utvide brøk

Minste felles multiplum til to heltall, a og b, er det minste positive heltallet som er delelig med både a og b. På dette nettstedet skriver vi minste felles multiplum til a og b som MFM(a, b). Andre steder vil vi imidlertid kunne støte på betegnelsen LCM, for «Least Common Multiple», eller at a og b bare listes mellom klammeparenteser, som [a, b].

Et spesialtilfelle som avviker litt fra definisjonen, er MFM(a, 0) = 0. Dette gjelder for alle hele tall, a, og følgelig er også MFM(0, 0) = 0.

Siden MFM er definert som positivt, vil MFM(a, b) være uavhengig av fortegnet til a og b. Vi bruker derfor bare positive a og b i eksempler og oppgaver med MFM.

På ei tallinje kan vi illustrere minste felles multiplum til to tall, a og b, ved å legge et linjestykke med lengde a etter seg selv, og et linjestykke med lengde b etter seg selv. MFM(a, b) vil da være det første tallet begge linjestykkene treffer i.

Eksempel 1:

MFM(4, 6) = 12, fordi 12 er det minste tallet som er delelig på både 4 og 6.

Dette er illustrert under, der det første tallet linjestykkene med lengde 4 og 6 begge treffer i, er 12.

Illustrasjon av at SFF(4, 6) = 12

Begge linjene vil videre treffe i alle multipler av 12.

Minste felles multiplum får vi blant annet bruk for når vi skal finne fellesnevner for brøker, slik det er beskrevet i algebra-artikkelen om brøkregning.

Finne minste felles multiplum

Kombinere primtallsfaktorer

Vi kan finne minste felles multiplum til to tall, a og b, ved først å primtallsfaktorisere tallene, så stryke like mange forekomster av faktorene i tall b som det antall ganger de forekommer i tall a, og til slutt multiplisere de gjenstående faktorene i begge tall.

Eksempel 2:

Vi skal finne MFM(4, 6). Vi har at 4 = 2 · 2 og 6 = 2 · 3. Vi ser at faktor 2 i b = 6 forekommer én gang i a = 4, og kan strykes, så vi får MFM(4, 6) = 2 · 2 ~~· 2~~ · 3 = 12, som er det samme som vi fant i eksempel 1.

Eksempel 3:

Vi skal finne MFM(60, 24). Vi har at 60 = 2 · 2 · 3 · 5 og 24 = 2 · 2 · 2 · 3. Vi ser at faktor 2 i b = 24 forekommer to ganger i a = 60, og kan strykes to ganger. Faktor 3 i b = 24 forekommer én gang i a = 60, og kan strykes én gang. Så MFM(60, 24) = 2 · 2 · 3 · 5 ~~· 2 · 2~~ · 2 ~~· 3~~ = 120.

En annen måte å gjøre det samme på er å skrive tallene som potenser av primtallsfaktorene, slik det er beskrevet i artikkelen om primtall, og så multiplisere de høyeste potensene av hver faktor. Vi illustrerer med tallene fra eksempel 3:

Eksempel 4:

Vi skal finne MFM(60, 24). Vi har at 60 = 2² · 3¹ · 5¹ og 24 = 2³ · 3¹. Vi ser at høyeste potens av 2 er 3, og høyeste potens av både 3 og 5 er 1. Så MFM(60, 24) = 2³ · 3¹· 5¹ = 120.

Når vi skal addere brøker med ulik nevner, utvider vi brøkene med nevnernes minste felles multiplum.

Eksempel 5:

Vi skal beregne ${\large \frac{1}{60}} + {\large \frac{1}{24}}$. Fra eksempel 4 vet vi at MFM(60, 24) = 120. Vi må altså utvide brøkene ved å multiplisere med 120 i teller og nevner:

${\large \frac{1}{60}} + {\large \frac{1}{24}} = {\large \frac{1}{60}} \cdot {\large \frac{120}{120}} + {\large \frac{1}{24}} \cdot {\large \frac{120}{120}}= {\large \frac{\Large \frac{120}{60}}{120}} + {\large \frac{\Large \frac{120}{24}}{120}} = {\large \frac{2}{120}} + {\large \frac{5}{120}} = {\large \frac{7}{120}}$

Oppgave 1:

Vi vet at 63 = 3 · 3 · 7 og at 135 = 3 · 3 · 3 · 5.

Bruk dette til å finne MFM(63, 135), og benytt resultatet til å regne ut $ {\large \frac{1}{63}} + {\large \frac{1}{135}}$.

Se løsningsforslag

Dersom to tall, a og b, er innbyrdes primiske, inneholder ikke b noen faktorer som også finnes i a, så det er ingenting å stryke. Alle faktorene blir med i multiplikasjonen, så da har vi at MFM(a, b) = a · b.

Eksempel 6:

Vi skal finne MFM(20, 21). Vi har at 20 = 2 · 2 · 5 og 21 = 3 · 7. Vi ser at ingen faktorer i b = 21 forekommer i a = 20, så ingenting kan strykes. Vi får at MFM(20, 21) = 2 · 2 · 5 · 3 · 7 = 420. Som er det samme som 20 · 21.

Alternativt: 20 = 2² · 5¹ og 21 = 3¹ · 7¹. Multipliserer vi høyeste potens av alle faktorene, får vi 2² · 3¹ · 5¹ · 7¹ = 420.

Bruke SFF

Som vi nevner i avsnittet om å finne største felles faktor, kan sammenlikning av to talls primtallsfaktorer bli en uoverkommelig oppgave for store tall. Heldigvis finnes det en måte å finne MFM på som ikke krever faktorisering, men baserer seg på største felles faktor:

$\fbox{$MFM(a, b) = \frac{\displaystyle a \cdot b}{\displaystyle SFF(a, b)}$}$

Siden vi har en effektiv måte å finne SFF på, nemlig Euklids algoritme, har vi derved også en effektiv måte å finne MFM på.

Prinsippet i denne metoden å finne MFM på er egentlig den samme som ved primtallsfaktorisering, bare at vi ved den metoden sløyfer de felles faktorene før vi multipliserer ut, her dividerer vi dem bort etterpå.

Eksempel 7:

Vi skal finne MFM(252, 198).

I eksempel 12 i artikkelen om største felles faktor fant vi at SFF(252, 198) = 18. Så vi får $MFM(252, 198) = \frac{\displaystyle 252 \cdot 198}{\displaystyle 18} = 2772$.

Dette nettstedet har en app som finner MFM på denne måten.

Oppgave 2:

Benytt at SFF(3528, 9450) = 126 til å finne MFM(3528, 9450). Regn for hånd, og bruk deretter appen som finner MFM til å sjekke at du har regnet riktig.

Se løsningsforslag

Vi kan finne MFM til mer enn to tall ved å finne MFM til to tall av gangen, på samme måte som vi finner SFF til mer enn to tall.

Eksempel 8:

MFM(12, 18, 30) = MFM(12, MFM(18, 30)) = MFM(12, 90) = 180.

Eller

MFM(12, 18, 30) = MFM(MFM(12, 18), 30) = MFM(36, 30) = 180.

Bruke GeoGebra og regneark

I GeoGebra kan vi beregne MFM ved hjelp av funksjonen mfm eller lcm. Skriver vi for eksempel mfm(252, 198) eller lcm(252, 198) i inntastingsfeltet, svarer GeoGebra med 2772 i algebrafeltet, det samme som vi fant i eksempel 7. Vil vi finne MFM til mer enn to tall samtidig i GeoGebra, må vi angi tallene som ei liste, det vil si mellom krøllparenteser, atskilt med komma. Vil vi for eksempel finne MFM(4, 6, 10), skriver vi mfm({4, 6, 10}) eller lcm({4, 6, 10}) i inntastingsfeltet.

I regneark som Excel kan vi finne minste felles multiplum for et vilkårlig antall positive heltall med funksjonen mfm. Vil vi for eksempel finne MFM(4, 6, 10), skriver vi =mfm(4; 6; 10).

Selv om minste felles multiplum er definert for negative tall, gir imidlertid Excel feilmelding hvis vi prøver å bruke mfm på negative tall. Det problemet kan vi omgå ved å ta absoluttverdien til negative tall ved hjelp av funksjonen abs. Skal vi for eksempel beregne MFM(−18, 30), skriver vi =mfm(abs(-18); 30).

GeoGebra kan imidlertid finne MFM til negative tall. Skal vi for eksempel beregne MFM(−18, 30), skriver vi mfm(−18, 30) eller lcm(−18, 30) i inntastingsfeltet.

Kilder

- Rosen, Kenneth H. (1984). Elementary Number Theory and Its Applications. Addison-Wesley.
- Breiteig, T. (2007). Bak tallene. Innføring i tallteori. Kompendium, Universitetet i Agder.
- Rinvold, R. (2009). Tallteori. Caspar forlag.
- Gustavsen, TS, Hinna, K.R.C., Borge, I.C., Andersen P.S. (2014). QED 5-10, bind 2. Høyskoleforlaget

Hva er brøk?

En brøk er et uttrykk på formen ${\large \frac{a}{b}}$, for eksempel ${\large \frac{2}{3}}$, og ${\large \frac{5}{2}}$.

En brøk består av 3 deler, teller, brøkstrek og nevner. Vi refererer ofte til telleren som «oppe», og nevneren som «nede».

Delene av en brøk

I bildet over vises brøkstreken som en horisontal strek. I noen lærebøker og på noen nettsider vil det imidlertid forekomme at brøkstreken er representert ved en skråstrek, «/», fordi dette passer bedre inn i teksten.

I denne artikkelen vil a og b være hele tall, men det er ikke noe krav at teller og nevner skal være hele tall for at vi skal definere noe som en brøk.

En brøk kan vi tenke på som deler av et hele, for eksempel kan vi tenke på ${\large \frac{3}{5}}$ som 3 deler av en helhet på 5:

Brøken 3/5 illustrert som deler av en sirkel

Nevneren i brøken angir hvor mange biter helheten er delt opp i, og telleren hvor mange av disse bitene vi har.

Fordeler med brøk

En brøk er egentlig et divisjonsstykke der brøkstreken erstatter divisjonssymbolet. Utfører vi divisjonen, får vi enten et helt tall eller et desimaltall. For eksempel ${\large \frac{6}{3}}=2$, $−{\large \frac{2}{5}} = −0,4$ og ${\large \frac{2}{3}} \approx 0,67$.

Siden en brøk alltid kan regnes om til et heltall eller desimaltall, kan hele begrepet virke overflødig. Men brøker er svært nyttige. Her er tre grunner til at vi trenger dem:

1. Med brøker kan vi angi størrelser som er mindre enn en enhet uten å bruke desimaltall. Når et desimaltall blir presentert som en brøk av heltall, er det mye lettere å danne seg et bilde av størrelsen enn ved desimaltall. For eksempel er det mye lettere å se for seg hvor mye ${\large \frac{1}{16}}$ pizza er enn hva 0,0625 pizza er.

2. Med brøker kan vi angi en divisjon eksakt uten å bruke rest. I noen tilfeller kan en brøk skrives som et eksakt desimaltall, slik som 2,5, men i andre tilfeller er det overhodet ikke mulig. Sier vi at ${\large \frac{2}{3}} \approx 0{,}67$, er desimaltallet rundet av, i virkeligheten inneholder det en uendelig rekke 6-tall bak komma.

3. Med brøker kan vi angi forhold mellom størrelser. For eksempel kan vi si at forholdet mellom gutter og jenter i en klasse er ${\large \frac{9}{13}}$, eller at forholdet mellom dager med og uten regn en måned var ${\large \frac{12}{19}}$.

Dersom telleren er mindre enn nevneren, har vi en ekte brøk, for eksempel ${\large \frac{2}{3}}$.

Varianter av brøk

Dersom telleren er større eller lik nevneren, har vi en uekte brøk, for eksempel ${\large \frac{11}{3}}$. En uekte brøk vil være større eller lik 1. Da kan vi trekke et heltall ut av brøken og stå igjen med et blanda tall, som består av et heltall og en ekte brøk. For eksempel kan ${\large \frac{11}{3}}$ skrives som ${3 \, \large \frac{2}{3}}$ som blanda tall.

Fordelen med blanda tall er at det er lett å se hvor mange hele som inngår. Men blanda tall har også ulemper. En av dem er at skrivemåten ${3 \, \large \frac{2}{3}}$, eller generelt ${c \, \large \frac{a}{b}}$, bryter med prinsippet fra algebraen om at elementer som stilles ved siden av hverandre skal multipliseres, slik for eksempel $2 {\large \frac{3}{x}}$ betyr $2 \cdot {\large \frac{3}{x}}$. En annen ulempe er at blanda tall gjør brøkregning mer komplisert. Bortsett fra på grunnleggende skolenivå er det da heller ikke vanlig å bruke blanda tall. Vi forkorter en brøk så langt det går, men så lar vi den stå, selv om den er uekte.

En brøk der telleren er lik 1, kalles en stambrøk. For eksempel er ${\large \frac{1}{4}}$ og ${\large \frac{1}{75}}$ stambrøker.

