Stikkord: punkt

Publisert

Funksjonsanalyse med GeoGebra

I denne artikkelen skal vi se hvordan vi kan bruke GeoGebra til å lage grafer og punkter, finne funksjonsverdier, skjæringspunkter, ekstremalpunkter, vendepunkter og asymptoter, samt lage verditabeller og bruke glidere.

Eksempel 1:

Vi skal studere funksjonen f(x) = x4 + 6x3 + 7x2 − 5x − 1. Vi starter med å skrive inn funksjonsforskriften i inntastingsfeltet. Potenser angis med en hatt (^), så det blir
x^4 + 6x^3 + 7x^2 – 5x – 1. Grafen kommer opp i grafikkfeltet mens vi skriver, og når vi trykker på linjeskift-tasten, kommer funksjonsforskriften opp i algebrafeltet:

Graf til en fjerdegradsfunksjon i GeoGebra

Det kan være at vi må justere på akseverdiene for å få bildet slik som vist i eksempel 1. For å justere på akseverdiene åpner vi innstillinger-dialogboksen ved å velge «Rediger» – «Egenskaper», klikker på trekantsymbolet, og velger min- og maksverdier for x og y. I bildet over er «x-min» = -6, «x-max» = 3, «y-min» = -8, «y-max» = 10. (I stedet for å velge fra hovedmenyen kan vi også få opp innstillinger-dialogboksen ved å høyreklikke i grafikkfeltet eller på funksjonsforskriften i algebrafeltet og velge «Egenskaper»).

Punkter

Det finnes flere måter å lage punkter på, beskrevet i brukermanualen. Her skal vi lage punkter ved å skrive inn koordinatene, (x, y), i inntastingsfeltet, for eksempel (2, 3) eller (-2, 1). Punktene dukker opp både i algebrafeltet og i grafikkfeltet, og gis navn fortløpende med store bokstaver, A, B, C, etc. Vi kan også gi punktene egne navn, da skriver vi navnet og et likhetstegn foran koordinatene, for eksempel Origo = (0, 0). Et punktnavn kan altså bestå av flere bokstaver. NB! Første bokstav i navnet må være stor (versal), ellers blir punktet tolket som en vektor.

Funksjonsverdier

Med funksjonsverdien mener vi den verdien en funksjon gir ut når vi putter inn en gitt x-verdi. For å finne en funksjonsverdi, skriver vi funksjonsnavnet med den ønskede x-verdien i parentes i inntastingsfeltet. Har vi lagt inn en funksjon, f(x), finner vi for eksempel verdien til f i x = 1 ved å skrive f(1). Funksjonsverdien kommer opp i algebrafeltet, med navnet a. Navnene tildeles fortløpende på samme måte som for punkter, a, b, c, etc., men kan også gis egne navn på samme måte, for eksempel start = f(0). Vi kan fritt bruke både store og små bokstaver.

Basert på x-verdien og den tilhørende funksjonsverdien kan vi lage punkter på grafen til f(x). Har vi for eksempel funnet to funksjonsverdier, a = f(1) og b = f(−1), skriver vi (1, a) og (-1, b) i inntastingsfeltet.

Vi kan også lage et punkt på grafen uten å finne funksjonsverdien eksplisitt først. Vil vi for eksempel lage et punkt på grafen der x-verdien er −2, skriver vi (-2, f(-2)).

Oppgave 1:

Bruk GeoGebra til å tegne grafen til funksjonen g(x) = x3 − 4x + 2, og plott punktene på grafen som har x-verdi −1 og 1. Kall punktene A og B.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

NB! I den løsningen som vises på filmen heter funksjonen z(x). Nå godtar ikke lenger GeoGebra z som funksjonsnavn, så oppgaven spør derfor etter g(x). Når du ser filmen, må du bare derfor huske å skrive g alle steder filmen sier z.

Skjæringspunkter

Med GeoGebra kan vi finne skjæringspunktene mellom to kurver, eller mellom en kurve og aksene. En enkel måte å gjøre det på er å velge «Skjæring mellom to objekt» fra menyen som vist under.

Menyvalg for å finne skjæring mellom to punkter i GeoGebra

Deretter klikker vi på kurvene/aksene vi vil finne skjæringspunktene mellom. Bildet under viser skjæringspunktene mellom
f(x) = x4 + 6x3 + 7x2 − 5x − 1 og x-aksen.

Skjæring mellom graf og x-akse i GeoGebra

Disse punktene representerer de fire løsningene til fjerdegradslikningen
 x4 + 6x3 + 7x2 − 5x − 1 = 0.

Ekstremalpunkter, nullpunkter og vendepunkter

Med GeoGebra kan vi finne en funksjons ekstremalpunkter, det vi si maksimums- og minimumspunkter, nullpunkter og vendepunkter.

I det følgende forutsetter vi at funksjonen f(x) er en polynomfunksjon. GeoGebra har mulighet for å finne ekstremalpunkter og nullpunkter til andre funksjonstyper også, men kommandoene krever flere parametere, og vi går ikke inn på det her. Sjekk i brukermanualen. Vendepunkter kan vi bare finne i polynomfunksjoner.

Ekstremalpunktene finner vi ved å skrive ekstremalpunkt i inntastingsfeltet etterfulgt av funksjonsnavnet i parentes, for eksempel ekstremalpunkt(f).

Nullpunktene finner vi ved å skrive nullpunkt i inntastingsfeltet etterfulgt av funksjonsnavnet i parentes, for eksempel nullpunkt(f). Nullpunktene er de samme som vi finner ved å be om skjæringspunktene mellom kurven og x-aksen.

Vendepunktene finner vi ved å skrive vendepunkt i inntastingsfeltet etterfulgt av funksjonsnavnet i parentes, for eksempel vendepunkt(f).

Oppgave 2:

Ta utgangspunkt i funksjonen f(x) = x3 + 2x2 − x − 2.

      1. Bruk GeoGebra til å finne ekstremalpunktene til funksjonen.
         
      2. Bruk GeoGebra til å finne funksjonens vendepunkt.
         
      3. Bruk GeoGebra til å løse likningen x3 + 2x2 − x − 2 = 0.

Se løsningsforslag

​Asymptoter

GeoGebra kan finne både horisontale, vertikale og skrå asymptoter. For å finne asymptotene til en funksjon skriver vi asymptote i inntastingsfeltet etterfulgt av funksjonsnavnet i parentes, for eksempel asymptote(f).

Asymptotene presenteres i form av ei liste. Hvis en funksjon ikke har noen asymptoter, er lista tom.

Oppgave 3:

Finn eventuelle asymptoter til funksjonene

      1. $f(x) = 3 + \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x + 4}$
         
      2. $g(x) = x^2 + 3x − 2$

Se løsningsforslag

Lage verditabell

Ønsker vi å lage mange punkter langs en graf, er det tungvint å skrive inn x-verdiene én og én slik vi gjorde tidligere. Mye mer effektivt er det å bruke regneark-funksjonen til å generere en mengde punkter automatisk. Hvordan dette gjøres, er det lettest å vise ved hjelp av en film.

SkjermfilmSe film om å lage verditabell
 

Oppgave 4:

Tegn grafen til f(x) = x3 − 4x + 2 og bruk verditabell til å plotte punkter på grafen med x-verdier fra −2 til 2 i sprang på 0,2.

Det er ikke laget eget løsningsforslag til denne oppgaven, men den er nesten helt lik det som vises i filmen om å lage verditabell, så bruk filmen til hjelp.

Bruke glidere

Av og til ønsker vi å se hvordan grafen til en funksjon endrer seg når en konstant endrer seg. For eksempel studere hvordan stigningen til grafen til f(x) = ax + b endrer seg når a endrer seg, og hvordan skjæringspunktet med y-aksen endrer seg når b endrer seg.

Til det kan vi bruke glidere. En glider som heter a er vist under. I GeoGebra kan vi klikke på prikken og dra den mot høyre for å øke verdien til a, og mot venstre for å redusere verdien til a.

Glider i GeoGebra

For å sette inn en glider, velger vi fra menyen som vist under:

Velge glider fra menyen i GeoGebra

Deretter klikker vi på stedet i grafikkfeltet der vi vil ha glideren.
Vi får opp en dialogboks som vist under:

Dialogboks for å angi glider-data

Det viktigste her er å velge riktig navn. GeoGebra foreslår a som navn på første glider, b som navn på andre og så videre. Dette navnet må samsvare med parameteren vi skal undersøke. Dersom vi for eksempel skal undersøke k i funksjonen f(x) = kx2, må glideren hete k.

Når vi har valgt navn, må vi velge intervall, det vil si hvilket tallområde glideren skal dekke. I dialogboksen over er «Min» = -5 og «Maks» = 5, det betyr at glideren dekker intervallet [−5, 5]. Når den står helt til venstre, har den verdi −5, og når den står helt til høyre har den verdi 5.

Vi kan også velge animasjonstrinn, det vil si hvor mye verdien endrer seg når vi drar i glideren. I dialogboksen over er animasjonstrinnet «0.1», det vil si at hvis glideren står helt til venstre og vi drar den mot høyre, vil verdiene bli −5,0, −4,9, −4,8, … , 5.0.

Oppgave 5:

Bruk glidere i GeoGebra til å studere hvordan forskjellige valg av n påvirker grafen til funksjonen f(x) = xn. La n variere mellom hele tall fra 0 til 10.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

GeoGebra-filSe den tilhørende GeoGebra-fila
 

Oppgave 6:

I et fysikkforsøk varmer en gruppe elever opp vann til det koker, mens de måler temperaturen hvert minutt. Temperaturen stiger en stund lineært med tida, men stopper på 100 grader.

I perioden mellom 10 og 14 minutter måler de følgende:

Tid (min) 10 11 12 13 14
Temperatur (grader Celsius) 60 64 70 76 80

Legg målingene inn som punkter i GeoGebra, og bruk glidere til å anslå en funksjonsforskrift for en lineær funksjon, f(t), som kan brukes som modell for forsøket. La gliderne angi hele tall. (Du skal altså finne forskriften at + b for ei rett linje som går nærmest mulig målepunktene, der a og b er hele tall, og t er tida).

        1. Hvilken funksjonsforskrift fant du?
           
        2. Bruk funksjonsforskriften til å anslå hvilken temperatur vannet hadde da forsøket startet.
           
        3. Bruk funksjonsforskriften til å anslå hvor mye temperaturen stiger per minutt.
           
        4. Kan funksjonsforskriften brukes til å anslå hvilken temperatur vannet vil ha etter 30 minutter?

Se løsningsforslag

Kilder

    • Bueie, H: (2011) GeoGebra for lærere. Universitetsforlaget
    • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
Publisert

Plangeometriske figurer

Denne artikkelen gir en oversikt over sentrale begreper og formler for plangeometriske figurer.

Plangeometriske figurer har utstrekning i inntil to retninger, de er flate. Vanlige plangeometriske figurer er:

Punkter

Et punkt har posisjon, men ingen utstrekning, det har altså dimensjon 0. Men vi må naturligvis gi et punkt en viss utstrekning når vi tegner det. Vi bruker vanligvis store bokstaver A, B, C, …, som navn på punkter, og markerer dem med en prikk, et kryss eller lignende.

Punkter

Rette linjer

En rett linje har posisjon, retning og uendelig utstrekning. Linjer har dimensjon 1, det vil si at de ikke har bredde, selv om vi naturligvis må gi dem en viss bredde når vi tegner dem. Linjer gis vanligvis navn med små bokstaver l, m, n, …

Gitt to punkter A og B, finnes det nøyaktig én linje som går gjennom A og B. Denne noteres som l(A, B), «linja gjennom A og B» eller «linja AB».

Linje

Linjestykker

Et linjestykke er en del av ei linje som er begrenset av to endepunkter, A og B, nemlig den delen av linja gjennom A og B som ligger mellom A og B. Vi lar AB både betegne linjestykket fra A til B (eller fra B til A) og lengden av dette linjestykket, som kan defineres som avstanden mellom endepunktene. Det vil da framgå av sammenhengen hva som menes.

Linjestykke

Stråler

En stråle er del av en linje som er bestemt ved et startpunkt og ved at den er ubegrenset i én av de to mulige retningene. Den har uendelig utstrekning. Hvis A er et endepunkt på en stråle og B er et punkt på strålen, snakker vi om strålen fra A gjennom B.

Stråle

Vinkler

To linjer kan være plassert på forskjellige måter i forhold til hverandre: Enten har de ikke noen punkter felles og er parallelle, eller de skjærer hverandre i en vinkel. At to linjer, l og m, er parallelle skriver vi $l \parallel m$. Skriver vi $l \not \parallel m$, betyr det at linjene l og m ikke er parallelle, men skjærer hverandre.

En vinkel er en del av planet som er begrenset av to stråler med felles startpunkt. Dette startpunktet kalles vinkelens toppunkt. Hvis vinkelen er definert ved hjelp av strålen fra O gjennom A og strålen fra O gjennom B, skriver vi «vinkelen AOB» eller $\angle AOB$. Strålene OA og OB kalles vinkelens vinkelbein.

Hvis det bare er én vinkel med toppunkt i O, kan vi skrive $\angle O$ uten å bli misforstått. Eller vi kan gi vinkelen navn som u, v og w.

Vinkel

Vi markerer ofte vinkler med små sirkelbuer i ulike format, gjerne slik at vinkler som er like store, får samme format.

Vinkelbuer

Vinkeltyper

En spiss vinkel er en vinkel som er mindre enn 90°.

Spiss vinkel

En rett vinkel er en vinkel som er nøyaktig 90°.

Rett vinkel

En stump vinkel er en vinkel som ligger mellom 90° og 180°.

Stump vinkel

En like vinkel er en vinkel som er nøyaktig 180°.

Like vinkel

En full vinkel er en vinkel som er nøyaktig 360°.

Full vinkel

To vinkler som til sammen utgjør en like vinkel, kalles nabovinkler hvis de har et felles vinkelbein.
To vinkler med bein som er forlengelser av hverandre, kalles toppvinkler.

I figuren under er v og w, w og x, x og u, og u og v nabovinkler. v og x og u og w er toppvinkler.

Vinkelgruppe

Når vinkelen mellom to rette linjer, l og m, er rett, sier vi at l er en normal til m, eller at m er en normal til l.

To vinkler som til sammen utgjør en rett vinkel, er komplementvinkler til hverandre.

Komplementvinkel

To vinkler som til sammen utgjør en like vinkel, er supplementvinkler til hverandre.

Supplementvinkel

Nabovinkler er supplementvinkler med samme toppunkt og et felles vinkelbein imellom dem.

Nabosupplementvinkel

To vinkler som enten har venstre vinkelbein eller høyre vinkelbein felles, kaller vi samsvarende vinkler.
Samsvarende vinkler behøver ikke være like store.

Samsvarende vinkler

Vinkelsammenhenger

Toppvinkler er like store.

Toppvinkler

Samsvarende vinkler er like store hvis og bare hvis de to overskårne linjene er parallelle.

Like, samsvarende vinkler

To vinkler er like store hvis vinkelbeina er parvis parallelle.

Parvis parallelle vinkelbein

Når vinkelbeina til to vinkler står parvis normalt på hverandre, er vinklene like.

Parvis normale vinkelbein

Sirkler

En kurve i planet kan illustreres ved en strek på papiret, tegnet uten å løfte blyanten. En kurve kalles enkel hvis den ikke krysser seg selv.
Kurve

En lukket kurve er en kurve uten endepunkter. Enhver enkel, lukket kurve deler planet i to områder, som kalles kurvens ytre og indre område.
Lukket kurve

En sirkel består av alle punkter i planet som har en gitt, fast avstand fra et bestemt punkt, sirkelens sentrum. Selve sirkelen omtales også som sirkelperiferien. Avstanden fra sentrum til periferien kalles sirkelens radius.

En sirkel er eksempel på en lukket kurve. 
Sirkel

Omkretsen av en sirkel med radius r er gitt ved O = 2πr.

Arealet av en sirkel med radius r er gitt ved A = πr2.

En korde i en sirkel er et linjestykke med endepunkter på sirkelen. En diameter i en sirkel er en korde som går gjennom sirkelens sentrum. En radius i en sirkel er et linjestykke fra sentrum til et punkt på sirkelen, altså en halv diameter. En sekant er en rett linje som skjærer sirkelen. En tangent til sirkelen er en rett linje som har ett punkt – berøringspunktet eller tangeringspunktet, felles med sirkelen. Vi kan tenke på en tangent som grensestillingen for en sekant når de to skjæringspunktene nærmer seg hverandre. En bue er en del av sirkelperiferien.

Arealet av det indre området i en sirkel avgrenset av en korde kalles et segment, og arealet avgrenset av to radier kalles en sektor.

Disse begrepene er illustrert i bildene under:

Sirkelbegreper

Mangekanter

En mangekant, også kalt polygon, er en enkel, lukket to-dimensjonal kurve som består av rette linjestykker mellom like mange punkter i et plan. Dette betyr at mangekanten må ha minst tre hjørner. Under ser vi en enkel, men ikke lukket kurve, og en lukket, men ikke enkel kurve. Ingen av disse kurvene oppfyller derfor kravene til mangekanter.
Ikke-mangekant

Vi kan beskrive mangekanter ut fra kanter (sider), vinkler og hjørner. Forskjellen på hjørner og kanter er at kantene er selve linjestykket, mens hjørnet er der to linjestykker møtes:
Mangekant, beskrivelse

En mangekant kalles konveks hvis alle linjer vi trekker mellom to vilkårlige punkter i mangekanten holder seg i det indre området. I en konveks mangekant er alle vinklene mindre enn 180°. Bildene under viser en konveks og en ikke-konveks mangekant. Vi ser at mangekanten som ikke er konveks har en vinkel som er større enn 180°, markert med rød pil, og at vi kan trekke linjer som går ut av det indre området, et eksempel vist med grønt.
Konvekse figurer

I regulære mangekanter er alle sider like lange og alle vinkler like store. Bildet under viser en regulær trekant, firkant, femkant, sekskant, sjukant og åttekant.

Regulære mangekanter

Trekanter

Den enkleste mangekanten er trekanten, med tre hjørner og sider. Vi navngir gjerne en trekant etter hjørnene, for eksempel kalles en trekant med hjørner A, B og C for «trekanten ABC», noe vi også skriver som $\triangle ABC$.

Vinkelsummen i en trekant er alltid 180°.

Arealet av en trekant med grunnlinje g og høyde h er gitt ved $A=\frac{\displaystyle gh}{\displaystyle 2}$

Vi deler trekanter inn i flere typer etter egenskaper ved vinklene i trekanten:

    • En spiss eller spissvinklet trekant er en trekant der alle vinklene er mindre enn 90°.
       
    • En stump eller stumpvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er større enn 90°.
       
    • En rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er 90°. De hosliggende sidene til den rette vinkelen kalles kateter, mens den motstående siden kalles hypotenusen.
       
    • En likesidet trekant er en trekant der alle sidene er like lange. Også alle vinklene blir da like, nemlig 60°.
       
    • En likebeint trekant er en trekant der to av sidene er like lange. To av vinklene blir da også like.

Dette er illustrert i bildet under:

Trekanttyper

Vi kan plassere de forskjellige trekanttypene i et hierarki, slik:

Trekanthierarki

Firkanter

Firkanten har, som navnet sier, fire hjørner og kanter. På samme måte som i en trekant navngir vi gjerne etter hjørnene, for eksempel kalles en firkant med hjørner A, B, C og D for «firkanten ABC», noe vi også skriver som $\Box ABCD$. Ei linje mellom to motstående hjørner i en firkant kalles en diagonal.

Vi deler firkantene inn i flere typer, der parallellitet, vinkler og sidelengden er definerende egenskaper:

    • Hvis to par sider med felles vinkel er like lange, har vi en drake.
       
    • Hvis to av sidene er parallelle, kalles firkanten for et trapes.
       
    • Hvis to og to av sidene er parallelle, kalles firkanten for et parallellogram.
       
    • Hvis alle sidene i et parallellogram er like, har vi en rombe.
       
    • Hvis alle de indre vinklene i et parallellogram er rette, har vi et rektangel.
       
    • Et rektangel der alle sidene er like, kalles et kvadrat.

Dette er illustrert i bildet under:

Firkanttyper

Oppgave 1:

I forrige avsnitt plasserte vi trekantene i et hierarki. Plasser firkantene i et tilsvarende hierarki.

Se løsningsforslag

Arealet av et parallellogram med grunnlinje g og høyde h, er gitt ved A = g · h. 

Arealet av et trapes med to parallelle sider a og b, og høyde h, er gitt som $A=\frac{\displaystyle (a + b) \cdot h}{\displaystyle 2}$

Oppgave 2:

    1. I et trapes er de to parallelle sidene henholdsvis 5 og 8 cm. Høyden er 6 cm. Hva er trapesets areal?
    2. Et trapes har areal 26 cm2. De to parallelle sidene er 7 og 6 cm. Hva er trapesets høyde?

Se løsningsforslag

Enhver polygon kan deles opp i trekanter. Dermed kan man i prinsippet beregne ethvert areal som er begrenset av rette linjer.

Areal av polygon

Arealet til en uregelmessig figur kan anslås. Elevene kan prøve å tegne arealet til hånda si på et blankt ark og legge transparenter med rutenett oppå tegningen av håndflaten. Så kan de telle ruter. Snakk om at hvis de kun teller rutene som ligger helt inni hånda, vil arealet bli for lite. Hvis de også teller ruter som hånda delvis ligger inni, vil arealet bli for stort. Jo tettere rutenettet er, jo mer nøyaktig blir målingen.

Areal av hånd

Hjørner og vinkler i mangekanter

Deler vi en firkant i to langs en av diagonalene, får vi to trekanter. Limer vi to trekanter sammen, får vi en firkant. Siden vinkelsummen i en trekant er 180°, blir derfor vinkelsummen i en firkant 360°.

Generelt, hvis vi har en n-kant og limer til en trekant, får vi en (n+1)-kant, der vinkelsummen har økt med 180°. For hvert hjørne utover tre en mangekant har, øker altså vinkelsummen med 180°, og vi har:

Vinkelsummen i en n-kant er
(n − 2) · 180°

I en regulær n-kant er alle vinklene like store. For en regulær n-kant gir derfor regelen over følgende korollar:

Hver vinkel i en regulær n-kant er
${\large \frac{ n – 2}{n}} \cdot 180^\circ$

Kilder

    • Brodahl, C. (2016). Forkurs til MA-924 og MA-925. Upublisert manuskript, UiA.
    • Hinna, K. R. C., Rinvold, R. A., Gustavsen, T. S. (2011) QED 5-10, bind 1. Høyskoleforlaget.