Stikkord: ordnet utvalg

Publisert

Ordnede utvalg med tilbakelegging

Når vi så langt har valgt elementer fra en mengde, har vi gjort det «uten tilbakelegging», det vil si at når ett element først er trukket ut, kan vi ikke trekke det på nytt. Men vi kan også trekke «med tilbakelegging», det vil si at vi tenker oss at vi legger det uttrukne elementet tilbake i den opprinnelige mengden, slik at vi kan trekke det en gang til.

Som vi så i avsnittet om permutasjoner, hadde vi, når vi trakk fra en mengde med n elementer, n valgmuligheter i første trekning, n−1 i neste, deretter n−2 og så videre. Vi hadde ikke tilbakelegging, så for hver trekning ble det ett element mindre å velge blant.

Trekker vi derimot flere ganger med tilbakelegging fra en mengde på n elementer, har vi jo hver gang n elementer å velge blant. Trekker vi 2 ganger, får vi derfor n2 mulige ordnede utvalg, trekker vi 3 ganger, får vi n3 mulige ordnede utvalg, og så videre.

$\fbox{Antall ordnede utvalg med $k$ elementer av totalt $n$ ved tilbakelegging: $n^k$}$

Når vi trekker uten tilbakelegging, kan vi jo ikke trekke flere elementer enn de vi har, så k ≤ n. Noen slik begrensning eksisterer ikke med tilbakelegging, vi kan trekke så mange ganger vi vil.

Eksempel 1:

Ei rekke på en tippekupong består 12 kamper, der vi for hver kamp har mulighetene ′H′, ′U′ og ′B′, og vi skal finne ut hvor mange kombinasjonsmuligheter det finnes i ei slik rekke. Det vi spør etter da, er egentlig antall ordnede utvalg når vi trekker 12 ganger fra en mengde på 3 med tilbakelegging. Utvalget er ordnet fordi rekkefølgen på kampene er viktig, at kamp 1 er ′H′ og kamp 2 er ′B′ er for eksempel ikke det samme som at kamp 1 er ′B′ og kamp 2 er ′H′. Utvalget er med tilbakelegging fordi ′H′, ′U′ og ′B′ er like tilgjengelige i hver kamp.

Antall mulige rekker blir derfor

312 = 531 441.

Sannsynligheten for å få 12 rette hvis vi setter opp ei rekke tilfeldig, er

${\large \frac{1}{531 \, 441}} \approx 1{,}882\cdot 10^{−6}$, om lag 0,00019 %.

Ikke mye, men 10 ganger mer enn sannsynligheten for å vinne hovedgevinsten i Lotto.

I motsetning til i Lotto kan vi imidlertid i Tipping forbedre sjansene ved å ikke velge tilfeldig. Statistikken viser at det i gjennomsnitt er flere hjemmeseiere, ′H′, enn borteseiere, ′B′, og flere borteseiere enn uavgjort, ′U′. Den mest sannsynlige rekka, hvis vi ikke tar hensyn til hvilke lag som spiller, har derfor 12 hjemmeseiere. Så vil vi også kunne forbedre sjansene ved å ta hensyn til hvilke lag som spiller og satse på at de beste lagene vinner.

Dette er forskjellen på Lotto og Tipping. I Lotto har vi ingen mulighet til å forutse resultatet, alle mulige kombinasjoner er like sannsynlige. Slik er det ikke i Tipping, sannsynlighetene varierer med hvilke kamper som spilles. Å velge tilfeldig er derfor en fin strategi i Lotto, men ikke i Tipping.

Oppgave 1:

En kodelås består av tre kodehjul, hvert med sifre fra 0 til 9. Hvor mange mulige koder kan stilles inn på låsen?

Se løsningsforslag

Kilder

    • Hinna, K.R.C., Rinvold, R.A., Gustavsen, TS. (2011). QED 5-10, bind 1. Høyskoleforlaget
    • Hagen, Per C. (2000). Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk. Cappelen akademisk
    • Birkeland, P.A., Breiteig, B., Venheim, R. (2012). Matematikk for lærere 2. Universitetsforlaget
Publisert

Ordnede og uordnede utvalg

I artikkelen om permutasjoner studerte vi hvilke kombinasjonsmuligheter vi har når vi setter elementer sammen i en bestemt rekkefølge. For eksempel kan vi, når vi velger to av tallene 1, 2 og 3, danne kombinasjonene 1-2, 1-3, 2-1, 2-3, 3-1 og 3-2. Disse kombinasjonene kalles ordnede utvalg fordi rekkefølgen elementene står i, er viktig. Men ser vi bort fra rekkefølgen, vil henholdsvis 1-2 og 2-1, 1-3 og 3-1, og 2-3 og 3-2 representere samme utvalg. Disse kalles uordnede utvalg fordi rekkefølgen elementene står er uten betydning. De mulige uordnede utvalgene består av kombinasjonene {1, 2}, {1, 3}, og {2, 3}.

Vi har tidligere introdusert en formel for å beregne antall k-permutasjoner av totalt n elementer. Dette er egentlig det samme som antall ordnede utvalg:

$\fbox{Antall ordnede utvalg med $k$ elementer av totalt $n$: $\frac{\displaystyle n!}{\displaystyle (n − k)!}$}$

Siden k elementer kan organiseres på k! måter, betyr det at vi finner antall uordnede utvalg ved å dividere dette antallet på k!:

$\fbox{Antall uordnede utvalg med $k$ elementer av totalt $n$: $\frac{\displaystyle n!}{\displaystyle k!(n − k)!}$}$

Eksempel 1:

I pengespillet Lotto dannes en vinnerrekke ved at det trekkes 7 av totalt 34 tall.

Antall måter en sekvens på 7 tall av totalt 34 kan trekkes på, er det samme som antall ordnede utvalg med 7 av 34 elementer:

${\large \frac{34!}{(34 − 7)!}} = 27 \, 113 \, 264 \, 460$.

Men når trekningen er foretatt, ordnes tallene i stigende rekkefølge, så rekkefølgen tallene trekkes i, har ingen betydning. For eksempel gir både 12-28-17-7-6-2-31 og 7-17-2-6-12-31-28 vinnerrekka 2-6-7-12-17-28-31.

For å finne antall mulige vinnerrekker, må vi altså dividere med antall måter 7 tall kan organiseres på, nemlig 7!, og beregne antall mulige uordnede utvalg:

${\large \frac{34!}{7!(34 − 7)!}} = 5 \, 379 \, 616$.

Det finnes altså ca. 5,38 millioner mulige vinnerrekker.

Det finnes en egen skrivemåte for å uttrykke «antall uordnede utvalg med k av totalt n elementer», ${\large \binom{n}{k}}$, som leses «n over k». Altså

$\fbox{${\large \binom{n}{k}} = \frac{\displaystyle n!}{\displaystyle k!(n − k)!}$}$

Vi kaller også gjerne dette «antall kombinasjoner med k av n elementer».

Excel har en egen funksjon, kombinasjon, til å beregne antall kombinasjoner, der kombinasjon(n, k) gir antall kombinasjoner med k av n elementer. Vi skriver for eksempel =kombinasjon(34; 7) for å gjøre beregningen i eksempel 8. Tilsvarende funksjon i GeoGebra heter nCr(n, k) Vi skriver for eksempel nCr(34, 7) i inntastingsfeltet eller CAS for å gjøre beregningen i eksempel 1.

Eksempel 2:

Vi skal regne ut hvor mange forskjellige pokerhender det finnes. En pokerhånd består av 5 av totalt 52 kort, så det vi må beregne er hvor mange kombinasjoner, altså antall uordnede utvalg, det finnes med 5 av 52 elementer. Vi får

${\large \binom{52}{5}} = {\large \frac{52!}{5!(52 − 5)!}} = 2 \, 598\, 960$, som er det samme tallet vi brukte da vi i introduksjonen regnet på sannsynlighet for å få tress utdelt i poker.

Vi kan kontrollere svaret i Excel ved å skrive =kombinasjon(52; 5) og i GeoGebra ved å skrive nCr(52, 5).

Oppgave 1:

I en bedrift med 25 ansatte skal det velges 3 representanter til en delegasjon. Beregn hvor mange forskjellige delegasjoner som kan velges. Bruk formel, og kontroller svaret i Excel eller GeoGebra.

Se løsningsforslag

Kilder

    • Hinna, K.R.C., Rinvold, R.A., Gustavsen, TS. (2011). QED 5-10, bind 1. Høyskoleforlaget
    • Hagen, Per C. (2000). Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk. Cappelen akademisk
    • Birkeland, P.A., Breiteig, B., Venheim, R. (2012). Matematikk for lærere 2. Universitetsforlaget