal starte, deretter på vektoren vi vil ha kopi av. Kopien er dynamisk, endrer vi på den opprinnelige vektoren, endrer kopien seg.

I bildet under har vi valgt «Vektor» og deretter klikket på (2, 2) og (5, 2). GeoGebra har opprettet punktene A=(2, 2) og B=(5, 2), og strukket vektoren u mellom dem. Vi har så klikket på (−3, 2) og (−1, 5). GeoGebra har opprettet punktene C=(−3, 2) og D=(−1, 5), og strukket vektoren v mellom dem. Til slutt har vi valgt «Vektor fra punkt», klikket på punktet A, deretter på vektoren v. GeoGebra har opprettet vektoren w, som starter i A og er en kopi av v, med sluttpunkt kalt A′. Endrer vi på v, vil w endre seg tilsvarende. 

Frittstående vektor og vektor fra punkt

Vi ser at GeoGebra navner punkter med stor bokstav, fra A og oppover, og vektorer med liten bokstav, fra u og oppover.

Vektorenes koordinater vises mellom parenteser i algebrafeltet. x-koordinaten øverst, y-koordinaten underst.

Ønsker vi bare å se vektorene og ikke punktene de går mellom, kan vi klikke på «Punkt» i algebrafeltet, høyreklikke og fjerne avmerkingen for «Vis objekt».

Meny for å skru av og på visning i GeoGebra

Da ser grafikkfeltet slik ut:

Frittstående vektor og vektor fra punkt. Punkter skjult

Vi kan også sette inn vektorer ved å skrive i inntastingsfeltet. Hvis vi ikke angir noe annet, eller navngir med stor bokstav, tolker GeoGebra en koordinat som et punkt. Navngir vi med liten bokstav, derimot, tolker GeoGebra koordinatene som en vektor som starter i origo. For å overstyre disse reglene, kan vi bruke kommandoene punkt og vektor. Kommandoen vektor kan ha én eller to koordinater. Én koordinat tolkes som et sluttpunkt for en vektor som starter i origo. To koordinater tolkes som start- og sluttpunktet til en vektor.

I bildet under har vi skrevet (3, 2), og GeoGebra har satt inn punktet A = (3, 2). Vi har så skrevet u=(3, -2), og GeoGebra har satt inn vektoren u med startpunkt i origo og sluttpunkt i (3, −2). Deretter har vi skrevet vektor((-1, 2), (2, 3)), og GeoGebra har satt inn vektoren v mellom (−1, 2) og (2, 3). Til slutt har vi skrevet P=vektor((-2, 2), (1, 1)), og GeoGebra har satt inn vektoren P mellom (−2, 2) og (1, 1).

Vi ser at GeoGebra ikke oppretter egne start- og sluttpunkter når vi setter inn en vektor ved hjelp av inntastingsfeltet, slik som når vi setter inn ved å klikke i grafikkfeltet.

Vektorer satt inn fra kommandovinduet

Vektorregning

GeoGebra kan addere og subtrahere vektorer, beregne en vektors lengde og beregne to vektorers prikkprodukt.

For å addere to vektorer, skriver vi navnet på vektorene med plusstegn mellom i inntastingsfeltet, med minustegn mellom for å subtrahere og med gangetegn mellom for å beregne prikkproduktet. Prikkproduktet kan også beregnes ved hjelp av kommandoen skalarprodukt.

Lengden til en vektor kan beregnes ved å sette absoluttverditegn rundt vektornavnet i inntastingsfeltet, eller ved å bruke kommandoen lengde eller abs.

I bildet under har vi satt inn vektorene u og v og så skrevet u + v i inntastingsfeltet. GeoGebra har satt inn vektoren w, som er summen av u og v. For å tydeliggjøre har vi så endret fargen til grønn. Deretter har vi skrevet u – w. GeoGebra har satt inn vektoren a, som er differansen av u og v. For å tydeliggjøre har vi så endret fargen til oransje.

Vi har så beregnet lengden til u ved å skrive |u| og prikkproduktet av u og v ved å skrive u * v. Dette er skalarer som ikke kan vises i grafikkvinduet, men verdiene vises i algebravinduet. Her er b = |u| og c = u · v. Det er ikke lett å se, men holder vi musepekeren over tallene, viser GeoGebra formelen som er brukt for å lage dem.

