Likninger med ukjent i eksponent

I mange artikler har vi sett på likninger som kan skrives på formen P = 0, der P er et polynom, for eksempel , for eksempel 2x − 4 = 0 og 3x2 + 18x + 15 = 0. Slike likninger kalles algebraiske. Likninger som ikke er algebraiske, er transcendente.

Et eksempel på en transcendent likning er en likning med den ukjente i eksponenten, for eksempel 3x = 81.

For å løse slike likninger, benytter vi oss av logaritmer. I artikkelen om logaritmer så vi at å ta logaritmen til en potens er det samme som å multiplisere eksponenten med logaritmen til grunntallet: ln ur= r ln u. Den regelen kan vi benytte til å hente den ukjente ned fra eksponenten, fordi å ta logaritmen på begge sider av likhetstegnet i en likning er en tillatt operasjon, på samme måte som å bruke de fire regneartene. Det spiller ingen rolle hvilket grunntall logaritmen har, vi bruker den naturlige logaritmen, ln, som er vanlig tilgjengelig på kalkulatorer og i dataprogrammer.

Eksempel 1:

Vi skal løse likningen 3x = 81.

Vi tar først logaritmen på begge sider av likhetstegnet: ln 3x = ln 81.

Vi bruker regelen ln ur= r ln u til å skrive om venstre side:
x · ln 3 = ln 81

Vi dividerer begge sider med ln 3:
$x = \frac{\displaystyle \ln 81}{\displaystyle \ln 3 }$

Vi regner ut logaritmeuttrykket på kalkulator eller med funksjonen ln i Excel eller GeoGebra:
x = 4

Setter vi prøve på svaret, får vi

V.S.: 3x = 34 = 81.

Dette er det samme som høyre side, så svaret er riktig.

Oppgave 1:

Løs likningen 5x = 15625. Sett prøve på svaret.

Se løsningsforslag

Når vi beregner logaritmen til et sammensatt uttrykk, må vi huske at logaritmen til et produkt er lik summen av logaritmene, og at logaritmen til en kvotient er lik differansen av logaritmene.

Eksempel 2:

Vi skal løse likningen 7x = 3 · 5x

Vi tar logaritmen på begge sider av likhetstegnet:
 ln 7x = ln(3 · 5x)

Vi bruker regelen ln u · v = ln u + ln v til å skrive om høyre side:
 ln 7x = ln 3 + ln 5x

Vi bruker regelen ln ur= r ln u til å hente ned eksponentene:
x · ln 7 = ln 3 + x · ln 5

Vi flytter leddet x · ln 5 over til venstre side med fortegnsskifte:
x · ln 7 − x · ln 5 = ln 3

Vi setter x utenfor parentes:
x(ln 7 − ln 5) = ln 3

Vi dividerer begge sider med ln 7 − ln 5:
$x = \frac{\displaystyle \ln 3}{\displaystyle \ln 7 − \ln 5}$

Vi regner ut logaritmeuttrykket på kalkulator eller med funksjonen ln i Excel eller GeoGebra:
x ≈ 3,26509046

Setter vi prøve på svaret, får vi 

V.S.: 7x ≈ 73,26509046 ≈ 574,541691

H.S.: 3 · 5x ≈ 3 · 53,26509046 ≈ 574,541690

Bortsett fra et lite avvik som skyldes avrundingsfeil, er høyre og venstre side like, så løsningen er riktig.

Oppgave 2

Løs likningen 2 · 4x = 5x. Sett prøve på svaret.

Se løsningsforslag

En alternativ måte å løse likningen i eksempel 2 på er å starte med å dividere begge sider med 5x, slik det er vist i eksempel 3.

Eksempel 3:

Vi skal løse likningen 7x = 3 · 5x

Vi dividerer begge sider av likningen med 5x:
$\frac{\displaystyle 7^x}{\displaystyle 5^x} = 3$

Vi benytter at å dividere to potenser med samme eksponent er det samme som å dividere grunntallene først, og deretter opphøye i eksponenten, slik det er beskrevet i artikkelen om potensregning:
$\Big(\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 5}\Big)^x = 3$

Vi tar logaritmen på begge sider av likhetstegnet:
$\ln \Big(\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 5}\Big)^x = \ln 3$

Vi bruker regelen ln ur= r ln u til å hente ned eksponenten:
$x \ln \Big(\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 5}\Big) = \ln 3$

Vi dividerer begge sider med $\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 5}$:
$x = \frac{\displaystyle \ln 3}{\displaystyle \ln \Big(\frac{7}{5}\Big)}$

Vi regner ut logaritmeuttrykket på kalkulator eller med funksjonen ln i Excel eller GeoGebra:
x ≈ 3,26509046

Som er det samme som vi fikk i eksempel 3.

Siden logaritmen til en kvotient er lik differansen av logaritmene, er egentlig $\frac{\displaystyle \ln 3}{\displaystyle \ln \Big(\frac{7}{5}\Big)}$, som vi fikk i dette eksemplet, nøyaktig det samme som $\frac{\displaystyle \ln 3}{\displaystyle \ln 7 − \ln 5}$, som vi fikk i eksempel 2.

Vi må også huske at vi ikke kan dele opp logaritmen til en sum eller differanse. ln(u + v) ≠ ln u + ln v og ln(uv) ≠ ln u − ln v., slik det er beskrevet i artikkelen om logaritmer.

Eksempel 4:

Vi skal løse likningen 12x + 3 = 125.

Dette vil da være feil metode:

ln(12x + 3) = ln 125

x · ln 12 + ln 3 = ln 125

For her har vi regnet som om logaritmen til en sum er lik summen av logaritmene.

I stedet må vi flytte 3 over til høyre side med fortegnsskifte:
12x = 125 − 3

Så vi får likningen
12x = 122

Vi tar logaritmen på begge sider og benytter regelen ln ur= r ln u til å hente ned eksponentene:
x ln 12 = ln 122

Vi dividerer begge sider med ln 12 og regner ut:
$x = \frac{\displaystyle \ln 122}{\displaystyle \ln 12} \approx 1{,}93328029$

Kilder

    • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget