Stikkord: regneregler for potenser

At et symbol multipliseres et antall ganger med seg selv, uttrykker vi gjerne som en potens på formen aⁿ, der a kalles grunntallet og n eksponenten. aⁿ betyr at a skal multipliseres med seg selv n ganger. x³ betyr for eksempel x · x · x.

Eksempel 1:

2 · 2 · 2 = 2³ = 8.

6 · 6 = 6² = 36.

(−2) · (−2) · (−2) = (−2)³ = −8. Et negativt tall opphøyd i et oddetall blir et negativt tall.

(−6) · (−6) = (−6)² = 36. Et negativt tall opphøyd i et partall blir et positivt tall.

Bortsett fra de aller enkleste utgavene kan kalkulatorer regne ut potenser. I GeoGebra bruker vi symbolet ^, «hatt» til å angi «opphøyd i». For eksempel skriver vi 3² som 3^2.

Oppgave 1:

Regn ut (−5)⁴ på kalkulator og i GeoGebra.

Se løsningsforslag

Regneregler for potenser

Vi skal se på noen regneregler for potenser.

• $a^0 = 1$
  Alle tall opphøyd i 0 blir 1.

• $a^1 = a$
  Å opphøye noe i 1 har ingen effekt. Eksponenter som er lik 1, skrives derfor vanligvis ikke.

• $a^{\large x} \cdot a^{\large y} = a^{\large x + y}$
  Å multiplisere to potenser med samme grunntall er det samme som å opphøye grunntallet i summen av eksponentene.

Eksempel 2:

$2^4 \cdot 2^3 = 2^{4+3} = 2^7 = 128$

Oppgave 2:

Regn ut ved å bruke regelen for å multiplisere potenser med samme grunntall.

$3^5 \cdot 3^2$

$3\cdot3^2$

Se løsningsforslag

• $\frac{\displaystyle a^{\large x}}{\displaystyle a^{\large y}} = a^{\large x − y}$
  Å dividere to potenser med samme grunntall er det samme som å opphøye grunntallet i differansen av eksponentene.

Oppgave 3:

Regn ut ved å bruke regelen for å dividere potenser med samme grunntall.

$\frac{\displaystyle 4^{5}}{\displaystyle 4^{3}}$

$\frac{\displaystyle 4^2}{\displaystyle 4^{−2}}$

Se løsningsforslag

• ${(a^{\large x})}^{\large y} = a^{\large x , \cdot , y}$
  Å opphøye en potens i en eksponent er det samme som å opphøye i produktet av eksponentene.

Eksempel 4:

${(2^{3})}^{5} = 2^{3 \, \cdot \, 5} = 2^{15} = 32768$

Oppgave 4:

Regn ut ved å bruke regelen for å opphøye en potens i en eksponent.

${(3^{2})}^{3}$ 

${(3^{−2})}^{−3}$

Se løsningsforslag

• $a^{\large x} \cdot b^{\large x} = (a \cdot b)^{\large x}$
  Å multiplisere to potenser med samme eksponent er det samme som å multiplisere grunntallene først, og deretter opphøye i eksponenten.

Eksempel 5:

$2^{3} \cdot 4^{3} = (2 \cdot 4)^{3} = 8^3 = 512$ 

Oppgave 5:

Regn ut ved å bruke regelen for å multiplisere to potenser med samme eksponent.

$3^{2} \cdot 4^{2}$

Se løsningsforslag

• $\frac{\displaystyle a^{\large x}}{\displaystyle b^{\large x}} = (\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b})^{\large x}$
  Å dividere to potenser med samme eksponent er det samme som å dividere grunntallene først, og deretter opphøye i eksponenten.

Oppgave 6:

Regn ut ved å bruke regelen for å dividere to potenser med samme eksponent.

$\frac{\displaystyle 6^2}{ \displaystyle 3^2}$

Se løsningsforslag 

• $a^{\large x} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a^{\large −x}}$
  Vi kan flytte en potens under/over en brøkstrek hvis vi samtidig endrer fortegn på eksponenten.

Eksempel 7:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3^{−2}} = 3^2 = 9$

$2^{−3} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2^3} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 8}$

Oppgave 7:

Regn ut ved å bruke regelen om å flytte en potens under/over en brøkstrek med fortegnsskifte på eksponenten.

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2^{−4}}$

$3^{−4}$

Se løsningsforslag

For potenser av summer og differanser finnes egne regneregler. Det er generelt slik at

$\left(a+b\right)^x \ne a^x + b^x$ og $\left(a−b\right)^x \ne a^x − b^x$

For eksempel er (3 + 2)² = 5² = 25 ikke det samme som 3² + 2² = 9 + 4 = 13, og (3 − 2)² = 1² = 1 er ikke det samme som 3² − 2² = 9 − 4 = 5. Men det er en vanlig feil blant skoleelever å tro at det finnes slike regler.

Så en oppgave der du må kombinere flere av reglene du har lært:

Oppgave 8:

Forenkle så langt det er mulig: $\frac{\displaystyle {(a^{\large 2})}^{\large 3}a^{\large 4}}{\displaystyle {(a^{\large 3})}^{\large 2}}$

Se film der utregningen vises
 

Algebraiske uttrykk med potenser

Et algebraisk uttrykk kan inneholde potenser. Vi må da være oppmerksomme på at ledd ikke er av samme type hvis potensene er forskjellige. For eksempel er x⁴y og x²y ikke av samme type, og kan ikke trekkes sammen. Men x⁴y og (x²)²y er av samme type fordi (x²)² = x⁴.

Etter at leddene er sortert alfabetisk, er det vanlig å sortere etter synkende potenser.

Ifølge den kommutative lov kan vi fritt bytte om på faktorene i et ledd, ab = ba, for eksempel er y²x³ = x³y².

Eksempel 8:

Vi skal trekke sammen xyx²y + 3y²x³

Vi bytter om faktorene i det første leddet slik at vi samler x og y: xyx²y = xx²yy

Vi bruker reglene for å multiplisere potenser: xx²yy = x¹⁺²y¹⁺¹ = x³y²

Vi bytter om faktorene i det andre leddet: 3y²x³ = 3x³y²

Så  xyx²y + 3y²x³ = x³y² + 3x³y²

Dette er to like ledd som vi kan slå sammen, og vi får 4x³y².

Oppgave 9:

Forenkle potensene og trekk uttrykket sammen så langt det er mulig: x²y²x + x³y³x⁽⁻¹⁾ − x³y² + xyyyyy⁽⁻¹⁾x

Se film der utregningen vises
 

Kilder

• • Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag
  • Selvik, B.K., Rinvold R. & Høines, M.J. (2007). Algebra og funksjonslære. Casper forlag