Vi har funnet ut at hvis vi summerer tre etterfølgende heltall, blir svaret lik tre ganger det midterste tallet. For eksempel er
3 + 4 + 5 = 3 · 4
11 + 12 + 13 = 3 · 12
(−13) + (−12) + (−11) = 3(−12)
I et regneark prøver vi ut ti tusen forskjellige tallsekvenser, og det stemmer alltid. Har vi da bevist påstanden?
Svaret er nei. Det er aldri nok å liste opp eksempler for å bevise en påstand, med mindre vi kan sjekke alle muligheter. Det kan være krevende å akseptere strengheten i dette kravet når noe «opplagt» er riktig. Det kan godt være at vi har funnet fram til en sammenheng som er korrekt, og mange matematiske teoremer har sitt utspring i at noen har hatt en magefølelse for noe. Men vi må følge opp med et allmenngyldig bevis. I tilfellet med summen av tre etterfølgende tall er det vi har funnet ut, faktisk riktig, men begrunnelsen holder ikke.
Noen sammenhenger kan tilsynelatende være riktige når vi tester på noen eksempler, men allikevel ikke være allmenngyldige.
Eksempel 1:
Det kan se ut som om sekvenser av 3-tall etterfulgt av et 1-tall alltid er primtall. Vi sjekker, og finner ut at 31, 331, 3331, 33331, 333331, 3333331 og 33333331 alle er primtall.
Imidlertid er ikke dette en allmenngyldig sammenheng. Legger vi på enda et 3-tall, får vi 333333331, som kan faktoriseres som 17 · 19607843, og er derved ikke et primtall. Fortsetter vi å legge på 3-tall, vil resultatet stort sett bli tall som ikke er primtall.
Eksempel 2:
Det kan se ut som alle tall på formen 2n − 1 er primtall hvis n er et primtall. Vi har:
22 − 1 = 3. Primtall.
23 − 1 = 7. Primtall.
25 − 1 = 31. Primtall.
27 − 1 = 127. Primtall.
213 − 1 = 8191. Primtall.
217 − 1 = 131071. Primtall.
219 − 1 = 524287. Primtall.
Men her har vi ikke tatt med n = 11, som gir 211 − 1 = 2047, som kan faktoriseres som 23 · 89, og derved ikke er et primtall. Og det finnes uendelig mange andre primtall, n, der 2n − 1 ikke er et primtall.
Det kan se ut som formelen n2 − n + 41, der n er et heltall større eller lik 0, er en primtallsgenerator. Setter vi inn n fra 0 til 20, får vi 41, 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383 og 421, som alle er primtall. Prøv noen flere n selv, og sjekk om du får primtall. Ei liste over primtall finner du her: https://www.mathsisfun.com/numbers/prime-numbers-to-10k.html
Gjør så en vurdering av om primtallsgeneratoren fungerer eller ikke.
Kilder
-
- Nossum, R. (2010). Litt om Matematisk Argumentasjon og Bevis. Kompendium, UiA.