Tilnærme fordelinger

Tilnærme hypergeometrisk fordeling med binomisk

I en hypergeometrisk fordeling har vi trekning uten tilbakelegging. Men hvis vi bare trekker ut noen få elementer, og mengden vi trekker fra er stor, betyr dette lite. Vi kan da tilnærme den hypergeometriske fordelingen med en binomisk, der $p = {\large \frac{M}{N}}$, altså forholdet mellom M spesielle av i alt N elementer.

En binomisk tilnærming regnes som god hvis $n \le {\large \frac{N}{20}}$, det vil si at vi trekker mindre enn en tjuendedel av det totale antallet.

Fordelen med en tilnærming er at utregningene blir enklere, og vi slipper å ha med N og M i beregningene. Dette er en fordel fordi hvis N og/eller M er store, risikerer vi å få problemer med kalkulatorer og dataprogrammer på grunn av svært høye tall i mellomregningene. Varians er også mye enklere å beregne i en binomisk fordeling.

Eksempel 1:

I et vareparti på 1000 enheter er 5 % av varene defekte. Vi trekker 10 varer tilfeldig og lurer på hvor stor sannsynligheten er for at ingen av dem er defekte.

Sannsynligheten for å trekke defekte er hypergeometrisk fordelt, med N = 1000, M = 1000 · 0,05 = 50 og n = 10, så vi får

$P(X = 0) = \frac{\displaystyle \binom{50}{0} \cdot \binom{1000 – 50}{10 – 0}}{\displaystyle \binom{1000}{10}} \approx 0{,}5973$.

Vi trekker imidlertid bare n = 10 av N = 1000, og $10 < {\large \frac{1000}{20}}=50$, så vi får en god tilnærming med en binomialfordeling med n = 10 og $p = {\large \frac{M}{N}} = {\large \frac{50}{1000}} = 0{,}05$:

$P(X = 0) = {\large \binom{10}{0}} (0,05)^0 (1 – 0,05)^{10 – 0} \approx 0{,}5987$.

Vi ser at feilen i forhold til svaret vi fikk da vi brukte hypergeometrisk fordeling bare er ca. $0{,}5987 – 0{,}5973 = 0{,}0014$.

Eksempel 2:

Vi vil finne ut hva forventning og varians er i en hypergeometrisk fordeling og en binomisk fordeling basert på dataene fra eksempel 1.

Hypergeometrisk:

$E(X) = 10 \cdot \frac{\displaystyle 50}{\displaystyle 1000} = 0{,}5$.

$Var(X) = \Big( \frac{\displaystyle 1000 – 50}{\displaystyle 1000 – 1} \Big) \cdot 10 \cdot \frac{\displaystyle 50}{\displaystyle 1000} \cdot \Big(1 – \frac{\displaystyle 50}{\displaystyle 1000} \Big) \approx 0{,}4517$.

Binomisk:

$E(X) = 10 \cdot 0{,}05 = 0{,}5$.

$Var(X) = 10 \cdot 0{,}05(1 – 0{,}05) = 0{,}4750$.

Vi ser at forventningene i begge tilfeller er like, men variansen er ørlite høyere i den binomiske fordelingen. Det er rimelig siden variasjonsmulighetene er flere når vi kan trekke samme element flere ganger.

Figurene under viser sannsynlighetene i en hypergeometrisk fordeling og en tilnærming med en binomisk fordeling når vi trekker n = 50 elementer fra en mengde der halvparten er spesielle.

I figuren til venstre er N = 100, så $n \not \le {\large \frac{N}{20}}$ og tilnærmingen er dårlig. Vi ser at den binomiske fordelingen er for lav og bred.

I figuren til høyre er N = 1000, så $n = {\large \frac{N}{20}}$ og tilnærmingen er god. Vi ser at fordelingene nesten dekker hverandre.

N = 100, n = 20

N = 1000, n = 20

Oppgave 1:

Innbyggerne i en by med 10 000 innbyggere er delt akkurat på midten når det gjelder synet på kommunesammenslåing. Vi trekker 100 innbyggere tilfeldig, og skal beregne sannsynligheten for at den gruppen også er delt akkurat på midten. Vi kan ikke trekke samme innbygger to ganger, så denne situasjonen er uten tilbakelegging og vi har en hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling.

1. Beregn sannsynligheten for at gruppen er delt på midten ved å bruke hypergeometrisk fordeling.
    
2. Avgjør om en tilnærming med binomisk fordeling vil være god.
    
3. Beregn den samme sannsynligheten ved å bruke binomisk fordeling.
    
4. Angi hvor stor feilen ved å bruke binomisk fordeling ble hvis du tar med fire desimaler.

Se løsningsforslag

Tilnærme binomisk fordeling med poisson

Hvis antall forsøk i en binomisk fordeling, n, er stort og sannsynligheten for suksess, p, er liten, kan vi tilnærme en binomisk fordeling med en poissonfordeling med λ = n · p.

En slik tilnærming regnes som god hvis n > 50 og p ≤ 0,05.

Eksempel 3:

I spillet Dungeons and Dragons brukes blant annet en 20-sidet terning. Vi vil undersøke hvor stor sannsynligheten er for å få «20 minst én gang» når vi kaster 75 ganger. Det letteste er her å basere seg på sannsynligheten til komplementhendelsen «20 ingen ganger».

Vi bruker først binomisk fordeling med n = 75 og $p = {\large \frac{1}{20}} = 0{,}05$.

$P(X \ge 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – {\large \binom{75}{0}} (0{,}05)^0 (1 – 0,05)^{75 – 0} \approx 0{,}9787$.

Vi har n = 75 og p = 0,05, så vi oppfyller kravet til en god tilnærming med poisson, selv om p er helt på grensen.

Vi får λ = 75 · 0,05 = 3,75, og

$P(X \ge 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – {\large \frac{(3,75)^0}{0!}}e^{-3,75} \approx 0{,}9765$, en feil på 0,0022.

Figurene under viser kurver for sannsynlighetene i en binomisk fordeling og en tilnærming med en poissonfordeling.

Figuren til venstre viser sannsynligheter for antall kron i 100 kast med en mynt. Her er n = 100 innenfor grensa på n > 50, men p = 0,5 er langt utenfor grensa på p ≤ 0,05, så tilnærmingen er dårlig. Vi ser at poissonfordelingen er altfor lav og bred.

Figuren til høyre viser sannsynlighetene for antall «begge seks» i 1000 kast med to terninger. Her er n = 1000 godt innenfor grensa på n > 50, og $p ={\large \frac{1}{36}}\approx 0{,}0278$ godt innenfor grensa på p ≤ 0,05, så tilnærmingen er god. Vi ser at fordelingene nesten dekker hverandre.

n = 100, p = 0,5

n = 1000, p ≈ 0,0278

Oppgave 2:

Bruk binomisk sannsynlighetsfordeling til å finne sannsynligheten for å få spar ess minst én gang når vi trekker 75 ganger fra en komplett kortstokk. Avgjør så om en poissonfordeling kan brukes i dette tilfellet, og beregn i så fall den samme sannsynligheten i en poissonfordeling.

Se løsningsforslag

Kilder

• • Ubøe, J. (2011). Statistikk for økonomifag. Gyldendal akademisk
  • Hagen, Per C. (2000). Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk. Cappelen akademisk
  • Bhattacharyya, G, Johnson, R.A. (1977) Statistical concepts and methods. John Wiley & Sons