Lengde og prikkprodukt av vektorer

Oppgave 1:

Bruk GeoGebra til å sette inn vektoren $\vec a$ med startpunkt i (0, 0) og sluttpunkt i (4, 3) og vektoren $\vec b$ med startpunkt i (4, 3) og sluttpunkt i (6, −1).

Beregn så vektorene $\vec s = \vec a + \vec b$ og $\vec d = \vec a − \vec b$, lengden $| \vec a |$ og prikkproduktet $\vec a \cdot \vec b$

Resultatet skal se noe slikt ut:

Sum, differanse, lengde og prikkprodukt av vektorer

Se løsningsforslag

Kongruensavbildninger

GeoGebra har en rikholdig meny for avbildninger i planet:

Meny for kongruensavbildinger i GeoGebra

Vi kan avbilde punkter, linjer eller hele objekter.

«Speil objekt om en linje» speile et objekt om en vilkårlig linje. Vi klikker da først på objektet vi vil speile, deretter på linja vi vil speile om. Det lages da et speilbilde av objektet, der hvert punkt speiles på normalen fra punktet til linja.

I bildet under har vi speilet firkanten ABCD om linja y = 2x + 1.

Speiling av objekt om linje

«Speil objekt om et punkt » minner om «Speil objekt om en linje», men i stedet for å speile på normaler, speiles det på linjene gjennom speilingspunktet. Vi klikker da først på objektet vi vil speile, deretter på punktet vi vil speile om.

I bildet under har vi speilet firkanten ABCD om punktet E = (1, 3).

Speiling av objekt om punkt

«Reflekter om sirkel» gir, som navnet sier en speiling om en sirkellinje. Her er speilingen avhengig av vinkelen fra objektet til sirkelsentrum danner med sirkelen. Resultatet er et fortegnet objekt, slik det er vist i bildet under, der vi har speilet firkanten ABCD om en sirkel med sentrum i (−1, 3) og radius 2.

Speiling av objekt om sirkel

Vi kan også angi speilinger ved å skrive i inntastingsfeltet. Vi bruker da kommandoen speil, etterfulgt av navnet på objektet vi vil speile og objektet vi vil speile om, i parentes, atskilt med komma. For eksempel vil speil(a, b) speile objektet a om objektet b. Objektet vi speiler om trenger ikke være opprettet fra før, vi kan i stedet angi objektets egenskaper direkte når vi skriver. For eksempel vil speil(a,(2, 3)) speile objektet a om punktet (2, 3).

«Roter om punkt med fast vinkel» roterer om et vilkårlig punkt. Vi klikker da først på objektet vi vil rotere, deretter på punktet vi vil rotere om, så oppgir vi vinkelen vi vil rotere om i dialogboksen som kommer opp.

I bildet under har vi rotert firkanten ABCD 60 grader om punktet F = (1, 4).

Rotering av objekt om punkt

Rotasjon kan også gjøres ved å skrive kommandoen roter i inntastingsfeltet.

«Flytt objekt med vektor» forskyver alle x– og y-koordinater i et punkt med x– og y-koordinatene til en vektor. Vi klikker først på objektet vi vil flytte, deretter på vektoren som spesifiserer hvor mye vi skal flytte. 

I bildet under har vi flyttet firkanten ABCD som angitt ved vektoren u = [−3, 3].

Flytting av objekt parallelt med vektor

Flytting kan også gjøres ved å skrive kommandoen flytt i inntastingsfeltet.

«Forstørr objekt fra punkt» gir ikke en kongruensavbildning, men en skalering basert på at avstanden fra objektet til punktet multipliseres med en skalar. Vi klikker da først på objektet vi vil forstørre, deretter på punktet vi vil basere forstørrelsen på, så oppgir vi faktoren vi vil forstørre med i dialogboksen som kommer opp. «Forstørre» er litt misvisende, for vi kan også forminske ved å skalere med en faktor mindre enn 1.

I bildet under har vi forstørret firkanten ABCD med en faktor 2, basert på punktet H = (1, 2).

Skalering av objekt basert på et punkt

Forstørring kan også gjøres ved å skrive kommandoen forstørr i inntastingsfeltet.

Oppgave 2:

Bruk GeoGebra til å lage en trekant med hjørner i (3, 2), (6, 2) og (4, 4) og flytt trekanten −2 enheter i x-retning og 3 enheter i y-retning. Roter deretter den flyttede trekanten 60 grader om punktet (0, 4).

Resultatet skal være om lag som vist under, her har vi skjult hjelpeobjekter vi har brukt.