Brøker der teller og/eller nevner selv er en brøk, kalles brudden brøk.

Eksempel 1:

$\frac{\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}}{\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 3}}$ er en brudden brøk.

Det finnes uendelig mange brøker som har samme tallverdi. Disse kalles likeverdige brøker. For eksempel er ${\large \frac{3}{4}} = {\large \frac{6}{8}} = {\large \frac{−3}{−4}}$ likeverdige brøker.

Forkorte brøk

Alle likeverdige brøker kan reduseres til en brøk der teller og nevner ikke har felles faktorer. Det kalles å forkorte brøken, og gjøres ved å faktorisere teller og nevner og stryke felles faktorer i teller og nevner mot hverandre.

Eksempel 2:

Forkorting av brøk

Her er to 2-tall i telleren strøket mot to 2-tall i nevneren.

Oppgave 1:

Forkort brøken så langt det er mulig:

$\frac{\displaystyle 735}{\displaystyle 882}$

Skjermfilm Se film der utregningen vises

Vi kan bare forkorte faktorer, altså tall som multipliseres, ikke tall som adderes eller subtraheres.

Eksempel 3:

$\frac{\displaystyle 2 + 4}{\displaystyle 2 + 6} \ne \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 6}$

Her kan vi ikke stryke 2-tallet i teller og nevner.

Forkorting er noe mange gjør feil, til og med studenter på universitetsnivå.

Vi kan også forkorte felles faktorer i en brøk som inneholder algebraiske uttrykk ved å stryke faktorer som opptrer både i teller og nevner.

Eksempel 4:

Forkorte brøk med algebraisk innhold

Det er selvfølgelig tungvint og unødvendig å skrive ut potensene på denne måten. I en brøk dividerer vi egentlig telleren på nevneren, og, som det beskrives i artikkelen om potensregning, dividerer vi to potenser med samme grunntall ved å subtrahere eksponentene. Så vi kan ta eksponentene i telleren og trekke fra de motsvarende eksponentene i nevneren.

Eksempel 5:

$\frac{\displaystyle x^4y}{\displaystyle x^2y^5} = \frac{\displaystyle x^{4 − 2}y^{1 − 5}}{\displaystyle 1} = \frac{\displaystyle x^2y^{−4}}{\displaystyle 1} = \frac{\displaystyle x^2}{\displaystyle y^4}$

En faktor med negativ eksponent i teller kan vi skifte fortegn på og flytte til nevneren, slik vi har gjort med y⁽⁻⁴⁾ i eksempel 5. Det betyr at vi i praksis kan forkorte ved å trekke den minste eksponenten fra den største, uansett om vi er i teller eller nevner.

Oppgave 2:

Forkort disse to brøkene så langt det går:

$\frac{\displaystyle x^5y^4z^2}{\displaystyle xy^2z^3}$

$\frac{\displaystyle 3x + 5y}{\displaystyle xy^2}$

Skjermfilm Se film der utregningen vises

Det motsatte av å forkorte en brøk er å utvide en brøk. Da multipliserer vi med samme tall i teller og nevner.

Eksempel 6:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} = \frac{\displaystyle 1 \cdot 4}{\displaystyle 3 \cdot 4} = \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 12}$

Å utvide en brøk er nødvendig når vi skal addere eller subtrahere brøker med forskjellig nevner.

Oppgave 3:

Utvid brøken under slik at nevneren blir $6x^3$

$\frac{\displaystyle x^2}{\displaystyle 3}$

Skjermfilm Se film der utregningen vises

Alle tall forskjellig fra 0 har en multiplikativ invers, som multiplisert med tallet blir 1. For eksempel er inversen til $2$ lik ${\large \frac{1}{2}}$ fordi ${2 \cdot \large \frac{1}{2}} = 1$. Inverse tall kalles også resiproke tall.

Den multiplikative inversen til en brøk finner vi ved å bytte om teller og nevner. For eksempel er inversen til ${\large \frac{3}{2}}$ lik ${\large \frac{2}{3}}$ og generelt er inversen til ${\Large \frac{a}{b}}$ lik ${\Large \frac{b}{a}}$.

Den inverse til en brøk kalles ofte den den omvendte brøk, fordi teller og nevner er byttet om.

Kilder

- Birkeland, P.A., Breiteig, T. & Venheim, R. (2011). Matematikk for lærere 1. Universitetsforlaget
- Gulliksen, T. (2000). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget