Potensregning

At et symbol multipliseres et antall ganger med seg selv, uttrykker vi gjerne som en potens på formen an, der a kalles grunntallet og n eksponenten. an betyr at a skal multipliseres med seg selv n ganger. x3 betyr for eksempel x · x · x.

Eksempel 1:

2 · 2 · 2 = 23 = 8.

6 · 6 = 62 = 36.

(−2) · (−2) · (−2) = (−2)3 = −2. Et negativt tall opphøyd i et oddetall blir et negativt tall.

(−6) · (−6) = (−6)2 = 36. Et negativt tall opphøyd i et partall blir et positivt tall.

Bortsett fra de aller enkleste utgavene kan kalkulatorer regne ut potenser. I GeoGebra bruker vi symbolet ^, «hatt» til å angi «opphøyd i». For eksempel skriver vi 32 som 3^2.

Oppgave 1:

Regn ut (−5)4 på kalkulator og i GeoGebra.

Se løsningsforslag

Regneregler for potenser

Vi skal se på noen regneregler for potenser.

  • $a^0 = 1$
    Alle tall opphøyd i 0 blir 1.
  • $a^1 = a$
    Å opphøye noe i 1 har ingen effekt. Eksponenter som er lik 1, skrives derfor vanligvis ikke.
  • $a^{\large x} \cdot a^{\large y} = a^{\large x + y}$
    Å multiplisere to potenser med samme grunntall er det samme som å opphøye grunntallet i summen av eksponentene.

Eksempel 2:

$2^4 \cdot 2^3 = 2^{4+3} = 2^7 = 128$

Oppgave 2:

Regn ut ved å bruke regelen for å multiplisere potenser med samme grunntall.

$3^5 \cdot 3^2$

$3\cdot3^2$

Se løsningsforslag

  • $\frac{\displaystyle a^{\large x}}{\displaystyle a^{\large y}} = a^{\large x − y}$
    Å dividere to potenser med samme grunntall er det samme som å opphøye grunntallet i differansen av eksponentene.

Oppgave 3:

Regn ut ved å bruke regelen for å dividere potenser med samme grunntall.

$\frac{\displaystyle 4^{5}}{\displaystyle 4^{3}}$

$\frac{\displaystyle 4^2}{\displaystyle 4^{−2}}$

Se løsningsforslag

  • ${(a^{\large x})}^{\large y} = a^{\large x , \cdot , y}$
    Å opphøye en potens i en eksponent er det samme som å opphøye i produktet av eksponentene.

Eksempel 4:

${(2^{3})}^{5} = 2^{3 \, \cdot \, 5} = 2^{15} = 32768$

Oppgave 4:

Regn ut ved å bruke regelen for å opphøye en potens i en eksponent.

${(3^{2})}^{3}$ 

${(3^{−2})}^{−3}$

Se løsningsforslag

  • $a^{\large x} \cdot b^{\large x} = (a \cdot b)^{\large x}$
    Å multiplisere to potenser med samme eksponent er det samme som å multiplisere grunntallene først, og deretter opphøye i eksponenten.

Eksempel 5:

$2^{3} \cdot 4^{3} = (2 \cdot 4)^{3} = 8^3 = 512$ 

Oppgave 5:

Regn ut ved å bruke regelen for å multiplisere to potenser med samme eksponent.

$3^{2} \cdot 4^{2}$

Se løsningsforslag

  • $\frac{\displaystyle a^{\large x}}{\displaystyle b^{\large x}} = (\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b})^{\large x}$
    Å dividere to potenser med samme eksponent er det samme som å dividere grunntallene først, og deretter opphøye i eksponenten.

Oppgave 6:

Regn ut ved å bruke regelen for å dividere to potenser med samme eksponent.

$\frac{\displaystyle 6^2}{ \displaystyle 3^2}$

Se løsningsforslag 

  • $a^{\large x} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a^{\large −x}}$
    Vi kan flytte en potens under/over en brøkstrek hvis vi samtidig endrer fortegn på eksponenten.

Eksempel 7:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3^{−2}} = 3^2 = 9$

$2^{−3} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2^3} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 8}$

Oppgave 7:

Regn ut ved å bruke regelen om å flytte en potens under/over en brøkstrek med fortegnsskifte på eksponenten.

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2^{−4}}$

$3^{−4}$

Se løsningsforslag

For potenser av summer og differanser finnes egne regneregler. Det er generelt slik at

$\left(a+b\right)^x \ne a^x + b^x$ og $\left(a−b\right)^x \ne a^x − b^x$

For eksempel er (3 + 2)2 = 52 = 25 ikke det samme som 32 + 22 = 9 + 4 = 13, og (3 − 2)2 = 12 = 1 er ikke det samme som 32 − 22 = 9 − 4 = 5. Men det er en vanlig feil blant skoleelever å tro at det finnes slike regler.

Så en oppgave der du må kombinere flere av reglene du har lært:

Oppgave 8:

Forenkle så langt det er mulig: $\frac{\displaystyle {(a^{\large 2})}^{\large 3}a^{\large 4}}{\displaystyle {(a^{\large 3})}^{\large 2}}$

SkjermfilmSe film der utregningen vises
 

Algebraiske uttrykk med potenser

Et algebraisk uttrykk kan inneholde potenser. Vi må da være oppmerksomme på at ledd ikke er av samme type hvis potensene er forskjellige. For eksempel er x4y og x2y ikke av samme type, og kan ikke trekkes sammen. Men x4y og (x2)2y er av samme type fordi (x2)2 = x4.

Etter at leddene er sortert alfabetisk, er det vanlig å sortere etter synkende potenser.

Ifølge den kommutative lov kan vi fritt bytte om på faktorene i et ledd, ab = ba, for eksempel er y2x3 = x3y2.

Eksempel 8:

Vi skal trekke sammen xyx2y + 3y2x3

Vi bytter om faktorene i det første leddet slik at vi samler x og y: xyx2y = xx2yy

Vi bruker reglene for å multiplisere potenser: xx2yy = x1+2y1+1 = x3y2

Vi bytter om faktorene i det andre leddet: 3y2x3 = 3x3y2

Så  xyx2y + 3y2x3 = x3y2 + 3x3y2

Dette er to like ledd som vi kan slå sammen, og vi får 4x3y2.

Oppgave 9:

Forenkle potensene og trekk uttrykket sammen så langt det er mulig: x2y2x + x3y3x(−1) − x3y2 + xyyyyy(−1)x

SkjermfilmSe film der utregningen vises
 

Kilder

    • Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag
    • Selvik, B.K., Rinvold R. & Høines, M.J. (2007). Algebra og funksjonslære. Casper forlag

Elementær algebra

Algebra og aritmetikk

Den grenen av matematikken vi først møter gjennom skolen, er aritmetikk. I aritmetikken arbeider vi stort sett med tall, vi lærer for eksempel at 3 + 3 = 6. I algebra beveger vi oss over på et mer abstrakt plan, og arbeider med symboler. Som symboler bruker vi gjerne bokstaver. Vi kan for eksempel si at a + a = 2 · a. Bokstavene henter vi både fra vårt vanlige latinske alfabet og det greske alfabetet.

Algebraiske symboler

Hvis vi i aritmetikken sier at 3 + 3 = 2 · 3, forteller vi at å addere tre og tre er det samme som å multiplisere to og tre. Men hvis vi lar a symboliserer et vilkårlig tall, og sier at a + a = 2 · a, sier vi at å addere to like tall er det samme som å multiplisere tallet med to, uansett hvilket tall det er.

Ordet algebra kommer det arabiske ordet al-jabr og betyr sammensetning eller gjenoppretting.

Når vi multipliserer symboler, eller tall og symboler, er det ikke vanlig å skrive multiplikasjonstegn. I stedet settes tall og symboler inntil hverandre. For eksempel skrives a · b som ab og 2 · a som 2a. Mellom tall må vi imidlertid beholde multiplikasjonstegnet, vi kan ikke skrive 2 · 3 som 23.

Algebraiske uttrykk

Ofte setter vi symbolene sammen i algebraiske uttrykk. Et eksempel på et algebraisk uttrykk er 3xy − 3x + 2xy + 5x. Hver gruppe av symboler og tall kalles ledd i uttrykket, i dette eksempelet er leddene 3xy, −3x, 2xy og 5x. Tallene i hvert ledd kalles koeffisienter. I vårt eksempel er koeffisientene 3, −3, 2 og 5. Ledd der bare koeffisientene er forskjellige, kalles ledd av samme type. Ledd av samme type kan trekkes sammen ved addisjon og subtraksjon.

Det er vanlig å sortere leddene alfabetisk etter sammentrekningen.

Eksempel 1:

Vi skal trekke sammen og forenkle 3yz − 4x + 2yz + 5x så mye som mulig.

Vi organiserer leddene slik at like ledd kommer etter hverandre:

3yz + 2yz − 4x + 5x 

Vi trekker sammen like ledd:

5yz + 1x

Vi organiserer leddene alfabetisk og sløyfer 1-tallet. Koeffisienter som er lik 1, skrives vanligvis ikke. Vi skriver bare x i stedet for 1x:

x + 5yz

I eksempel 1 har vi vist utregningen i mer detalj enn en vanligvis gjør. Med litt øvelse vil vi kunne gjøre mange av regneoperasjonene i hodet. 

Oppgave 1:

Trekk uttrykket sammen så langt det er mulig: 4xy + 8z − 3xy + 5x − 3z.

SkjermfilmSe film der utregningen vises
 

Kilder

    • Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag
    • Selvik, B.K., Rinvold R. & Høines, M.J. (2007). Algebra og funksjonslære. Casper forlag