Sammensatte avbildninger

Se løsningsforslag

Kilder

    • Bueie, H: (2011) GeoGebra for lærere. Universitetsforlaget
Publisert

Trigonometri med GeoGebra

De trigonometriske funksjonene

GeoGebra har alle de seks trigonometriske funksjonene innebygd:

Sinus: sin

Cosinus: cos

Tangens: tan

Cosekant: csc eller cosec

Sekant: sec

Cotangens: cot

For sinus, cosinus og tangens finnes inverse funksjoner:

Sinus: asin eller arcsin

Cosinus: acos eller arccos

Tangens: atan eller arctan

For å plotte grafen til sinus, for eksempel, skriver vi: sin(x) i inntastingsfeltet.

Grader og radianer

GeoGebra forventer at argumentet til de trigonometriske funksjonene oppgis i radianer. Vi ser for eksempel i bildet under at grafene til sinus og cosinus skjærer x-aksen i multipler av $\pi$ og  $\frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}$.

 

Kurvene til sinus og cosinus, skala langs x-aksen i radianer

GeoGebra tilbyr imidlertid en enkel måte å konvertere fra grader til radianer på, vi skriver bare et gradetegn, °, bak gradtallet. For eksempel er sin 90° = 1. sin(x°) vil tegne grafen til sinus basert på grader. Gradetegnet får vi fram ved å trykke <alt>o, eller velge fra menyen som blir tilgjengelig når vi setter markøren i inntastingsfeltet:

Velge gradetegn fra meny i geogebra.

Vi ser at denne menyen også inneholder en del andre spesialtegn, blant annet π. π kan vi også få fram ved å trykke <alt>p.

For å få $\pi$ eller $\frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}$ som akseenhet, slik det er vist over, velger vi «Avstand» i Innstillinger-dialogboksen:

Velge pi / 2 som enhet på x-aksen

Illustrere definisjonen av sinus og cosinus

Med GeoGebra kan vi illustrere definisjonen av sinus og cosinus grafisk. Med basis i en enhetssirkel, er sinus og cosinus til en vinkel definert som vist i figuren under:

Definisjon av sinus og cosinus

Eksempel 1:

Vi skal illustrere definisjonen av sinus i GeoGebra:

      1. Zoom og panorer slik at en sirkel med radius 1 vises godt og tydelig.
         
      2. Lag en enhetssirkel:
        ​Velg «Sirkel definert ved sentrum og radius» fra denne menyen:
        Meny for å sette inn sirkel
        Klikk i origo og oppgi 1 som radius i dialogboksen som kommer opp.
        GeoGebra tegner enhetssirkelen i grafikkfeltet og oppgir formelen i algebrafeltet under navnet c: x2 + y2 = 1.
        GeoGebra lager også et punkt, A, i origo.
         
      3. Lag en sirkelbue på enhetssirkelen:
        Velg «Sirkelbue definert ved sentrum, radius og punkt» fra denne menyen:
        Illustrasjon av menypunkt
        Klikk i origo, deretter i punktet (1, 0), deretter et stykke opp på sirkelen, for eksempel tilsvarende C i figuren over.
        GeoGebra lager et punkt, B, i (1, 0) og C der vi klikket på sirkelen. Punktet C kan skyves rundt på sirkelen. Punktene vises i grafikkfeltet og koordinatene kommer opp i algebrafeltet. I algebrafeltet kommer også lengden av sirkelbuen BC opp under navnet d.
         
      4. Lag et linjestykke mellom A og C:
        Skriv: linjestykke(A, C) i inntastingsfeltet.
        GeoGebra tegner en linje mellom A og C i grafikkfeltet. I algebrafeltet kommer lengden på linjestykket opp under navnet a.
        Men denne lengden vet vi jo allerede alltid er 1.
         
      5. Lag et linjestykke mellom C og x-aksen. Dette linjestykket representerer sinus:
        Skriv: linjestykke(C, (x(C), 0)) i inntastingsfeltet. Her er (x(C), 0) punktet som har samme x-koordinat som C, og y-koordinat 0. Dette punktet vil med andre ord alltid ligge på x-aksen rett under C.
        GeoGebra tegner en loddrett linje mellom C og x-aksen i grafikkfeltet. I algebrafeltet kommer lengden på linjestykket opp under navnet b.

​Når vi nå drar punktet C langs enhetssirkelen, illustreres sinus som et linjestykke i grafikkfeltet og et tall i algebrafeltet.

Oppgave 1:

Modifiser oppskriften i eksempel 1 til å illustrere definisjonen av cosinus.

Se løsningsforslag

GeoGebra-filSe GeoGebra-fil med eksempel 1 og oppgave 1
 

Eksempel 2:

Vi skal bygge ut det vi laget i eksempel 1 slik at en sinuskurve tegnes opp ved å plotte sinus som en funksjon av vinkelen BAC.

      1. Hent fram fila fra eksempel 1.
         
      2. Finn sinus til vinkelen:
        Skriv: y(C) i inntastingsfeltet. Dette er y-koordinaten til punktet C, altså avstanden fra C til x-aksen, med andre ord sinus til BAC.
         
      3. GeoGebra viser tallverdien i algebrafeltet under navnet f.
        I eksempel 1 markerte vi denne avstanden med ei linje. GeoGebra viser lengden på denne linja som b i algebrafeltet. Men vi kan ikke bruke den som sinus fordi den aldri blir negativ.
         
      4. Lag et punkt som har x-koordinat lik vinkelen (i radianer) og y-koordinat lik sinus til vinkelen:
        Skriv: (d, f) i inntastingsfeltet. d har vi fra eksempel 1 som lengden av sirkelbuen fra x-aksen opp til punktet C, altså størrelsen på vinkelen BAC målt i radianer. f er sinus vi laget i punkt 2.
         
      5. GeoGebra oppretter et punkt som kalles D.
        Når vi drar i C, ser vi at D beveger seg langs en sinuskurve.
         
      6. Hvis nødvendig, zoom ut og panorer slik at ikke D forsvinner ut til høyre.
         
      7. Sett sporing på punktet D:
        Høyreklikk i D og velg «Slå på sporing».

GeoGebra tegner opp en graf som følger punktet D.

Oppgave 2:

Modifiser oppskriften i eksempel 2 til å tegne grafen til cosinus.

Se løsningsforslag

​GeoGebra-filSe GeoGebra-fil med eksempel 2 og oppgave 2
 

SkjermfilmSe film som viser eksempel 1 og 2
 

Polarkoordinater

I GeoGebra kan vi ikke velge bort det kartesiske koordinatsystemet til fordel for et system med polarkoordinater. Men vi kan få rutenettet til å vise polarkoordinater. Det gjør vi ved å velge «Rutenett» fra Innstillinger-dialogboksen og sette «Type rutenett» til «Polar». Husk også å huke av for «Vis rutenett».

Illustrasjon av hvordan en velger polart rutenett.

Skal vi angi et punkt i polarkoordinater i GeoGebra, angir vi r og θ mellom parenteser, atskilt med semikolon. Forskjellen på å angi polarkoordinater og kartesiske koordinater er altså at vi bruker semikolon som skilletegn i stedet for komma. θ måles i radianer hvis vi ikke angir grader ved å skrive et gradetegn, °, slik som beskrevet i et tidligere avsnitt.

Eksempel 3:

Vi skal plotte punktet r = 2, θ = 45° i GeoGebra. Da skriver vi: (2; 45°) i inntastingsfeltet.

Oppgave 3:

Plott punktet r = 1, θ = 60° i GeoGebra.

Se løsningsforslag

Selv om vi oppgir θ i radianer, viser GeoGebra verdien i grader i algebrafeltet.

I algebrafeltet kan vi bytte mellom kartesiske koordinater og polarkoordinater ved å høyreklikke på koordinatene og velge «Kartesiske koordinater» eller «Polare koordinater».

SkjermfilmSe film som illustrerer bruk av polarkoordinater i GeoGebra
 

Kilder

    • Bueie, H: (2011) GeoGebra for lærere. Universitetsforlaget
    • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
Publisert

Integrasjon med GeoGebra

GeoGebra kan brukes til å beregne både bestemte og ubestemte integraler.

Kommandoen for å integrere heter integral. Vi kan skrive inn funksjonsforskriften vi vil integrere direkte i kommandoen, for eksempel integral(6x^2), eller vi kan bruke kommandoen på en funksjon vi allerede har lagt inn. Har vi lagt inn en funksjon som heter f, integrerer vi den med kommandoen integral(f). GeoGebra viser funksjonsforskriften til den integrerte funksjonen i algebrafeltet og grafen i grafikkfeltet. GeoGebra følger imidlertid ikke konvensjonen med å betegne den integrerte funksjonen med stor bokstav, og navngir funksjonen på vanlig måte, for eksempel som g.

Ubestemte integraler

Et ubestemt integral beregner vi, som vist over, ved å skrive inn funksjonsforskriften eller funksjonsnavnet sammen med integral-kommandoen, for eksempel integral(6x^2), eller integral(f).

GeoGebra setter i utgangspunktet integrasjonskonstanten C til 0. Av og til opprettes C som en glider vi kan justere på, men det ser ikke ut til alltid å skje. Da kan vi eventuelt gjøre det manuelt.

Av og til sorteres leddene i en sammensatt funksjonsforskrift litt rart, parenteser multipliseres ut på en måte som kompliserer, og det trekkes ikke alltid sammen så mye som mulig. Det kan derfor være lurt å bruke GeoGebras CAS til integrasjon hvis vi ikke er interessert i å se grafen.

Oppgave 1:

Bruk GeoGebra til å beregne integralet $\int 3x^2 \, dx$.

Se løsningsforslag

Oppgave 2:

Du har for hånd beregnet at $\int \sin 3x\, dx$ blir ${\large \frac{\cos 3x}{3}} + C$. Bruk GeoGebra til å sjekke om du har regnet riktig.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Bestemte integraler

For å beregne et bestemt integral bruker vi samme kommando som for et ubestemt, integral, men vi inkluderer en nedre og øvre integrasjonsgrense. Vil vi for eksempel integrere funksjonen f mellom grensene a og b, skriver vi integral(f, a, b) i inntastingsfeltet.

Integralet vises som et tall i algebrafeltet, og i grafikkfeltet vises arealet under grafen til f, avgrenset av linjene x = a og x = b.

Eksempel 1:

Vi har funksjonen f(x) = x2 i GeoGebra, og skal beregne $\int\limits_1^2 f(x) \; dx$.

Vi skriver integral(f, 1, 2) i inntastingsfeltet. GeoGebra viser tallverdien til integralet, 2,33, i algebrafeltet, og markerer arealet under grafen til f(x) = x2 i grafikkvinduet:

Illustrasjon av GeoGebra-funksjonen Integral

En variant er kommandoen integralmellom(f, g, a, b) som beregner det bestemte integralet av differansen mellom f og g, altså arealet mellom grafen til f og g, avgrenset av linjene x = a og x = b. Dette er illustrert under for f(x) = x + 1 (blå graf), g(x) = x2 – 2x + 1 (grønn graf), a = 1 og b = 2.

Illustrasjon av GeoGebra-funksjonen IntegralMellom

GeoGebra-filSe den tilhørende GeoGebra-fila
 

Oppgave 3:

  1. Bruk GeoGebra til å finne arealet under grafen til f(x) = x2 avgrenset av linjene x = 0 og x = 2.
     
  2. Bruk GeoGebra til å finne arealet mellom grafen til g(x) = x + 1 og f(x) = x2.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

GeoGebra-filSe den tilhørende GeoGebra-fila
 

Bestemt integral som sum av rektangler

I undervisningssammenheng illustrerer en gjerne et bestemt integral som en sum av arealene til rektangler som ligger inntil grafen. GeoGebra tilbyr to funksjoner som illustrerer dette:

sumover(f, a, b, n)) deler opp arealet under f avgrenset av a og b i n rektangler der rektanglenes øvre høyre hjørne ligger på grafen.

sumunder(f, a, b, n) er tilsvarende, men det er rektanglenes øvre venstre hjørne som ligger på grafen.

Dette er illustrert under for f(x) = x2, a = 0, b = 2, n = 6.

Illustrasjon av GeoGebra funksjonen sumover Illustrasjon av GeoGebra funksjonen sumunder
sumover(f, 0, 2, 6) sumunder(f, 0, 2, 6)

Kombinert med en glider vil vi kunne illustrere hvordan oppdeling i stadig mindre rektangler fører til at rektanglenes areal nærmer seg et bestemt integral. sumover fra oversiden og sumunder fra undersiden.

Oppgave 4:

  1. Bruk GeoGebra til å finne oversum og undersum for f(x) = x2 med 10 rektangler mellom x = 0 og x = 2.
     
  2. Utvid det du laget i punkt 1 med en glider slik at du kan variere mellom 1 og 100 rektangler.
     
  3. Sammenlign oversummen og undersummen med $\int\limits_0^2 f(x) \, dx$.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

GeoGebra-filSe den tilhørende GeoGebra-fila
 

Kilder

    • Bueie, H: (2011) GeoGebra for lærere. Universitetsforlaget
    • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget