Nullpunkter og ekstremalpunkter

Nullpunkter

En funksjons nullpunkter er eventuelle punkter der funksjonsverdien er 0. Grafisk sett er dette de punktene der grafen skjærer x-aksen.

Eksempel 1:

Under vises grafen til funksjonene f(x) = x2 + x − 2 med blått og g(x) = x2 + x + 2 med grønt. Vi ser at den blå grafen skjærer x-aksen i −2 og 1, så (−2, 0) og (1, 0) er nullpunktene til f(x). Den grønne grafen skjærer ikke x-aksen, så g(x) har ingen nullpunkter.

 

Grafer til funksjoner med og uten nullpunkter

 

Nullpunktene til en funksjon, f(x), finner vi ved å løse den tilhørende likningen f(x) = 0. For en andregradsfunksjon er det lett, for andre funksjoner kan det være vanskelig. Men hvis vi vet at en kontinuerlig funksjon har både positive og negative verdier, kan vi ved hjelp av skjæringssetningen slå fast at den i det minste har ett nullpunkt.

$\fbox {$\begin{align} &\text{Skjæringssetningen: } \\
&\text{Hvis } f \text{ er kontinuerlig på } [a, b] \text{, og } K \text{ er et tall mellom } f(a) \text{ og } f(b) \text{,} \\
&\text{så finnes en } c \in [a, b] \text{, slik at } f(c) = K
\end{align}$}$

Med andre ord vil en funksjon, f(x), som er kontinuerlig i et intervall, [a, b], anta alle mulige verdier mellom f(a) og f(b). Dersom f(a) og f(b) har forskjellig fortegn, innbefatter dette verdien 0.

Eksempel 2:

Grafen under viser funksjonen f(x) = x3 + 2x2 − 2x + 1 definert på intervallet [−3, 1].

Graf til funksjon med ett nullpunkt

Siden funksjonen er kontinuerlig, sier skjæringssetningen at funksjonen kan anta alle mulige verdier mellom f(−3) = −2 og f(1) = 2, det vil si intervallet [−2, 2]. Siden 0 ligger i dette intervallet, betyr det at funksjonen har minst ett nullpunkt.

En polynomfunksjon av odde grad, det vil si en førstegradsfunksjon, tredjegradsfunksjon, femtegradsfunksjon, osv. er kontinuerlig på hele $\mathbb{R}$. Siden funksjonsverdien går mot minus uendelig når x går mot minus uendelig, og mot pluss uendelig når x går mot pluss uendelig, betyr det at funksjonen kan anta alle mulige verdier, deriblant 0. En polynomfunksjon av odde grad har derfor alltid minst ett nullpunkt. Det betyr at den tilhørende likningen har minst én løsning.

Eksempel 3:

Vi skal avgjøre om fjerdegradsfunksjonen f(x) = 3x4 + 8x3 − 6x2 − 24x + 6 har nullpunkter, når vi vet at den har et minimumspunkt i f(1) = −13.

Vi vet at funksjonsverdien til en polynomfunksjon går mot uendelig når x går mot uendelig. Funksjonen f(x) vil derfor kunne anta alle mulige verdier i et intervall fra −13 til uendelig. Siden 0 ligger i dette intervallet garanterer skjæringssetningen at f(x) har minst ett nullpunkt. Det betyr at likningen f(x) = 0 har minst én løsning.

Oppgave 1:

Vis at likningen x5 + x4 + x3 + x − 1 = 0 har en løsning i intervallet [−1, 1].

SkjermfilmSe film med løsningsforslag
 

Ekstremalpunkter

En funksjon har et globalt maksimumspunkt der funksjonsverdien er høyest, og et globalt minimumspunkt der funksjonsverdien er lavest. Mer formelt sier vi at:

$\fbox {$\begin{align} &\text{En funksjon, } f \text{, har et } \\
&\text{globalt maksimumspunkt for } x = a \text{ hvis } f(x) \le f(a) \text{ for alle } x \text{ i definisjonsmengden } \\
&\text{globalt minimumspunkt for } x = a \text{ hvis } f(x) \ge f(a) \text{ for alle } x \text{ i definisjonsmengden}
\end{align}$}$

Andre ord for maksimumspunkt er maksimalpunkt eller toppunkt. Andre ord for minimumspunkt er minimalpunkt eller bunnpunkt.

Maksimumspunkter og minimumspunkter kalles med et fellesnavn ekstremalpunkter. Av og til kalles globale ekstremalpunkter for absolutte ekstremalpunkter.

En funksjon som er definert for hele $\mathbb{R}$, trenger ikke ha noen globale maksimums- eller minimumspunkter. For eksempel strekker f(x) = x3 seg fra minus uendelig til pluss uendelig, funksjonen har ingen største eller minste verdi. For en funksjon som er definert på et lukket intervall, [a, b], garanterer imidlertid ekstremalverditeoremet at funksjonen alltid vil ha minst ett globalt maksimumspunkt og minst ett globalt minimumspunkt. Dette er intuitivt riktig. Minst ett sted må være øverst og minst ett sted må være nederst på en graf som ikke går mot uendelig.

Ekstremalverdier kan også være lokale. Det vil si at en funksjon har et maksimums- eller minimumspunkt en plass, men kan ha et punkt med større eller mindre verdi en annen plass. Mer formelt sier vi at:

$\fbox {$\begin{align} &\text{En funksjon, } f \text{, har et } \\
&\text{lokalt maksimumspunkt for } x = a \text{ hvis } f(x) \le f(a) \text{ i en omegn om } a\\
&\text{lokalt minimumspunkt for } x = a \text{ hvis } f(x) \ge f(a) \text{ i en omegn om } a
\end{align}$}$

Alle globale ekstremalpunkter er også lokale.

Eksempel 4:

Grafen under viser funksjonen f(x) = x4 + 6x3 + 7x2 − 5x − 1.

Illustrasjon av ekstremalverdier i funksjon uten avgrensninger

Her ser vi at A er et globalt minimumspunkt for f(x), fordi dette er grafens laveste punkt. C er også et minimumspunkt, men det er kun lokalt fordi C bare er laveste punkt i en viss omegn. B er et maksimumspunkt for f(x), men det er kun lokalt fordi B bare er høyeste punkt i en viss omegn. Funksjonen har ingen globale maksimumspunkter fordi funksjonsverdien vokser mot uendelig.

Eksempel 5:

Grafen under viser samme funksjon som eksempel 4, men med definisjonsområdet begrenset til [−4, 1].

Illustrasjon av ekstremalverdier i funksjon med avgrensninger

Grafen har nå fått to endepunkter, D og E. Endepunktene vil alltid utgjøre maksimums- eller minimumspunkter. I eksemplet over er begge maksimumspunkter. D er lokalt fordi punktet bare ligger øverst i en viss omkrets, mens E er globalt fordi punktet ligger øverst i hele definisjonsområdet.

Oppgave 2:

Studer grafen under og klassifiser ekstremalpunktene A, B, C og D.

Oppgave med klassifikasjon av ekstremalverdier

SkjermfilmSe film med løsningsforslag
 

For å finne ekstremalpunktene til en vilkårlig funksjon brukes derivasjon, som behandles i en serie artikler på dette nettstedet.

Kilder

    • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget

Polynomfunksjoner

Alle funksjonene vi møtte i artikkelen om funksjonsbegrepet var polynomfunksjoner. Polynomfunksjoner er enkle, og er derfor praktiske å starte med når vi skal lære om funksjoner. Polynomfunksjoner inneholder bare summer og differanser av konstanter multiplisert med ikke-negative, heltallige potenser av den uavhengige variabelen. Den høyeste potensen av variabelen angir polynomfunksjonens grad.

Konstantfunksjoner

Den enkleste polynomfunksjonen er på formen f(x) = a, der a er en konstant, et vilkårlig tall. Grafen til denne funksjonen er ei rett linje, parallell med x-aksen, som skjærer y-aksen i a. For eksempel f(x) = 3, som vist under:

Graf til funksjonen f(x) = 3

En konstantfunksjon kan kalles en polynomfunksjon av grad 0, fordi den kan skrives som f(x) = ax0.

Førstegradsfunksjoner (Lineære funksjoner)

Den nest enkleste polynomfunksjonen er på formen f(x) = ax + b, der a og b er konstanter, a ≠ 0. Dette kalles en førstegrads polynomfunksjon fordi høyeste potens av x er 1. Førstegrads polynomfunksjoner kalles også gjerne lineære funksjoner. Grafene til lineære funksjoner er rette linjer. Konstanten a angir hvor kjapt funksjonsverdien stiger, og kalles funksjonens stigningstall. Konstanten b angir hvor linja skjærer y-aksen.

Eksempel 1:

Grafene til $f(x) = 2x$, $f(x) = \frac{1}{2}x$ og $f(x) = −x$ er vist under, med henholdsvis rødt, grønt og blått. Den røde linja har stigningstall 2, y-verdien øker med 2 for hver gang x-verdien øker med 1. Den grønne linja har stigningstall $\frac{1}{2}$, y-verdien øker med $\frac{1}{2}$ for hver gang x-verdien øker med 1. Den blå linja har stigningstall −1, y-verdien avtar med 1 for hver gang x-verdien øker med 1.

Grafene til f(x) = 2x, f(x) = 1/2x og f(x) = -x

 

Eksempel 2:

Grafene til $f(x) = 2x$, $f(x) = 2x + 3$ og $f(x) = 2x − 3$ er vist under med henholdsvis rødt, grønt og blått. Vi ser at alle har stigningstall 2, men linjene skjærer y-aksen i henholdsvis 0, 3 og −3, tilsvarende konstanten b.

Grafene til f(x) = 2x, f(x) = 2x+3 og f(x) = 2x-3

 

For å tegne grafen til en lineær funksjon, trenger vi bare to punkter. En vanlig feil blant elever og studenter er at de beregner en mengde punkter og så skisserer grafen etter dem. På grunn av unøyaktighet blir resultatet gjerne en bølget linje. Men grafen til en lineær funksjon er alltid snorrett.

Ett av punktene som trengs har vi allerede, nemlig skjæringspunktet med y-aksen: (0, b). Det andre finnes også lett ved å sette inn en annen verdi av x som er enkel å regne med, for eksempel 1.

Oppgave 1:

Skisser grafen til f(x) = 2x + 1.

Se løsningsforslag

Andregradsfunksjoner

Bygger vi ut en førstegradsfunksjon med et ledd med x2, får vi en andregradsfunksjon, generelt angitt som f(x)= ax2 + bx + c. I denne inngår tre konstanter, a, b og c, a ≠ 0. Grafen til andregradsfunksjoner er ikke en rett linje, men en parabel. Stigningstallet er ikke konstant, men varierer med x-verdien.

Eksempel 3:

Figuren under viser grafen til andregradsfunksjonen f(x)= 2x2x − 3. Her er altså a = 2, b = −1 og c = −3.

grafen til funksjonen f(x)=2x^2 -x -3

Eksempler på fenomener som beskrives av andregradsfunksjoner er:

  • Overflaten til geometriske figurer. For eksempel er flateinnholdet av et kvadrat gitt som en funksjon av sidelengden l, ved f(l) = l2.
     
  • Et objekts kinetiske energi øker med kvadratet av farten. Det betyr for eksempel at en bils bremselengde også øker med kvadratet av farten. Vi kan beskrive det med en funksjon som f(v) = kv2, der k er en konstant og v er farten. (Det er vanlig å bruke v – velocity som symbol for fart.)
     
  • En ball som kastes oppover med en hastighet på 15 meter per sekund fra en høyde på 2 meter, vil på et gitt tidspunkt ha høyde gitt ved om lag f(t) = −5t2 + 15t + 2 meter, der t er tiden i sekunder. Generelt, hvis den kastes med b meter per sekund fra høyde c meter, vil høyden være gitt ved om lag f(t) = −5t2 + bt + c meter.
    Konstanten 5 er egentlig en tilnærming til $\large \frac{g}{2}$, der g er tyngdens akselerasjon, ca. 9,8 ms−2.

I avsnittet om førstegradsfunksjoner så vi hva konstantene a og b betydde for grafen. For grafen til en andregradsfunksjon betyr a, b og c at:

  • Grafen blir krappere jo høyere a blir.
     
  • Når a > 0 vender grafen sin hule side opp, når a < 0 vender grafen sin hule side ned. Huskeregel: Grafen smiler når a er positiv.
     
  • Når b endres, skyves grafen langs en kurve sidelengs uten at formen endres.
     
  • Når c endres, skyves grafen rett opp og ned uten at formen endres. c er skjæringspunktet med y-aksen.
     
  • Når grafen skjærer x-aksen, skjer det med x-verdier som er løsningene til likningen f(x) = 0, altså
    $x_1 = \frac{\displaystyle −b − \sqrt{b^2 – 4ac}}{\displaystyle 2a}$
    og
    $x_2 = \frac{\displaystyle −b + \sqrt{b^2 – 4ac}}{\displaystyle 2a}$
    slik det er beskrevet i algebra-artikkelen om andregradslikninger.
     
  • Grafen er symmetrisk, det vil si at et maksimumspunkt (toppunkt) eller minimumspunkt (bunnpunkt) vil ligge midt mellom skjæringspunktene med x-aksen. Vi kan finne x-verdien til dette punktet ved å beregne gjennomsnittsverdien til skjæringspunktene:
    $\frac{\displaystyle x_1 + x_2 }{\displaystyle 2} = \frac{\frac{\Big(\displaystyle -b – \sqrt{b^2 – 4ac }\Big)+ \Big(-b + \sqrt{b^2 – 4ac}\Big)}{\displaystyle 2a}}{\displaystyle 2} = \frac{\displaystyle -2b}{\displaystyle 4a} = -\frac{\displaystyle b}{\displaystyle 2a}$

Basert på disse opplysningene kan vi lage en skisse av grafen.

Oppgave 2:

Skisser grafen til f(x) = x2 + 2x − 3.

Se løsningsforslag

Oppgave 3:

Gitt andregradsfunksjonen f(x) = x2 − 2x − 3. Analyser funksjonen og svar på følgende spørsmål:

  1. Vender grafen sin hule side opp eller ned?
     
  2. Hva er grafens skjæringspunkt med y-aksen?
     
  3. Hva er grafens skjæringspunkter med x-aksen?
     
  4. Hva er grafens maksimums/minimumspunkt?

Se løsningsforslag

Polynomfunksjoner generelt

Vi kan bygge videre på andregradsfunksjonen ved å legge til et tredjegradsledd, x3, et fjerdegradsledd, x4, og så videre. Hvert ledd multipliserer vi med en konstant. I andregradsfunksjonen brukte vi a, b og c som navn på konstantene. I tredjegradsfunksjonen legger vi til en konstant, d, og får uttrykket f(x)= ax3 + bx2 + cx + d. Slik kan vi fortsette, men tar vi med mange nok potenser av x, vil vi slippe opp for bokstaver. Vi kaller derfor i stedet konstantene a0, a1 og så videre opp til an. Det generelle uttrykket for en polynomfunksjon blir da:

anxn + an−1xn−1 + ⋯ + a1x + a0

Konstantene i uttrykket, altså an, an1, ⋯, a0 kalles gjerne koeffisienter. Bortsett fra den første koeffisienten, an, kan hvilken som helst av koeffisientene være 0.

Eksempel 4:

f(x) = x4 + 6x3 + 7x2 − 5x − 1 er en polynomfunksjon av fjerde grad.
Koeffisientene er henholdsvis 1, 6, 7, −5 og −1.

Grafen til denne polynomfunksjonen er vist under.

 

Grafen til funksjonen f(x) = x^4 + 6x^3 + 7x^2 - 5x -1

Eksempel 5:

f(x) = −x5 + 3x2 − 2 er en polynomfunksjon av femte grad.

Koeffisientene er henholdsvis −1, 0, 0, 3, 0 og −2.

Definisjonsmengden til en polynomfunksjon er alle reelle tall, $D_f = \mathbb{R}$. Verdimengden vil variere fra funksjon til funksjon. For polynomfunksjoner av odde grad vil det være hele $\mathbb{R}$. For polynomfunksjoner av like grad vil det være [ymin, ∞) hvis an > 0 og (−∞, ymaks] hvis an < 0, der ymin og ymaks er y-verdien til funksjonens minimums/maksimumspunkt.

Kilder

    • Finney, T. (1988). Calculus and Analytic Geometry. Addison Wesley.